医学物理学：第十章 直流电

1、 第十章 直流电 第二节 基尔霍夫第定律 对于一个复杂电路，电路中每一分支称为 支路。 节点：三个或三个以上支路的联结点节点：三个或三个以上支路的联结点 回路：电路中任一闭合路径回路：电路中任一闭合路径 支路：共支路：共3条条 回路数：回路数：m3个个 节点：节点：a、 b (节点数节点数n2个）个） #1#2 #3 a I1 I2 U2 + - R1 R3 R2 + _ I3 b U1 根据电荷守恒定律，在根据电荷守恒定律，在 稳恒电流流过电路的情况稳恒电流流过电路的情况 下，电路中任何一点下，电路中任何一点( (节节 点也包含在内点也包含在内) )均不能有均不能有 电荷的积累。因此，在任电

2、荷的积累。因此，在任 一时刻，流入节点必定等一时刻，流入节点必定等 于流出该节点的电流总和。于流出该节点的电流总和。 I2 + I3=I1 上式又可写成 I1 I2-I3=0 一、基尔霍夫第一定律（节点电流定律）一、基尔霍夫第一定律（节点电流定律） 规定流入节点的电流为正，流规定流入节点的电流为正，流 出节点的电流为负，则电路中任一节点处出节点的电流为负，则电路中任一节点处 电流的代数和应为零。用数学表示为：电流的代数和应为零。用数学表示为： I=0 这就是基尔霍夫第一定律。这就是基尔霍夫第一定律。 在列方程时可以先任意假设电流的方向，若结果为 正，表明电流的方向与假设的方向一致；若电流的 计

3、算结果为负，则表明电流的方向与假设的方向相 反。 列出列出A A点节点方程点节点方程: : I2 I1 + I2-I3=0 B 列出列出B点节点方程点节点方程: I3 I1-I2=0 注意注意:对于有对于有n个节点的复杂电路只有个节点的复杂电路只有(n-1)个节点电个节点电 流方程是独立的流方程是独立的 1、一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律 二、基尔霍夫第二定律二、基尔霍夫第二定律 A、电阻上的电势降 UabI R B、电动势上的电势降 首先来规定电动势的方向， 通常指电动势负极经电动势 内部指向正极的方向 Uab= C、任意一段含源电路的电势降 UabI R1+1+I R2-2

4、或者有 iiiab RIU 这就是一段含源电路的欧姆定律，一段含源电路的欧姆定律， 式中和IR的符号选取做以下规定，即对于任意取定的循 行方向，电流方向与其相同时，电阻上电势降落为+IR；相反 时，电势降落为-IR；的方向与循行方向相反时，电势降落 为+；相同时，电势降落为-。 若a、b两点重合，则Uab0 变为 0 iii RI 即得基尔霍夫第二定律 2、 基尔霍夫第二定律 基尔霍夫第二定律又称为回路电压定律。 其数学表示式为 i+IiRi=0 这就是基尔霍夫第二定律, 即沿闭合回路绕行一周， 电势降落的代数和等于零。 式中和IR的符号选取与一段含源电路欧姆定律的规定相 同，即对于任意取定的

5、绕行方向，电流方向与其相同时，电 阻上电势降落为+IR；相反时，电势降落为-IR；的方向与 绕行方向相反时，电势降落为+；相同时，电势降落为-。 如图所示，该电路共有三个 回路，ACBA、ABDA和ACBDA。 对于每一个回路均可应用基 尔霍夫第二定律列出一个电 压方程，故此电路可列出三 个回路电压方程。设三个回 路的绕行方向均为顺时针， 则三个回路电压方程分别如 下： ACBA回路：回路： -I1 R1+1+2-I2R2=0 ABDA回路：回路： I2R2-2+ I3R3=0 ACBDA回路：回路： -I1R1+1+ I3R3=0 在一般情况下，基尔霍在一般情况下，基尔霍 夫第二定律能提供的

6、独立回夫第二定律能提供的独立回 路方程数路方程数l l等于电路支路数等于电路支路数m m 与独立节点数的差值，即与独立节点数的差值，即 l=ml=m一一(n(n一一1)1)。也就是说，。也就是说，n n 个节点的电路可建立个节点的电路可建立(n(n一一1)1) 个独立方程，其余的独立方个独立方程，其余的独立方 程恰好由基尔霍夫第二定律程恰好由基尔霍夫第二定律 给出。给出。 选择独立回路的方法是：选择独立回路的方法是： 当一个新选回路中至少有一当一个新选回路中至少有一 个支路是其它已选回路中没个支路是其它已选回路中没 有的，那新选回路方程与其有的，那新选回路方程与其 它已选回路方程是相互独立它已

7、选回路方程是相互独立 的。的。 AB 基尔霍夫定律的应用 对于复杂电路，应用基尔霍夫两个定律来解决 是比较方便的。求解问题时，应按下面步骤进行 (设电路有m条支路与n个节点)： (1)假定各支路的电流方向； (2)根据基尔霍夫第一定律列出(n一1)个独立的 节点电流方程； (3)任意选定各个回路的绕行方向； (4)按照基尔霍夫第二定律列出l=m一(n一1)个 独立的回路电压方程； (5)对m个联立方程求解，根据所得电流值的正 负，确定各支路电流的实际方向。 例例1: U1=140V， U2=90V R1=20 ， R2=5 ， R3=6 求：求： 各支路电流。各支路电流。 I2I1 I3 R1

8、 U1 R2 U2 R3 + _ + _ 解：解： A B A节点：节点： I1-I2-I3=0 回路回路1： I1 R1 +I3 R3 -U1 =0 12 回路回路2： I2R2 -I3 R3 +U2 =0 I1 - I2 - I3=0 20 I1 +6 I3 =140 5 I2 - 6 I3 = -90 I1 = 4A I2 = - 6A I3= 10A 负号表示与负号表示与 设定方向相反设定方向相反 解题步骤：解题步骤： 1. 对每一支路假设一未对每一支路假设一未 知电流（知电流（I1-I6） 4. 解联立方程组解联立方程组 对每个节点有对每个节点有 0I 2. 列电流方程列电流方程 对

9、每个独立回路有对每个独立回路有 0 U 3. 列电压方程列电压方程 节点数节点数 N=4 支路数支路数 B=6 U4 U3 - + R3 R6 R4 R5 R1 R2 I2 I5 I6I1 I4 I3 + _ 例例2 节点节点a： 143 III 列电流方程列电流方程 节点节点c： 352 III 节点节点b： 261 III 节点节点d： 564 III b a c d （取其中三个方程）（取其中三个方程） 节点数节点数 N=4 支路数支路数 B=6 U4 U3 - + R3 R6 R4 R5 R1 R2 I2 I5 I6I1 I4 I3 + _ 列电压方程列电压方程 电压、电流方程联立求得

10、：电压、电流方程联立求得： 61 II b a c d 33435544 : RIUURIRI adca 665522 0 : RIRIRI bcdb 1144664 : RIRIRIU abda U4 U3 - + R3 R6 R4 R5 R1 R2 I2 I5 I6I1 I4 I3 + _ 结果可能有正负结果可能有正负 3、节点电压法或弥尔曼定律 Vab1-I1R1 Vab2-I2R2 Vab3+I3R3 VabI4R4 节点a、b间的电压Vab 称为节点电压V Vab1-I1R1 Vab2-I2R2 Vab3+I3R3 VabI4R4 1 1 1 R V I 2 2 2 R V I 3

11、3 3 R V I 4 4 R V I 根据基尔霍夫第一定律，由节点a可得 I1+I2-I3-I4=0 即 0 43 3 2 2 1 1 R V R V R V R V 整理后，可得 i i i R R RRRR RRR V 11111 4321 3 3 2 2 1 1 式中，分母的各项总为正； 分子的各项可为正，也可为负。 当电动势的正方向同节点电压的正方向相反时取正号， 相同时则取负号。 电容器的充电和放电 1 2 E C 右图所示的电路叫做RC电路， 在此电路中，若把开关扳向1， 则由电容C、电阻R和电源组成一 个回路，接通后，电源就通过电 阻R向电容C充电，这是电容器的 充电过程；充电

12、完毕后将开关扳 向2，电容器的两个极板通过电 阻接通，两极板上的等量异号电 荷就会通过电阻R中和，这是电 容器的放电 过程 一、电容器的充电过程 电路中将开关扳向1，即为充电 电路。 由基尔霍夫第二定律可以列出： =icR+c c=q/ ， i=dq/dt=Cdc/dt 代入得 =RCdc/dt+c 1 2 E C Ic=(-c)/R 初始条件：t=0时 Uc=0 解得 Uc=-e-t/RC 而充电电流为Ic=(/R) e-t/RC 1 2 E C 可见，在充电过程中电容器两 端的电压随时间按指数规律上 升；而充电电流随时间按指数 规律下降。 Ic=(-c)/R 电容器充电时的uc-t曲线 电容器充电的快慢与R和C 的大小有关，我们定义 =RC，为电路的时间常 数。 是描述RC电路充电 快慢的物理量，单位为s。 当t=时,有Uc=0.63。 c t 二、电容器的放电过程二、电容器的放电过程 右图所示的电路中将开关K由1扳向 2，已经充电到的电容器C将通过 R放电。下面我们对放电过程进行 定量分析。 在放电过程中，由基尔霍夫定律可 知 Uc=icR 1 2 E C 二、电容器的放电过程二、电容器的放电过程 由于电容器放电过程中极板上的电 荷逐渐减少，故电