学而思初一数学暑假班第5讲.整式的概念及整式的加减.教师版

1、5整式的概念和整式的加减模块一单项式相关概念定义代数式的定义：用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式单独的一个数或字示例剖析2x+1，3ab2，10，a单项式：像-2a，r2，-x2y，-abc，3x2yz单项式-ab2c，它的指数1+2+1=4，母也是代数式13例如：a，-3是单项式；，这些代数式中，都是数字与字7x+y，3ab-5c+6不是单项式母的积，这样的代数式称为单项式也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减的关系，且单项式的分母中不含字母单独的一个字母或数也叫做单项式，1单项式的次数：是指单项式中字母的指数2和单独的一个数（

2、零除外），它们的次数规是四次单项式单项式的系数：单项式中的数字因数叫做44x2y定为零叫做单项式的系数；单项式的系数77pr2的系数是-x2y与同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项134x2y72，abc与-abc，-m与7m易错点：单项式的系数包括单项式前面的符号；是一个数，不要将它当作字母第5讲尖端预备班教师版1夯实基础【例1】指出下列各式，哪些是代数式？2x+13ab210a10na+b=b+a32s=r23+4=7【解析】代数式：【例2】写出下列单项式的系数和次数：单项式-x3y25-34a2b-0.9mn2r2-x2yzx3系数次数【解析】单项式-x3

3、y25-34a2b-0.9mn2r2-x2yzx3系数-15-81-0.92-11次数532243【例3】单项式-5ab3c2的系数是-，次数是系数为3，只含字母x、y，且次数是3的单项式共有（）个ax2y与-32zb2.2m2n3与n3m2能力提升577（人大附中期中）一个单项式：它的系数是-1，次数是3，必须含x，y两个字母，请写出这样的单项式（写出一个即可）（北京101中学期中）a1b2c3d4（人大附中期中）下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（）11312c0.2a2b与0.2ab2d11abc与11ab（人大附中期中）-2002与2000是同类项；2ab与-3abc是同类项；3

4、x5与5x5是同类项；-5b2第5讲尖端预备班教师版如果2x3y|n|与-xm+1y是同类项，则m+n=_与3b是同类项，上述说法正确的有（）a0个b1个c2个d3个（人大附中期中）写出-5x3y2的一个同类项（清华附中期中）若2x3nym+4与-3x9y2n是同类项，那么m，n的值分别是（）am=-2，n=3bm=2，n=3cm=-3，n=2dm=3，n=2（三帆中学期中）13（北京师范大学附属实验中学期中）x【解析】6；-x2y等；b；b；d；23y2等；b；1或3模块二多项式相关概念定义多项式：几个单项式的和叫做多项式79示例剖析x2-3x+1是多项式多项式的项：其中每个单项式都是该多项

5、式的一个项多项式中的各项包括它前面的符号多项式中不含字母的项叫做常数项-多项式2x2-3x+1中，2x2、3x、1是多项式的项，1是常数项多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数79x2-3x+1的次数是二次-5x2y-y4+9次数是四次多项式的命名：几次几项式79x2-3x+1是二次三项式；整式：单项式和多项式统称为整式把多项式按某个字母升幂、降幂排列-5x2y-y4+9是四次三项式3，ab+1，-5x2y-y4+9是整式3x2-5x3-6-7x升幂排列：-6-7x+3x2-5x3降幂排列：-5x3+3x2-7x-6夯实基础【例4】多项式2x4y-5x3y3+7xy3-7

6、是次四项式，最高次项是（三帆中学期中）下列判断中正确的是（）第5讲尖端预备班教师版3a3a2bc与bca2不是同类项bm2n5不是整式ax5-2x+1bab5-1cxy3-5da2b3-ab5c单项式-x2y3的系数是-1d3x2-y+5xy2是二次三项式（三帆中学期中）下列代数式中是五次多项式的是（）12（清华附中期中）【解析】六，-5x3y3；c；a【例5】-0.01x3y-0.1x4y2+x2y是次项式，把它按字母x的降幂排列成能力提升xy33_，排列后的第二项系数是，系数最小的项是_（人大附中期中）【解析】六，四，-0.1x4y2-0.01x3y+x2y-1xy3，-0.01，-1xy

7、333【例6】在多项式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则mn=【解析】若1993umvn与u3mv2n是同类项，则m=0，n=0，与已知条件矛盾故只有3xmyn与-4xn-1y2m-4为同类项，于是m=n-1，且n=2m-4，解得m=5，n=6，于是mn=30模块三整式加减合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变叫合并同类项：把多项式中同类项合并成一项，做合并同类项3x+(-2x)=(3-2)x=x去括号与添括号：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是3x-(5+x)=3x-5-x=2x-5正

8、号，括号里的各项均不变号，添括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号，括号前是正号，括号里的各项均不变号4第5讲尖端预备班教师版3x+(5+x)=3x+5+x=4x+5夯实基础【例7】下列各式正确的是（）a3x+3y=6xybx+x=x2c-9y2+6y2=-3d-6xy2+6y2x=0（人大附中期中）ax5-x4=xb1下列计算正确的是（）12y2-3y2=16cx3+2x5=3x8d-x3+3x3=2x3（清华附中期中）下列式子中去括号错误的是（）a5x-(x-2y+5z)=5x-x+2y-5zb2a2+(-3a-b)-(3c-2d)=2a2-3a-b-3c+2dc3x2-3(x+6)=3

9、x2-3x-6d-(x-2y)-(-x2+y2)=-x+2y+x2-y2(人大附中期中)多项式a2-b4+2a2b2-a4=a2-（）（北京五中期中）【解析】d；d；c；b4-2a2b2+a4(3x2-5xy-6y2)-(-y2-4xy+4x2)能力提升【例8】化简下列各式：-x2-x2-x2-x212（人大附中期中）计算：设a=x3-2x2+4x+3、b=x2+2x-6、c=x3+2x-3，则a-(b+c)=（人大附中期中）【解析】-4x2；x2-3xy-11y2；-3x2+122【附加】若a=9a3b2-5b3-1，b=-7a2b3+8b3+2求：2a+b；3b-a第5讲尖端预备班教师版5

10、()()【解析】2a+b=29a3b2-5b3-1+-7a2b3+8b3+2=18a3b2-10b3-2-7a2b3+8b3+2=18a3b2-7a2b3-2b33(-7a2b3+8b3+2)-(9a3b2-5b3-1)=-21a2b3+24b3+6-9a3b2+5b3+1=-21a2b3-9a3b2+29b3+7先化简，再求值:4-3x2+2x+2x2-4x-7x2-8，其中x=-探索创新【例9】若关于x、y的多项式xm-1y3+x3-myn-2+xm-1y+x2m-3yn+m+n-1合并同类项后得到一个四次三项式，求m、n的值（所有指数均为正整数）【解析】x、y的多项式xm-1y3+x3-

11、my|n-2|+xm-1y+x2m-3y|n|+m+n-1合并同类项后得到一个四次三项式，m-1=1，解得：m=2，多项式变为：xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1，当|n|=1，n=1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+3xy+2，符合题意；n=-1时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy3+xy+xy=2xy3+2xy，不符合题意；当|n|=3，n=3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n+1=xy3+xy+xy+xy3+3+1=2xy3+2xy+4，符合题意；n=-3时，xy3+xy|n-2|+xy+xy|n|+n

12、+1=2xy3+xy5+xy-2，不符合题意故m=2，n=1或3【附加】当x=m时，多项式x2+998x-999的值等于0，此时多项式m2+998m+999的值等于三个有理数a，b，c，其积是负数，其和是正数，abc当x=+时，则代数式x19-95x+1028的值是abc【解析】由条件知m2+998m-999=0，即m2+998m=999，所以m2+998m+999=1998由于a，b，c三数的积是负数，所以要么是三个负数，要么是一负二正；若三个都是负数，它们的和不可能是正数，所以只能是一负二正不妨设a0，c0，则x=-1+1+1=1将x=1代入代数式x19-95x+1028求值，得119-9

13、51+1028=934【附加】化简求值:12（人大附中期中）6第5讲尖端预备班教师版求4x2y-6xy-3(4xy-2)-x2y+1的值，其中x=2，y=-12有这样一道题：“已知a=2a2+2b2-3c2，b=3a2-b2-2c2，c=c2+2a2-3b2，当a=1，b=2，c=3时，求a-b+c的值”有一个学生指出，题目中给出的b=2，c=3是多余的他的说法有没有道理？为什么？已知多项式x2+ax-y+b和bx2-3x+6y-3的差的值与字母x的取值无关，求代数式3(a2-2ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值-3x2-7x+(2x-4x)-4=-8x-2x-4=-8+1-4=-7；【

14、解析】化简为=(2x22)214原式=4x2y-6xy+12xy-6+x2y+1=5x2y+6xy-5=54-6-5=-21；12有道理，a-b+c=2a2+2b2-3c2-(3a2-b2-2c2)+c2+2a2-3b2=a2，因为a=1，所以a-b+c=1由于两个多项式的差的值与字母x的取值无关，所以这两个多项式含x的项的系数相同，即a=-3，b=1；原式=3a2-6ab-3b2-4a2-ab-b2=-a2-7ab-4b2当a=-3，b=1时，上式的值为：-(-3)2-7(-3)1-412=8【附加】先化简，再求值：已知(a+2)2+b-14=0，求5a2b-2a2b-(ab2-2a2b)-

15、4-2ab2的值（北京师范大学附属实验中学期中）【解析】易知a=-2，b=1，原式=a2b-ab2+4=4148第5讲尖端预备班教师版7m-3如果-ab与ab4n是同类项，且m与n互为负倒数，求m，n值2a；+3；25t7；-3a2b3c；2，次数是3；-a的系数是-1，次数是1；25t7的系数是25（注意有些a4bc2a3b4ca2b3cac3b2dac2b3是0；3102x2y是5次单项式；是多项式其中正确的是（）实战演练知识模块一单项式相关概念课后演练【演练1】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数xxy2；-a；-3bc2【解析】2xy2，-a，25t7，-3a2b3c

16、，-x是单项式32xy2的系数是33学校要求写成32），次数是7；-3a2b3c的系数是-3，次数是6；-x的系数为-1，次数为1【演练2】4ab2c3的同类项是（）1144已知-6a9b4和5a4nb4是同类项，则式子12n-10的值是（）a17b37c-17d98若2009amb3-m与156abn是同类项，求(m-n)2009的值13=【解析】c；a；m=1，n=2，(1-2)2009-1；m=4，n=-14知识模块二多项式相关概念课后演练【演练3】现有五种说法：-a表示负数；若|x|=-x，则x0；绝对值最小的有理数x-y5abcd（北京师范大学附属实验中学期中）把下列多项式按x降幂排

17、列，并指出是几次几项式，并指出系数最小的项：13y-2xy-18x3y-7x2y2-3xy2-5x2y-x3y+2y-1【解析】c；-18x3y-7x2y2-2xy+13y，四次四项式，-18x3y；-x3y-5x2y-3xy2+2y-1，四次五项式，-5x2y8第5讲尖端预备班教师版a2x2-(x-3y)=2x2-x+3ybx2+(3y2-2xy)=x2-2xy+3y2【演练6】如果-0.3mxn3与m4ny是同类项，知识模块三整式加减课后演练【演练4】一个多项式减去x2-y2等于x2+y2，这个多项式是（）a2x2b-2x2c2y2d-2y2（三帆中学期中）下列去括号错误的是（）1133ca2-4(-a+1)=a2-4a-4d-(b-2a)-(-a2+b2)=-b+2a+a2-b2（北京五中期中）【解析】a；c【演练5】已知a=2x2-3，b=-3x+1，c=5x2-x，且2b+c=a-d，求d【解析】因为2b+c=a-