ch4_解析函数的域性展开-2[高教书苑]

1、1 1 解析函数的局域性展开 1高级教育 2 2 解析函数的泰勒展开 解析函数的洛朗展开 解析函数的局域性展开 2高级教育 3 3 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例 l级数乘法与待定系数法 l多值函数的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 3高级教育 4 4 解析函数的泰勒展开 幂级数 解析函数的泰勒展开 4高级教育 5 5 定义（幂级数） 5高级教育 6 u收敛特性：以a为中心的幂级数 在某个圆 内收敛且绝对收敛 在 上绝对一致收敛 在圆外 发散 收敛圆 收敛半径

2、a 收敛 发散 R r Raz raz Raz 6高级教育 7 7 定理（泰勒展开） 设函数f(z)在以a为圆心的圆C内及C上解析,则对于圆内的任何z 点,f(z)可用幂级数展开为(或者说,f(z)可在a点展开为幂级数) 0 )()( n n n azazf a R r 0 z r c C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 其中 C取逆时针方向 7高级教育 8 8 定理（泰勒展开） 0 )()( n n n azazf C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 其中 证 根据柯西积分公式，对于圆C内任意

3、一点z,有 C d z f i zf )( 2 1 )( 0 1 )()( 11 n n a az aazaz 8高级教育 9 9 C n n n df a az i zf )( )( )( 2 1 )( 0 1 n n C n azd a f i 0 1 )( )( 2 1 n n n aza 0 C n n n n af d a f i a ！ )( )( )( 2 1 )( 1 9高级教育 1010 讨论 定理的条件可以放宽，只要f(z)在C内解析即可 10高级教育 1111 这里泰勒展开的形式和实变函数中的泰勒公式相同，但 是条件不同 在实变函数中，f(x)的任何阶导数存在，还不足以保

4、 证泰勒公式存在（或泰勒公式收敛） 在复变函数中，解析的要求（一阶导数存在）就足以 保证泰勒级数收敛 11高级教育 1212 收敛范围：函数f(z)的奇点完全决定了泰勒级数的收敛半径.设 b是f(z)的离a点最近的奇点,则一般说来,收敛半径R=b-a f(z)在圆z-ab-a内处处解析，f(z)可以在圆内展开为泰勒级数 （或者说，泰勒级数在圆z-ab-a内收敛）.这就是说，f(z)的泰勒 级数收敛半径不小于b-a 收敛半径一般也不能大于b-a.否则，b点就包含在收敛圆内，因而幂级 数在收敛圆内处处解析，与b点为奇点的假设矛盾(除非b点是可去奇点). 0 2 2 )( z1 1 n nn z1z

5、 收敛半径R=i=1 0 2 2 )( 1 1 n nn x x 11x 实数范围内，泰勒级数的收敛半径与函数性质之间的联系就难以讨论 12高级教育 1313 泰勒展开的唯一性：给定一个在圆C内解析的函数，则 它的泰勒展开式是唯一的，即展开系数an是完全确定的 13高级教育 1414 基本函数展开式 0 z-1 1 n n z1z 0 2 !2 1 n nn z n z n zz zez e n n niziz z ni ee z 0 12 )!12( )( 2 sin z e n n niziz z n ee z 0 2 )!2( )( 2 cos z 14高级教育 1515 泰勒展开举例

6、求泰勒级数的方法难以一一罗列 这里只介绍一些普通常见的方法 中心指导思想：设法建立起与基本函数的关系 15高级教育 1616 0 2 )( n n z 0 2 )( n nn z 1z 2 z1 1 例1 有理函数总可以用部分分式的方法化简 例2 2 z23z-1 1 zz21 2 1 1 00 )2(2 n n n n zz 0 1 )12( n nn z2/1z 16高级教育 1717 有些函数可以表示成更简单的函数的导数或积分，从而 可以容易地求出其Taylor级数 例3 zdz d 1 1 ）z-1（ 1 2 0n n z dz d 1 1 n n nz 0 )1( n n zn1z

7、17高级教育 1818 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例 l级数乘法与待定系数法 l多值函数的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 18高级教育 1919 级数乘法 如果函数可以表示成两个（或几个）函数的乘积，而每一 个因子的泰勒展开比较容易求出时，则可采用级数相乘的 方法 例4 zz21 1 -1 1 z23z-1 1 2 0k0l lkl 0l ll 0k k z2z2z n n n z 00l l 2 n n n z 0 1 122/1z 19高级教育 2020

8、 级数乘法 幂级数在收敛圆内绝对收敛，故级数相乘是合法的， 乘积在两收敛圆的公共区域内仍绝对收敛 20高级教育 2121 待定系数法 例5 求tanz在z=0的泰勒展开 由于tanz是奇函数，故在z=0的泰勒展开应只有奇次幂 0 12 12 tan k k k zaz z z z cos sin tan zzztancossin 0 12 )!12( )( n n n z n 0l 2l l z (2l)! )( 0k 12k 12k za 12 00 12 )22( )( n n n k k kn za kn 21高级教育 2222 12 00 12 0 12 )!22( )( )!12(

9、)( n n n k k kn n n n za kn z n 此恒等式在何区域内成立？ 根据泰勒展开的唯一性，比较系数 逐次代入n=0,1,2, 即可求出系数a1,a3,a5, )!12( 1 )!22( )( 0 12 n a kn n k k k 22高级教育 2323 例5：求tanz在z=0的泰勒展开 753 z 315 17 z 15 2 z 3 1 ztanz 应用待定系数法，能得到系数之间的递推关系，原则上 可以逐个求出展开系数 但一般不容易求出级数的通项公式（即展开系数an的解 析表达式） 如果只需要求出级数中德某一项或某几项系数，也可以 采用待定系数法 23高级教育 242

10、4 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例 l级数乘法与待定系数法 l多值函数的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 24高级教育 2525 对于多值函数，在适当规定单值分枝后，即可像单值函数 那样做泰勒展开 1）1（ 0 z z 10f）（ z(0)f 0z 1 ）1（ )1(）（ 2 z11)-(0)f 0z 1)n-(1)-(0)f (n) 25高级教育 2626 n n z n 0 2 2 )1( 1zz z)(1 n z n n ! )1()1( 26高级教育 2

11、727 2 2 )1( 1zz z)(1 n z n n ! )1()1( n n z n 0 级数的收敛区域，还要视割线的做法而定，收敛半径 等于z=0到割线的最短距离 最大可能的收敛区域z1，R=1 27高级教育 2828 例7 求多值函数f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展开,规定 0z1ln 0z ）（ 在上述规定下，函数ln(1+z)可表示为定积分 z z1 1 z1ln 0 ）（dz z z1ln 0 0 )(）（dzz n n n z 0 0 )(dzz n n n1 0 1 )( n n n z n n n n z n 1 1 )( 28高级教育 2929 例7：求多值函数

12、f(z)=ln(1+z)在z=0的泰勒展开,规定 0z1ln 0z ）（ n n n z n 1 1 )( ）（z1ln 收敛区域也要看割线怎么作.收敛半径等于z=0到割线的 最短距离，最大可能的收敛区域是z1,R=1 思考题：单值分枝的规定ln(1+z)z=0=0体现在何处？ 29高级教育 3030 例6和例7中的结果 也作为基本的函数展开式，应该熟记 1， )( ）（ 1，）1（ 1 1 0 zz n zz n z n n n n n z1ln 30高级教育 3131 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例 l级数乘法与待定系数法 l多值函数

13、的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 31高级教育 3232 如果函数f(z)在z=点解析，则也可以在z=点展开成 泰勒级数 f(z)在z=点解析，则f(1/t)在t=0点解析 所谓f(z)在点展开成泰勒级数，就是作变换z=1/t，而 将f(1/t)在t=0点展开成泰勒级数 f(1/t)在t=0点的泰勒展开 f(1/t)=a0+a1t+a2t2+antn+ t1/r，也就是说，级数在以 为圆心的某个圆内收敛 33高级教育 3434 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例

14、l级数乘法与待定系数法 l多值函数的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 34高级教育 3535 解析函数的零点 如果f(z)在a点及其邻域内解析，f(a)=0,则称z=a为f(z) 的零点 因为f(z)在z=a点及其邻域内解析，故当z-a 充分小时 0 )(）（ n n n azazf 若z=a为零点，则必有 0 110 m aaa0 m a 相应地 0)()()( )1( afafaf m 0)( )( af m z=a点为f(z)的m阶零点 35高级教育 3636 解析函数的零点 如果f(z)在a点及其邻域内解析，

15、f(a)=0,则称z=a为f(z) 的零点 l零点的阶数都是确定的正整数-在函数的解析区域内， 不可能有分数次的零点 l解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性 36高级教育 3737 讲授要点 Taylor展开 l展开定理 l讨论 l基本函数展开式 Taylor展开举例 l级数乘法与待定系数法 l多值函数的Taylor展开 l在无穷远点的Taylor展开 解析函数的唯一性 l解析函数零点的孤立性 l解析函数的唯一性 37高级教育 3838 根据解析函数零点的孤立性定理，可以推出解析函数零 点的下列性质： 38高级教育 3939 推论2的成立范围是以z=a点为圆心的圆域，但是很容易 推广到一半形

16、状的区域 39高级教育 4040 40高级教育 4141 可以将 改写为 41高级教育 4242 也可以将改写为 作为它的特殊情形，还有 42高级教育 4343 解析函数的洛朗展开 43高级教育 4444 讲授要点 洛朗展开 l展开定理 l举例 l多值函数的洛朗展开 单值函数的孤立奇点 l孤立奇点 l孤立奇点的分类 l函数在无穷远处的奇异性 解析延拓 l一个例子 l解析延拓的概念 44高级教育 4545 解析函数的洛朗展开 l一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时 还需要将它在奇点附近展开成幂级数 l这就是洛朗展开 45高级教育 4646 C是环域内绕内圆一周的任意一条闭合曲线 - )(）（

17、 n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 46高级教育 4747 展开定理（洛朗展开） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 将环域的内外边界分别记为C1和C2，根据复连通区域的 柯西积分公式，对于环形区域内的任意一点z，有 d z f i d z f i CC 21 )( 2 1)( 2 1 ）（zf 下面分别计算沿C1和C2的积分 47高级教育 4848 展开定理（洛朗展开） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1

18、 )( )( 2 1 1 )( i2 1 - C d z f 1)()( )( i2 1 C d bbz f bz b d bz f C 1 )( i2 1 1 对于沿C1的积分 48高级教育 4949 展开定理（洛朗展开） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 对于沿C1的积分 11 0 )( i2 1)( i2 1 - C k k C d bz b bz f d z f 1 0 )()( )( 2 1 1 k k k C bzdbf i )( 1 Rbz 49高级教育 5050 展开定理（洛朗展开） - )(）（ n

19、n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 对于沿C2的积分，可直接引用泰勒展开的结果 22 0 n )( i2 1)( i2 1 C n C d bz b b f d z f n n C n bzd b f i 0 1 2 )( )( 2 1 )( 2 Rbz 50高级教育 5151 展开定理（洛朗展开） - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d b f i a 1 )( )( 2 1 将两部分合并起来，就有 积分路径统一写成了C，为什么能这样？ - )(）（ n n n bzazf 21 RbzR C n n d

20、b f i a 1 )( )( 2 1 51高级教育 5252 讨论 洛朗展开的条件也可以放宽为f(z)在环形区域R1z- b R2内单值解析即可 52高级教育 53 f(z)在C1内不解析 一般说来，在C1上有奇点 至于b点，可能是f(z)的奇点，也可能是f(z)的解析点 如果b点是C1 内的唯一奇点，则C1可以无限缩小，收敛范围就 变成能是f(z)的奇点，也可能是f(z)的解析点0z-b R. 这时就得到f(z)在孤立奇点b的邻域内的洛朗展开 53高级教育 5454 f(z)在C2外不解析 一般说来，在C2上有奇点 外周C2的半径也可以为，甚至在点也收敛 54高级教育 5555 洛朗展开既

21、有正幂项，又有负幂项 正幂项在圆C2 内（z-b R1 ）绝对收敛，在C1外的任意一个 闭区域中一致收敛，称为洛朗级数的主要部分 两部分合起来，就构成洛朗级数，在环域R1 z-b R2 内绝 对收敛，在环域内的任意一个闭区域中一致收敛 当R1 =0时，洛朗级数的主要部分就完全反映了f(z)在z=b点的 奇异性 55高级教育 5656 洛朗展开的唯一性 设f(z)在R1 z-b R2 内有两个洛朗级数 nn n n n n b)(zab)(zaf(z) 56高级教育 5757 评述 洛朗展开的唯一性告诉我们 l不论用什么方法，得到的f(z)在同一个环形区域 内的洛朗展开式唯一的 l如果(在同环域

22、的)两个泰勒级数相等，则可以逐 项比较系数 57高级教育 5858 在无穷远点的洛朗展开 如果无穷远点是函数f(z)的奇点，而在无穷远点的邻 域内单值解析的话，则可将f(z)在点的邻域内作洛 朗展开(有时就简单地说成在点作洛朗展开) 58高级教育 5959 讲授要点 洛朗展开 l展开定理 l举例 l多值函数的洛朗展开 单值函数的孤立奇点 l孤立奇点 l孤立奇点的分类 l函数在无穷远处的奇异性 解析延拓 l一个例子 l解析延拓的概念 59高级教育 6060 求洛朗展开，可以直接利用公式求系数(这时要计算围道积 分，一般比较麻烦).除此之外，没有求洛朗展开的特殊方法 由于函数在给定环域内的洛朗展开

23、是唯一的，因此，不论用 什么方法，只要得到了在这个环域内收敛到f(z)的幂级数， 那它就一定是f(z)的洛朗展开 洛朗展开中讲过的方法，以及有关的结果，都可以应用来求 洛朗展开 60高级教育 6161 例1 求 在 0|z|1 内的展开式 ) 1( 1 zz 在 0|z|1 内的展开式 ) 1( 1 zz 此题中的函数与例1相同，但展开区域不同 ) 1( 1 zz)/ 1 (1 11 2 zz n n zz 0 2 11 2n n z1z 62高级教育 6363 评述 1 ) 1( 1 2 zz zz n n l这个级数可以看成是函数在z=0为心的环域1|z| 内的展开 l也可以看成是函数在z

24、=邻域内的幂级数展开式 l而且是函数在z=邻域内的泰勒展开 l事实上，函数 在z=处解析 ) 1( 1 zz 63高级教育 6464 例3 用待定系数法求 cotz 在 z=0 领域内的洛朗展开 z z zbz n n n sin cos cot 1 12 12 cotzsinzcosz 0 2 )!2( )( n n n z n 0 12 )!12( )( k k k z k 0 12 12 l l l zb 0 )(2 0 12 )!12( )( k lk l l k zb k 0 2 0 12 )!122( )( k n n l l ln zb kn 64高级教育 6565 令n=0,1

25、,2,逐次求解，即得 由此得到递推关系 n l l l n b ln 0 12 )!2( 1 )!122( )( 0n 1 1 b ! 2 1 ! 1 1 ! 3 1 1 11 bbn 3 1 1 b ! 4 1 ! 1 1 ! 3 1 ! 5 1 2 311 bbbn 45 1 3 b ! 6 1 ! 1 1 ! 3 1 ! 5 1 ! 7 1 3 5311 bbbbn 945 2 5 b 65高级教育 6666 例3 用待定系数法求 cotz 在 z=0 领域内的洛朗展开 53 945 2 45 1 3 1 z 1 cotzzzz 根据cotz的奇点分布，可判别此级数的收敛范围 为0|z|

26、0 69高级教育 7070 l 0k0l l l k k t 1 l!2 z k! t 2 z t 1 t 2 z exp l -k lk 0k0l l 2 z l!k! t 0n n 0l n2l l t 2 z !nll! 1n n l n2l l t 2 z !nll! n n n n(z)t J t 1 t 2 z exp 其中 70高级教育 7171 评述 71高级教育 7272 讲授要点 洛朗展开 l展开定理 l举例 l多值函数的洛朗展开 单值函数的孤立奇点 l孤立奇点 l孤立奇点的分类 l函数在无穷远处的奇异性 解析延拓 l一个例子 l解析延拓的概念 72高级教育 7373 73

27、高级教育 7474 74高级教育 7575 讲授要点 洛朗展开 l展开定理 l举例 l多值函数的洛朗展开 单值函数的孤立奇点 l孤立奇点 l孤立奇点的分类 l函数在无穷远处的奇异性 解析延拓 l一个例子 l解析延拓的概念 75高级教育 7676 孤立奇点 设f(z)为单值函数(或多值函数的一个单值分枝)，b点是它的奇 点.如果在b点存在一个邻域，在该邻域内(除b点外)， f(z)处 处可导，则称b为f(z)的孤立奇点 非孤立奇点的例子 lz=0是这些奇点的聚点：在z=0的任意一个邻域中，总存在无 穷多个奇点 l因此z=0是非孤立奇点 76高级教育 7777 讲授要点 洛朗展开 l展开定理 l举

28、例 l多值函数的洛朗展开 单值函数的孤立奇点 l孤立奇点 l孤立奇点的分类 l函数在无穷远处的奇异性 解析延拓 l一个例子 l解析延拓的概念 77高级教育 7878 n n n bza f(z) 可能出现三种情况 l级数展开式不含负幂项b点称为f(z)的可去奇点 l级数展开式只含有限个负幂项b点称为f(z)的极点 l级数展开式只有无穷多个负幂项b点称为f(z)的本性奇点 78高级教育 7979 可去奇点 举例 z=0是可去奇点 0n 2n n z 1)!(2n )( z sinz z 53 945 2 45 1 3 1 cot 1 zzzz z z 79高级教育 8080 函数在可去奇点处的行

29、为 由于在可去奇点处，级数展开式中不含负幂项，故级数不 只是在环域内收敛，而且在环域的中心，即可去奇点z=b 处也收敛 收敛区域是一个圆，圆心在可去奇点z=b，级数在收敛圆 内的任一闭区域中一致收敛 80高级教育 8181 函数在可去奇点处的行为 函数在可去奇点处 的极限值是有限的 反之，如果z=b是函数 f(z)的孤立奇点，而且 f(z)在z=b的邻域内有 界，则z=b是f(z)的可 去奇点 81高级教育 8282 极点 mn n n bza f(z) 函数在极点邻域内洛朗展开有有限个负幂项 1m 1m m m b)(zab)(za b)(zaab)(za 10 1 1 b)(zaab)(z 1mm m (z)b)(z m 82高级教育 8383 函数在极点处的行为 （证明见下页） 83高级教育 8484 函数在极点处的行为 利用这个关系，可以帮助我们寻找极点 84高级教育 8585 本性奇点 函数在本性奇点邻域内的洛朗展开具有无穷多个负幂项 如果z=b是函数f(z)的本性 奇点，则当zb时，f(z)的 极限不存在 准确地说，zb 的方式 不同，f(z)可以逼近不同 的数值 85高级教育 8686 本性奇点 当z以不同方式趋于0时，就有不同的结果： 86高级教育 8787 本性奇点 特别是 87高级教育 8888 本性奇点 88高级教育 8989 本