格林公式及其应用[基本功课]

1、1教书育人 一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积 2教书育人 )()(aFbFxF dx b a xF )(xF 一、格林公式一、格林公式 在一元积分学中，牛顿-莱布尼茨公式 ： 表示:在区间a,b上的积分可以通过它的原函数 在这个区间端点上的值来表达。 下面介绍的格林公式告诉我们，在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线 L 上的曲 线积分来表达。 3教书育人 y x 2 2 y x 2 2 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都 属D则称D为平面单连通区域单连

2、通区域，否则称为复连通区域复连通区域 。通 俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的 区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。 例如，平面上的圆形区域（x,y） |14 或 2都是复连通区域。 （x,y）| 00 ，作为于D内的 圆周 l : 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。 对复连通区域 D1 应用格林公式应用格林公式，得 L x y D1 l 0 11教书育人 lLy x y x ydxxdyydxxdy 2 2 2 2 d r rr 2 0 2 2 2 2 2 sincos 2 其中 l 的方向取逆时针方向，于是： 0 2 2 2 2 lLy x

3、 y x ydxxdyydxxdy 12教书育人 ),(),( 2211 yxByxA 一般来说，曲线积分的值除了与被积函数有外， 还与积分的路径有关，但在自然界中许多问题的曲线 积分是与路径无关的。如重力场、静电场中研究力问 题时遇到的曲线积分，通常属于这种情况。 设 G 是一个开区域，且 P (x,y) , Q(x,y) 在G 内具有一阶连续偏导数。如果对于 G 内任意指定的 两个点 ： 二 平面曲线积分与路径无关 13教书育人 L QdyPdx B A QdyPdx ),( ),( 22 11 yx yx QdyPdx 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两段曲线 L1，L2等式： 1

4、2LL QdyPdxQdyPdx 恒成立，则称 曲线积分曲线积分在 G 内与路径内与路径 无关无关，否则就称该曲线积分与路径有关，此时，从 A 到 B 的曲线积分可记为 或 14教书育人 定理定理2 设二元函数P (x,y),Q(x,y)在单连通区域G 具有一阶连续偏导数，则在单连通区域 G 内下列条 件等价： y P x Q L QdyPdx0 L QdyPdx （1） （2）沿任意分段光滑的有向 （3）曲线积分 与路径无关。 闭曲线 L ，有 15教书育人 ),( ),( 0 0 ),( yx y x QdyPdxyxu QdyPdxdu 满足满足 注意：注意： (1) 定理中的等价关系是

5、建立在单连通区域定理中的等价关系是建立在单连通区域 内的，并且要求内的，并且要求 P (x,y) ,Q(x,y) 在在G 上具有有一阶连续偏导数，当这两个上具有有一阶连续偏导数，当这两个 条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。条件之一不满足时，等价关系都可能不成立。 (2) 定理中命题定理中命题(2)和和(3)的等价区域可以的等价区域可以 不是单连通的。不是单连通的。 (3) 若函数若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理满足定理2条件条件 16教书育人 L dyyxQxydy),(2 )1 ,( )0, 0( ), 1( )0, 0( ),(2),(2 tt dyyxQxydxdy

6、yxQxydx y xy x Q )2( 例例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 与路径无关，且对任意实数 t ，恒有 求函数 Q (x,y). 解：解： 由题意知曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关，因而有 17教书育人 .2x x Q )(),( 2 yyxQ x )(y x y o 1 t t 1 即 于是 其中 为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式 左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得 18教书育人 tt dyyQdxdyytQdx 0 1

7、0 1 00 .), 1 (0),(0 将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得 1 00 2 )(1 )( t dyydyy t 即 1 00 2 )()( t ytdyy t 两段对 t 求导数 ， 得 )(12tt 或 12)( tt 故12),( 2 xyxQ x 19教书育人 三、二元函数的全微分求积三、二元函数的全微分求积 给定 u(x,y)，dy. y u dx x u du(x,y) -求二元函数全微分问题求二元函数全微分问题 ,QdyPdx 给定 ),(yxu求QdyPdxyxdu),(使得 -二元函数的全微分求积分题二元函数的全微分求积分题 讨论以下两个问题：讨论以下两个

8、问题： 是某满足什么条件、QdyPdxyxQyxP),(),() 1 ( 的全微分？二元函数),(yxu 20教书育人 ？如何求这样的),()2(yxu 定理定理 3 设区域G 是一个单连通域，函数P(x,y)+Q(x,y) ， 在 G内具有一阶连续偏导数，则 在 G内是某个函数 的全微分的充分必要条件是： y Q x P 在G内恒成立。 证明略。 推论：推论： 内具有一阶连续在，是单连通区域，设GyxQyxPG),(),( 的充要条件是内与路径无关在偏导数，则曲线积分 L GQdyPdx .),(),(),(dyyxQdxyxPyxdu 21教书育人 说明：说明： 件是某函数的全微分的条给出

9、了定理QdyPdx3) 1 ( y P x Q (2) 推论给出了全微分求积得方法，即 ：可用积分法求 ),(G 0 0 y x MQdyPdxdu内的原函数取定起点在 及动点M(x,y)， 22教书育人 O 0 x 0 y y x ),( ),( 0 0 ),(),(),( yx y x dyyxQdxyxPyxu yx y dyyxQdx x xP y 0 0 ,),(),( 0 .),(),(),( 00 0 dxyxPdyyxQyxu x x y y 或 23教书育人 例例 ： 并求出这个函数。是某个函数的全微分，验证ydyxdxxy 22 证：证： 可知，存在函数有定理则设2,2 P

10、 , 22 x Q xy y yxQxyP ydyxdxxyduyxu 22 ),(使 22 0 2 00 2 2 ),( )0, 0( 2 2 1 0 yx ydyx ydyxdxx ydyxdxxy y xy yx ),(yxu 24教书育人 小结小结 内容内容 应用应用 1、格林公式、格林公式 常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较 简单的二重积分的计算简单的二重积分的计算. 2、曲线积分与路径无关的条件、曲线积分与路径无关的条件 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( y P x Q 25教书育人 3.等价条件等价条件 设设 P, Q

11、在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有 L QdyPdx 在在 D 内与路径无关内与路径无关. 对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有 L ;QdyPdx0 在在 D 内有内有. x Q y P 在在 D 内有内有.QdyPdxdu 26教书育人 L QdyPdxI x Q y P x Q y P 闭合闭合 非闭非闭 0 L QdyPdxI ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭合闭合 非闭非闭 补充曲线或用公式补充曲线或用公式 dxdy y P x Q I D )( 求第二类曲线积分的思路求第二类曲线积分的思路: 27教书育人 1 . 计算下面曲线

12、积分，并验证格林公式的正确性：计算下面曲线积分，并验证格林公式的正确性： dyxdxxy y x L )()2( 2 2 x y 2 x y 2 解：解： dyxdxxy y x L )()2( 2 2 )()2()( 2 2 12 dyxdxxy y x LL 其中 L 是由抛物线及 所围成的区 域的正向边界曲线； 28教书育人 dyydxxx yyyy xxx 0 1 22431 0 423 )(2)2(2)()2( 0 1 2451 0 235 )242()22(dydx yyy xxx 30 1 ) 3 2 3 4 3 1 () 3 1 2 1 3 1 ( ,),(,2),( 2 2

13、y x xyxQxyyxP dxdyxdxdy y P x Q DD )21 ()( dx x ydy x ydx x x y 2 2 1 0 21 0 )21 ( 故 用二重积分计算：用二重积分计算： 29教书育人 dxx xxx 1 0 42 2 1 )( 30 1 5 1 3 1 2 1 3 2 L D QdyPdxdxdy y P x Q )( 2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积： 圆 ： ax y x 2 2 2 解：解： ay ax 2 2 2 )( ,20 ,sin,cosayaax 正确。 的参数方程为： 所以格林公式：所以格林公式： 圆 ： 30教书育人 a a d daaaa ydxxdyA L 2 2 0 2 2 0 )cos1 ( 2 )sin(sincos)cos1 ( 2 1 2 1 3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值： )3 , 2( )1 , 1( )()(dyyxdxyx 31教书育人 解解: , 1, 1 x Q y P x Q y P 在整个xOy平面内成立，所 以积分与路径无关。选取特殊的积分路径为从(1,1)到(2,1) 到(2,3)的折线，则 2 5 )2() 1( )()( 2 1 2 1 )3 , 2( )1 ,