立体几何中的向量方法3——空间角[稻谷书苑]

1、3.23.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 空间角空间角 1教学运用 两直线两直线l, ,m所成的所成的角为角为(0 2 ),cos a b a b ； 1、两条直线的夹角：、两条直线的夹角： 设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b ， l a m l a m b 2教学运用 所以 与 所成角的余弦值为 A 1 A B 1 B C 1 C 1 D1 F x y z 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： Cxyz 1 1CC (1,0,0), (0,1,0),AB 11 11 1 ( ,0,1),( ,1) 22 2 FD 所以： 1

2、 1 (,0,1), 2 AF 1 11 ( ,1) 22 BD 11 cos, AF BD 11 11 | AF BD AFBD 1 1 30 4 1053 42 1 BD 1 AF 30 10 . , , 11 1111111 111 所成的角的余弦值和求 ，、的中点、取 中，在直三棱柱 AFBD FDCABACCCABC ACBCCBAABC 例：例： 3教学运用 直线直线l与平面与平面 所成的所成的角为角为( (0 2 ) ), ,sin a u a u ； 2、直线与平面的夹角：、直线与平面的夹角： u a u l a 4教学运用 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M

3、N x y z . . 24, 8 5 11 1111 1111 的夹角的正弦值与平面求 上，在线段 ，上，在， ，中，在长方体 AMNAD ANDADAN MBCBMAAAD ABDCBAABCD 例：例： 5教学运用 l coscos, AB CD AB CD AB CD D C B A 3、二面角：、二面角： 方向向量法：方向向量法： 二面角的范围：0, 6教学运用 l l 法向量法法向量法 1 n 1 n 2 n 2 n 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， 12 n n ， cos 12 cos, n n cos 12 cos, n n 法向量的方向：法向量的方向：一

4、进一出一进一出，二面角等于法向量夹角；，二面角等于法向量夹角； 同进同出同进同出，二面角等于法向量夹角的补角，二面角等于法向量夹角的补角 7教学运用 A B C D S x z y A- xyz解： 建立空直角坐系如所示, A( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) , 1 ,0), 2 D ( 0, (0,0,1)S 1 1 (0,0) 2 SBAnAD易知面的法向量 11 (1,0),(0, 1) 22 CDSD 2 ( , , ), SCDnx y z的法向量 22 , nCD nSD由得：设平面设平面 0 2 0 2 y x y z 2 2 y x y z 2 (1,2,1)

5、 n任取 12 12 12 6 cos, 3| n n n n nn 6 3 即所求二面角得余弦值是 . , 2 1 1 , 所成二面角的余弦值与面 求面，平面 是直角梯形，如图所示， SBA SCDADBCABSAABCD SABCABABCD 例：例： 8教学运用 1. 三棱锥三棱锥P-ABC PAABC,PA=AB=AC, ,E为为PC中点中点 ,则则PA与与BE所成角的所成角的 余弦值为余弦值为_ . 2. 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成 角的余弦值为角的余弦值为_ . 3.正方体正方体中中ABCD

6、-A1B1C1D1中中E为为A1D1的的 中点中点, 则二面角则二面角E-BC-A的大小是的大小是_ 0 90BAC 0 90BAC 6 6 3 10 10 0 45 9教学运用 利用利用“方向向量方向向量”与与“法向量法向量”来解决来解决 距离距离问题问题. 第三问题：第三问题： 10教学运用 1、点与点的距离、点与点的距离： 2 21 2 21 2 21 )()()(zzyyxxAB 11教学运用 2、点与直线的距离、点与直线的距离： A P O ),cos(sinaAPAPd先求 a l 12教学运用 A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F CD中点，求中点，求:点点

7、F到直线到直线AE的距离的距离. 1111 DCBAABCD 例：例：在正方体在正方体 中，中，E、F分别是分别是BB1, 1,， ， 13教学运用 n A P O 3、点到平面的距离、点到平面的距离： 14教学运用 n A P O 3、点到平面的距离、点到平面的距离： n nPA d 15教学运用 D A B C G F E x y z (2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF nEG ， |BE|2 11 . 11 n d n 220 2420 xy xyZ B(2,0,0)E ),3 , 1 , 1 (n 16教学运用 A P D C B M N 点点A到平面到平面MNC的

8、距离为的距离为 2 a . . 17教学运用 n a b C D A B CD为为a,b的公垂线的公垂线, A，B分别在直线分别在直线a,b上上 已知已知a,b是异面直线是异面直线, 4. 异面直线间的距离异面直线间的距离 的方向向量，是直线CDn n ABn CDd 18教学运用 1111 0 1 .4, 2,90 , ABCABCAAABC ACBCBCAEABCEAB 例已知：直三棱柱的侧棱底面中 为的中点。求与的距离。 z x y A B C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐

9、标系 ),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 ( 1 BAEC 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 0 0 1 BAn ECn 即即 0422 0 zyx yx 取x=1,则y=-1,z=1,所以 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 2(,ACAC 在两直线上各取点 . 3 32 | | 1 n ACn dBAEC 的距离与 E A1 B1 19教学运用 5. 其它距离问题：其它距离问题： （1）平行线的距离）平行线的距离(转化为点到直线的距离）转化为点到直线的距离） （2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离）

10、（3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离） 20教学运用 练习练习1：如图，四面体如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点， （I）求证：）求证：AO平面平面BCD； （II）求异面直线）求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小； （III）求点）求点E到平面到平面ACD的距离的距离. 2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E 21教学运用 x C A B O D y z E 解：（解：（I）略）略 （II）解：以）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系， (1,0,

11、0),( 1,0,0),BD 则 13 (0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0). 22 CAEBACD .2 cos, 4 BACD BA CD BA CD 所以异面直线所以异面直线AB与与CD所成角的所成角的 余弦值为余弦值为 2 . 4 22教学运用 （III）解：设平面）解：设平面ACD的法向量为的法向量为( , , ),nx y z 则则 .( , , ).( 1,0, 1)0, .( , , ).(0, 3, 1)0, n ADx y z n ACx y z 0, 30. xz yz 1,y (3,1, 3)n 13 (,0), 22 EC

12、 令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又 . 321 . 77 EC n h n 所以点所以点E到平面到平面ACD的距离的距离 x C A B O D y z E 23教学运用 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值; (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值; (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. O A B C S x y z 练习练习2 2： 24教学运用 O A B C S

13、 x y z (1)OAOC OS 解：以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。 (0 0 0)(0 01)(2 0 0)(110)OSAB则， ， ， ， ， (2 01)(110)SAOB ， ， ， ， 20010 cos 552 SAOB ， 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值; 25教学运用 O A B C S x y z 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=9

14、0，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 ; (2)(2 01)(111)SASB 解：， ， ， ， ()SABnxyz 设平面的一个法向量为， ， 20 112 0 xz xyz xyz 取，则， (112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为， ，又， ， 0026 cos 316 nOS ， 所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为 3 3 26教学运用 O A B C S x y z (112)SABn 解：由(2)知平面的一个法向量为， ， OCSAOOCSAO 又由平面知

15、是平面的法向量 (010)OC 且， ， 0 1 06 cos 66 1 n OC ， 所以二面角所以二面角BASO的余弦值为的余弦值为 6 6 如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：求：(3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值. 27教学运用 练习练习3：如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD 是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的 中点中点. (1)证明：证明：PA/平面平面EDB； (2)求求EB与底面与底面

16、ABCD所成的角的正切值所成的角的正切值. A B C D P E G x y z 28教学运用 A B C D P E G x y z (1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，则，则PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点 DADC DP 以， ， 为正交基底建立空间 直角坐标系。如图所示。则 (0 0 0)(0 01)(10 0) (010)(110) DPA CB ， ， ， ， ， ， ，(101)PA ， ， 1 1 (0) 2 2 EPCE又 为中点，点坐标为 ， 1 1 (0) 2 2 GBDG 为中点，点坐标为， 11 (0) 22 EG ， ， 2/PAE

17、GPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以 /PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面 29教学运用 (2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。 A B C D P E G x y z (1)(0 0 0)(0 01) 1 1 (110)(0) 2 2 DP BE 由知， ， ， ， ， PDABCDPDABCD 解：因为平面，所以是平面的法向量。 11 (0 01)(1) 22 PDEB ， ， ， 1 00 6 2 cos 63 1 2 PD EB ， 所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为 6 6 所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的