线代代数课件王继忠编[稻谷书苑]

1、1教学运用 第一章第一章 线性方程组与行列式线性方程组与行列式 第二章第二章 矩阵矩阵与线性方程组与线性方程组 第三章第三章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第四章第四章 相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型 第五章第五章* * 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 2教学运用 3教学运用 一二元线性方程组与二阶行列式一二元线性方程组与二阶行列式 2222121 1212111 bxaxa bxaxa 消去未知数消去未知数 2 x得得 212221121122211 baabxaaaa 消去未知数消去未知数 1 x得得 211211221122211 abbaxaaaa 当当0 211222

2、11 aaaa时，时， 得方程组（得方程组（1）的）的惟一惟一解：解： ; 21122211 212221 1 aaaa baab x . 21122211 211211 2 aaaa abba x 221 111 ba ba = = 2221 1211 aa aa 2221 1211 aa aa 22 12 a a 2 1 b b D D1 D D2 主对角线主对角线 副对角线副对角线 4教学运用 二行二列的数表：二行二列的数表： 2221 1211 aa aa （2） 21122211 aaaa称表达式称表达式 为数表（为数表（2）所确定的）所确定的二阶行列式二阶行列式， 记作记作 222

3、1 1211 aa aa 即即 2 , 1; 2 , 1jiaij 元素：元素： 21122211 2221 1211 aaaa aa aa i 行标：行标：j列标：列标： 对角线法则对角线法则 特点：特点： （1）两行两列；）两行两列； （2）含两项）含两项(2!)的代数式；的代数式； （3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积； （4）一正一负。）一正一负。 5教学运用 例例1： 求解二元线性方程组求解二元线性方程组 12 1223 21 21 xx xx 解：解： 12 23 D, 0743 11 212 1 D,14 12 123 2 D,2

4、1 D D x 1 1 , 2 D D x 2 2 . 3 系数行列式系数行列式 6教学运用 11 11221331 21 12222332 21 12223333 a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 二二三元线性方程组与三元线性方程组与三阶行列式三阶行列式 用消元法，当用消元法，当 11223323 321221 3323 311321 322231 0aa aa aaa aa aaa aa a 时时,方程组的解可以表示为方程组的解可以表示为 1223323321223323 31323222 3 1 112233233212213323311321322231

5、 b a aa aab aa bab aa b x aa aa aaa aa aaa aa a 1123323 31213323311321 3231 2 112233233212213323311321322231 ab aa bb a aa aaa bb a x aa aa aaa aa aaa aa a 1122 32321221 3231121322231 3 112233233212213323311321322231 aa bb aaa bb ab a aa a x aa aa aaa aa aaa aa a 7教学运用 定义：三阶行列式定义：三阶行列式 333231 232221

6、 131211 aaa aaa aaa 312213332112322311 aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 主对角线主对角线 副对角线副对角线 对角线法则对角线法则 322113312312332211 aaaaaaaaa 特点：特点：（1）三行三列；）三行三列； （2）含六项）含六项(3!)的代数式；的代数式； （3）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积；）每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积； （4）三正三负。）三正三负。 112233233212213323311321322231 aa aa aaa aa aaa aa a 1

7、11213 212223 313233 aaa aaa aaa 记记 8教学运用 11 11221331 21 12222332 21 12223333 a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 33323 23222 13121 aab aab aab 1 x 2 x 3 x 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 33331 23221 13111 aba aba aba 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 33231 22221 11211 b

8、aa baa baa 1 ; D D 2 ; D D 3 . D D 111213 212223 313233 0 aaa aaa aaa 由消元法可得：由消元法可得： 方程组有惟一解方程组有惟一解 9教学运用 计算三阶行列式计算三阶行列式 解：解： D 124 221 342 1 22 例例2： 312 4)2()4( 411 )2()2(2 )3(2)4( D 4 )6( 32 4 8 24 14 练习： 0 0 0 xy xz yz abc bca cab 0, 333 3.abcabc 10教学运用 求解方程求解方程 0 94 32 111 2 x x 解：解： 2 94 32 111

9、 x x 2 3xx418x9 2 2x 1265 2 xx0 23.xx或 对角线法只适合于二阶或三阶行列式。对角线法只适合于二阶或三阶行列式。【注注】 例例3： 11教学运用 解：解： 6123 3 P 由由 1,2,n 组成的一个有序数组组成的一个有序数组,称为一个排列称为一个排列 12321nnnPn!n 逆序逆序: : 按自然序排列，如按自然序排列，如标准次序标准次序: : 排列排列 ： 2 , 3为一个逆序为一个逆序 用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三个数字，可以组成多少个没有重复数字的 三位数？三位数？ 例：例： 123； 132；213； 231； 312；

10、 321。 123-标准序标准序 132； 排列数排列数 -6-6个排列个排列 一、排列以及逆序数一、排列以及逆序数 在在 n 个元素个元素的任一排列中，的任一排列中，当某两个元素的先后当某两个元素的先后 次序与标准次序不同时，就次序与标准次序不同时，就说有说有1个个逆序逆序. 例如：例如： 12教学运用 逆序数为奇逆序数为奇 数的排列叫做数的排列叫做奇奇 排列排列。（偶）（偶）（偶）（偶） 计算排列的逆序数的方法：计算排列的逆序数的方法： 不妨设不妨设 n 个元素为个元素为1至至 n 这这 n 个自然数，个自然数，并规定由小到大为 并规定由小到大为 标准次序。标准次序。 设设 n ppp 2

11、1 为这为这 n 个自然数的一个排列，个自然数的一个排列， 考虑元素考虑元素 nipi, 2 , 1 ， 若比若比 i p大的大的 前面的元素有前面的元素有且排在且排在 i p i 个，个，就说就说 i p这个元素的逆序数是这个元素的逆序数是 , i 全体元素的逆序数之和全体元素的逆序数之和 就是这个排列的逆序数。就是这个排列的逆序数。 逆序数逆序数: 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数 1223nn p pp 13教学运用 例例4： 求排列求排列6342751和和1342756的逆序数。的逆序数。 解：解： 3的逆序数的逆序数 2的逆序数的逆序数 132011312112 1的

12、逆序数的逆序数 2的逆序数的逆序数 奇排列奇排列偶排列偶排列 ,13620311)6342751( . 4110200)1342756( 14教学运用 练习练习： 求下列各排列的逆序数求下列各排列的逆序数 （1）n (n-1) (n-2)3 2 1 t =0+1+2+(n-2)+(n-1) 2 )1( nn （2）1 3 (2n-1) 2 4 (2n-2) 2n t = (n-1)+(n-2)+ +1 2 )1( nn （3）1 3 (2n-3) (2n-1) 2n (2n-2) (2n-4) 2 t = 2+4+6+ +2(n-1)1( nn 15教学运用 定理定理1 1： 一个排列中的任意

13、两个元素对换，排列改变奇偶性。 证证先证明相邻对换的情形先证明相邻对换的情形 设排列为设排列为 l aa 1 ab m bb 1 , ba a 的逆序数增加的逆序数增加1, , ba b 的逆序数减少的逆序数减少1, ba l aa 1 m bb 1 与与的奇偶性不同的奇偶性不同.ba l aa 1 m bb 1 l aa 1 ab m bb 1 相邻对换相邻对换 ml bbaa,;, 11 逆序数不变。逆序数不变。显然显然 ba,的逆序数改变：的逆序数改变：而而 b 的不变的不变 a 的不变的不变 6 3 4 2 7 5 1 1 3 4 2 7 5 6 对换对换 相邻对换相邻对换 二、对换二

14、、对换 6 3 4 2 7 5 1 6 3 2 4 7 5 1 16教学运用 定理定理1 1： 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 推论：推论： 标准排列的对换次数为偶数。 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成 5 4 2 3 115243 (3,5) （奇）（偶）45213 (1,4) （奇） 次 12m 所以这两个排列的奇偶性相反。所以这两个排列的奇偶性相反。 总之，总之， 次 1m 设排列为设排列为 l aa 1 m bb 1 ab n cc 1 l aa 1 ab m bb 1n cc 1 l aa 1 m bb 1 ab n cc 1 l aa 1 m bb 1

15、 ab n cc 1 l aa 1 m bb 1 ab n cc 1 次m 相邻对换相邻对换 再证一般情形再证一般情形 17教学运用 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 322113312312332211 aaaaaaaaa (1)每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积；每一项都是位于不同行、不同列三个元素的乘积； (2)当行标按标准序，则各项的正负号为当行标按标准序，则各项的正负号为 321 321ppp aaa 带正号的三项的列标排列是：带正号的三项的列标排列是：123、 、231、312 带负号的三项的列标排列是：带负号的三项的列标排列是：132、 、

16、213、321 偶排列偶排列 奇排列奇排列 123 123 123 1 p p p ppp aaa 分析：分析： 共共3!项项可记为可记为 321 1 pppt 312213332112322311 aaaaaaaaa 111213 212223 313233 aaa aaa aaa 18教学运用 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa det ij a 12 12 12 1 n n p pp ppnp a aa (1) 含有含有 n! 项的代数和；项的代数和； (2) 每一项每一项 n nppp aaa 21 21都是位于不同行、不同列都是位于不同行、不同列

17、的的n个元素的乘积；个元素的乘积； (3) 各项的符号为各项的符号为 12 1 n p pp determinant 19教学运用 (1)当当 n = 1时，时，一阶行列式一阶行列式 。aa 注意注意 1例例:1 (2)n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为 12 12 1 n ppp n Daaa n ppp 21为行标排列为行标排列 的逆序数。的逆序数。 20教学运用 例例1：计算：计算 d c b a 000 000 000 000 000 000 000 000 d c b a abcd (4321) ( 1)abcd abcd 1 234 1234 1234 1 p p p p

18、 pppp a aaa , 1 1 p, 2 2 p. 4 4 p, 3 3 p , 4 1 p, 3 2 p. 1 4 p, 2 3 p 21教学运用 00 00 00 00 ab cd D ef gh 例例2：计算：计算 Dacfhadehbdegbcfg 解解 D是一个是一个4!=244!=24项的代数和项的代数和. ,acfh,adehbdeg, bcfg在这在这2424项中项中, ,除了除了 其余的项都至少含有一个其余的项都至少含有一个0 0因子因子, ,因而为因而为0.0. 这四项之外这四项之外, 上面四项的行标都是按标准序排列上面四项的行标都是按标准序排列,列标依次为列标依次为:

19、 1234,1324,4321,4231. 其中第一个和第三个是偶排列其中第一个和第三个是偶排列,第二和第四个是奇排列第二和第四个是奇排列.所以所以 22教学运用 11121 222 1122 n n nn nn aaa aa Da aa a 0 上三角行列式上三角行列式 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是 12 12 12 1. n n p pp ppnp aaa ,npn , 1 1 npn, 1, 2, 3 123 ppnpn 所以不为零的项只有所以不为零的项只有. 2211nn aaa 11121 222 0 00 n n nn aaa aa a 12 11 22 1 n n

20、n a aa 11 22 . nn a aa 证证 例例3 由于由于i j时，有时，有 ，则，则 0 ij a 23教学运用 12, 11, 21 211 1 2, 11 , 1 1, 22221 11, 11211 1 000 00 0 nnnn nn n nn n nn aaaa a aa aaa aaaa 同理：同理：次上三角行列式次上三角行列式 12, 11, 21 2 1 1 nnnn nn aaaa 24教学运用 作为上三角和次上三角行列式的特例作为上三角和次上三角行列式的特例 对角对角行列式行列式 1 2 12 ; n n 1 1 2 2 12 1. n n n n 次对角次对角

21、行列式行列式 25教学运用 例例4 计算计算 n n Dn 0000 00001 00200 01000 12321 00010 00200 1! 10000 0000 nnn n Dn n n 解解 12 2 1! nn n 26教学运用 已知已知 , 1211 123 111 211 x x x x xf .的系数的系数求求 3 x 例例5 解解 1211 123 111 211 x x x x xf 对应于对应于 1234 11223443 1a a a a 11223344 1a a a a 3 11223344 1,a a a ax 1234 3 11223443 12a a a a

22、x . 1 3 的系数为的系数为故故 x 含含 的项有两项的项有两项,即即 3 x含含 的项有两项的项有两项,即即 3 x含含 的项有两项的项有两项,即即 3 x 27教学运用 5245312314 aaaaa 4514235231 aaaaa 4514523123 aaaaa 例例6：在五阶行列式中，项在五阶行列式中，项应取什么符号？应取什么符号？ 43152 1 11 6 35214 1 11 6 解：解： 应取正号应取正号 （1） （2） 应取正号应取正号 28教学运用 n n n iii niii iii nnnn n n aaa aaa aaa aaa 21 21 21 21 )(

23、21 22221 11211 ) 1( 行列式的定义又可记为：行列式的定义又可记为： 29教学运用 性质性质1 1 行列式与它的转置转置行列式相等， T DD 即即 nnnn n n aaa aaa aaa D 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa 21 22212 12111 转置行列式转置行列式 T D 30教学运用 性质性质2 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。 987 642 531 31 cc 789 246 135 column row 492 531 743 492 743 531 21 rr 例：例： 推论推论 如果行列式有两行（列 )完

24、全相同，则此行列式 等于零。 1 D行行列列式式为为换换行行，并并设设换换行行以以后后的的 1 DD D 31教学运用 性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以 同一同一数数 k, ,等于用数等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。 例：例： 987 861 353231 987 861 521 3 推论推论1 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行 列式符号外面。 947 831 511 6 公因子可提出 推论推论2 2 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式的值 等于零。 例例: 987 642 321 0 9147 6

25、42 321 0 推论推论3 3 行列式如果有一行（列）元素为零，则此行列式的值 等于零。 32教学运用 性质性质4 4 若若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 如： , 21 2222221 1111211 nnnininn nii nii aaaaa aaaaa aaaaa D 则 D 等于下列两个行列式之和： nnninn ni ni aaaa aaaa aaaa D 21 222221 111211 . 21 222221 111211 nnninn ni ni aaaa aaaa aaaa 33教学运用 n n pi i pi i pp n p i ppt aaaaD )(1

26、1 1 1 npipp pppt ni ni aaa 1 1 1 1 npipp pppt ni ni aaa 1 1 1 1 876543 642 531 753 642 531 864 642 531 7543 6432 5321 753 642 531 754 643 532 例例: 34教学运用 例例 计算行列式计算行列式 50001 14001 11301 11111 11112 D 解解将行列式按第一列拆开将行列式按第一列拆开: 50001 14001 11301 11111 11112 D 50001 14001 11301 11111 11111 50000 14000 113

27、00 11110 11111 0 60 60 35教学运用 性质性质5 5 把把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数， 然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变。 如 nnnjnin nji nji aaaa aaaa aaaa 1 22221 11111 ji kcc nnnjn nj nj aaa aaa aaa 1 2221 1111 njni ji ji kaa kaa kaa 22 11 k 36教学运用 例：例： 987 642 211 987 211 12 2rr 022 987 642 211 13 2cc 87 42 110 2 5 第一行乘以-2 加到第二行上去 第

28、一列乘以-2 加到第三列上去 37教学运用 计算计算 3351 1102 4315 2113 D 例例1： 解解:D 12 cc 12 rr 6480 72160 3315 1120 4351 2131 1120 2131 32 rr 72160 6480 1120 2131 23 4rr 24 8rr 1120 2131 10800 151000 34 4 5 rr 10800 1120 2131 2 5 000 40 14 5rr 注：计算数字行列式，一个重要的方法就是将其 化为上（下）三角形行列式。 38教学运用 解解:D 4321 rrrr 3111 1311 1131 6666 6

29、1 r 3111 1311 1131 1111 6 12 rr 1111 6 13 rr 14 rr 0002 0200 2000 48 计算计算 3111 1311 1131 1113 D 例例2： n abbb babb Dbbab bbba abb bab bba bbb bna 1 1 1 1 ) 1( ba ba ba bbb bna 1 ) 1( .)() 1( 1 n babna 39教学运用 dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba 3610363 234232 12 rr 13 rr 14 rr baa baa cbabaa dcba 373

30、00 200 0 34 3rr a baa cbabaa dcba 000 200 0 4 a 23 2rr 24 3rr cbabaa cbabaa cbabaa dcba 36103630 2342320 0 例例3： 计算计算 解：解： D 40教学运用 23 rr 另解：另解： dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba 3610363 234232 34 rr dcbacbabaa dcbacbabaa dcba 234232 0aba 3cba36 cbabaa dcbacbabaa dcba 3630 cba 230aba 2 12 rr cbab

31、aa cbabaa dcba 3630 2320 cbabaa 0 即：自第3行开始，自下往上每行都乘以-1后，加到下一行。 41教学运用 dcbacbabaa dcbacbabaa dcbacbabaa dcba 3610363 234232 34 rr 23 rr 12 rr 34 rr 23 rr 12 rr dcba cba 0aba 3cba36 cba 230aba 2 0 ba a cbabaa dcba 0 baa3 00 baa2 00 34 rr baa cbabaa dcba 200 0 a 0 00 4 a 34 rr 23 rr 42教学运用 例例4 设设 nnnnk

32、n nk kkk k bbcc bbcc aa aa D 11 111111 1 111 0 ,det ,det 1 111 2 1 111 1 nnn n ij kkk k ij bb bb bD aa aa aD 证明：证明：. 21D DD 任何任何n阶行列式总能利用阶行列式总能利用行列式的行列式的行（列）行（列）变换变换化为化为 上（下）三角形行列式。上（下）三角形行列式。 注注： 43教学运用 证：证：对 作行变换r, 1 D把 化为下三角形行列式： 1 D kkk pp p D 1 11 1 0 kk ppp 2211 对 作列变换c, 2 D把 化为下三角形行列式： 2 D nn

33、n qq q D 1 11 2 0 nn qqq 2211 nnnnkn k kkk qqcc qcc pp p 11 11111 1 11 0 nn qqq 2211 . 21D D 对 的前 k 行作行变换r,D对后 n 列作列变换c, nnnnkn nk kkk k bbcc bbcc aa aa D 11 111111 1 111 0 1 D 2 D kk ppp 2211 44教学运用 例如：例如： 12068 03297 21321 00023 00012 D 23 12 120 032 213 )34( )289( .15 45教学运用 余子式与代数余子式余子式与代数余子式 在在

34、 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 i 行和行和 ij a 留下的留下的 n-1阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式， ij a记作记作 ； ij M 记记 ij ji ij MA 1 ij A叫做元素 叫做元素 的的代数余子式代数余子式. ij a 如如 32 M , 444341 242321 141311 aaa aaa aaa 32 A 444341 242321 141311 aaa aaa aaa 23 1 第第j列划去后，列划去后， 44434241 343331 24232221 14131211 aaaa aaa aaaa aaaa D

35、 32 a . 444341 242321 141311 aaa aaa aaa 46教学运用 622 753 321 21 M 62 32 , 6 例如 . 6) 1( 21 12 21 MA 代数余子式乘积之和。 ij n j ijA a 1 ij n i ijA a 1 ni, 2 , 1 nj, 2 , 1 或 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则 njnjjjjj AaAaAaD 2211 例如 ininiiii AaAaAaD 2211 3 D j j j Aa 2 3 1 2 232322222121 AaAaAa 展开 按第二行 定理定理1 1 行列式等于它的任一行

36、（列）的各元素与其对应的 47教学运用 , 00 21 22221 11 nnnn n aaa aaa a D 1111M aD 又又 11 A 1111 11 1MM 从而从而 1111A aD 证证 ininiiii AaAaAaD 2211 （先特殊，再一般）（先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。 (1)假定行列式假定行列式D的第一行除的第一行除 11 a外都是外都是 0 。 48教学运用 nnnjn ij nj aaa a aaa D 1 1111 00 先将先将 调换到第一行，调换到第一行， ij a 调换次数为调换次数为

37、 i-1, 再将再将 调换到第一列，调换到第一列， ij a 调换次数为调换次数为 j-1次，次， nnnjn nj ij i aaa aaa a 1 1111 1 00 )1( nnnnj nj ij ji aaa aaa a 1 1111 11 00 ) 1() 1( ijij ji Ma 112 )1()1( ijij ji Ma )1( ijij Aa (2)设设 D 的第的第 i 行除了行除了 ij a 外都是外都是 0 。 49教学运用 (3)一般情形一般情形 nnnn inii n aaa aaa aaa D 21 21 11211 nnnn inii n aaa aaa aaa

38、 21 21 11211 000000 nnnn i n aaa a aaa 21 1 11211 00 nnnn i n aaa a aaa 21 2 11211 00 nnnn in n aaa a aaa 21 11211 00 ininiiii AaAaAa 2211 50教学运用 例例1：计算：计算 05320 04140 01320 25271 02135 解：解： 5 05320 04140 01320 25271 02135 c 5320 4140 1320 2135 12 52 532 414 132 152 11 1 c 21 31 2 231 10072 066 rr r

39、r 1080 66 27 2101 c 51教学运用 例例2：计算：计算 3351 1102 4315 2113 D 解：解： D 31 2cc 35 10 31 11 5 11 0 5 34 cc 1 1 0 0 055 1111 115 1 33 12 rr 055 026 115 55 26 1 31 402556 52教学运用 例例3： 计算计算 解解按第一行展开 n D2 dc dc dc ba ba ba D n 2 0 0 0 0 d dc dc ba ba 00 0 0 0 00 0 0 00 0 0 1 21 c dc dc ba ba b n 0 0 0 a b 12n d

40、D 12 112 1 n n cD a 11 1 53教学运用 12 n adD 12 112 1 n n cDb 12 n Dbcad 22 2 n Dbcad 12 1 nn n Dbcad 2 1 Dbcad n dc ba bcad n 1 nbcad n D2 54教学运用 例例4 计算计算 n 阶行列式阶行列式 . 21 21 21 n n n n axaa aaxa aaax D 解解 n n n axaa aaxa aaax 21 21 21 n D n aaa 1 21 0 0 0 行行减减第第一一行行第第i 1, 2 ni n aaa 21 1 0 0 1x 0 0 1x

41、x 0 0 1 箭形行列式箭形行列式 1 2 1 1 n j j c x c x x x aaa n 00 00 00 21 n j j x a 1 1 0 0 0 n j j n x a x 1 1 将将 Dn 加边加边, 构成一个构成一个n+1阶的行列式阶的行列式 0 0 Dx时，时，当当 55教学运用 例例5. 证明证明 ji jin n n nn n n n xx xxx xxx xxx D 1 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 证：证： 用数学归纳法证。 当 n=2 时， 21 2 11 xx D 12 xx ji ji xx 12 显然成立。 现假设对于n-1阶范德

42、蒙德行列式成立， 2 3 2 2 2 1 3213 111 xxx xxxD 例 13 xx 12 xx 后面减前面 Vandermonde行列式行列式 23 xx 56教学运用 11 2 1 1 22 2 2 1 21 111 n n nn n n xxx xxx xxx 1111 0 12 2 2 xxx n 13 2 3 xxx n 1 2 xxx n n n 0 0 122 xxx 133 xxx 1 xxx nn 12 xx 13 xx 1 xxn 11312 xxxxxx n 22 3 2 2 22 3 2 2 32 111 n n nn n n xxx xxx xxx 11312

43、 xxxxxx n ji jin xx 2 ji jin xx 1 证毕 11 nn rxr 211 nn rxr 112 rxr 213 rxr 57教学运用 111 1 1 1 111 1 naaa naaa naaa D nnn nnn n )()( )()( 例例6 nnn nnn nn naaa naaa naaa )()1( )()1( 1 111 )1( 111 2 )1( nnn nnn aana aana aana )1()( )1()( 1 111 111 nij ji 0 )( )()(jaia )(ji 58教学运用 jninjiji AaAaAa 2211 inini

44、iii AaAaAa 2211 0 D ? 推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对 应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 0 2211 jninjiji AaAaAa 0 2211 njnijiji AaAaAa ji ji 即即 .,0 , 1 ik ikD Aa n s isks 当 当 .,0 , 1 jl jlD Aa n s sjsl 当 当 和和 59教学运用 证：证： nnn jnj ini n aa aa aa aa 1 1 1 111 行展开按第j jnjnjjjj AaAaAa 2211 jninjiji AaAaAa 2211 nnn ini n aa aa

45、 aa 1 1 111 ini aa 1 0 同理可证列的情形。 60教学运用 例例7：设：设, 3142 3131 5011 1253 D 解：解： 12 cc 011 511 222 )1( 33 52 20 1 13 4 14131211 AAAA 41312111 MMMM 求求 及及 14131211 AAAA 3142 3131 5011 1111 31 rr 0011 3131 5011 2022 34 rr 001 521 202 61教学运用 41312111 MMMM 41312111 AAAA 31 2rr 311 501 121 )1( 0 3141 3131 5011

46、 1251 34 rr 311 501 501 0010 3131 5011 1251 62教学运用 n元一次线性方程组 11 112211 21 122222 1 122 nn nn mmmnnn a xa xa xb a xa xa xb a xaxaxb (1) 对于方程组(1),若 不全为零,则称(1)为 ; 若 , 即 m bbb, 21 0 21 m bbb 11 11221 21 12222 1 122 0 0 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x a xaxax (2) 称(2)为. 63教学运用 n元一次线性方程组 nnnnnn nn nn bx

47、axaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (3) 如果线性方程组（3）的系数行列式 0 21 22221 11211 nnnn n n aaa aaa aaa D 那么，方程组有唯一解： . , , , 2 2 1 1 D D x D D x D D x n n （证略） 克莱姆法则克莱姆法则 64教学运用 例例1： 解线性方程组解线性方程组 . 0674 , 52 2 , 96 3 , 8 5 2 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解：解： 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 2120 6031 07513 127 7 0 24 rr 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 27 33 . 027 7 1 5 7 0 3 2 0 3 65教学运用 6701 2150 6091 1582 2 D,108 6041 2520 6931 1812 3 D,27 ,27 0741 5120 9031 8512 4 D , 3 1 1 D D x 6741 2120 6031 1512 D1 D 0 5 9 8 =81 , 4 2 2 D D x, 1 3 3 D D x1 4 4 D D x 66教学运