极限的解法与技巧_汇总

1、极限的求法与技巧 极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例 题。 1. 运用极限的定义 例：用极限定义证明： lim x2 3x 21 x 2 x 2 x24 x x 则当0 时，就有 x2_3x2 1 x 2 由函数极限 定义有: x2 3x 2 lim x 2 x 2 2. 利用单调有界准则求极限 预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M， 使得对一切正整数n ,有 an 此方法的解题程序为： 1、 直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界； 2、 设an的极限存在，记为lim an A代入给定的表达式中，则该 式变为A的代数方程，解之即得该数

2、列的极限。 例:若序列an的项满足a1 .a (a 0)且 a. 1 ,(n 1,2,), 试证an有极限并求此极限。 解由 a1. a a； 用数学归纳法证明 ak ak a ak an an an a1 a1 ak . a需注意 2 ak a a . ak ak 2 a ana0 2 - a；a 2an an 1 2 2 a1 a 为单调减函数且有下界。 令其极限为A 由an an a an 有: lim a n an a an A2 (A 0) 从而 lim n 3.利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系： x 0, sin x x, tan x x,arcs in x x arcta

3、n x x, n 1 x 1】x, ex 1 - x, ioga(1 x) , ax 1 nlna x ln a, 1 J x 1 2x, (1 x) 1 x, in(1 x)x, 等价无穷小代换法 设，都是同一极限过程中的无穷小量，且有： I ， lim存在， 则 lim 也存在，且有lim 一= lim 2 例：求极限叫晋 / 2、2 解：sinx2 x2,1 cosx2 X 2 2 2 2 x 0 x4 2 x . 2 sin x (x2)2 x叫x4 2 X . 2 sin x 注：此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法 解法五: 2 1 cosx lim 22 x 0 2

4、2 x 0 x sin x 2 sin 2 2 X_ 2 2 . 2 x sin x 2 2 2 x (x ) 1 4 x lim0v 注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法 解法六: 令u x2 1 cosx21 cosusi nu lim 2 亍 limlim x 0 x sinx u 0 Usinuu sinu ucosu cosu1 lim u 0 cosu cosu usinu 2 注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则 解法七： lim 一 x 0 1 1 x tgx2 2 . 2 1 cosxsi nx lim 2 lim 飞 22 x 0 x sin x x

5、0 x cosx sin x 注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限 12、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则） 定理： 设在X。的某空心邻域恒有g(x) f(x) 1,n0) x a 解： 当x 1时,存在唯的正整数k,使 k x0时有: n X X a (k 1)n kn a kn 1 k a a 时,k lim k 1) k a lim (k 1) k ak 1 kn k 1 a lim k kn 1 a a 0-0 a =0 13、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以 及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限lim f(x)存在且等于 A的充分必要条件是左

6、极限 X x0 lim f (x)及右极限lim f(x)都存在且都等于A。即有: XX0 X X0 lim f (x) A lim f (x) = lim f (x) =A X X0 xxxx 1 2e X,x 0 例：设f (x)= x x =,0 x 1求 lim f (x)及 lim f (x) V Xx 0 x 1 2 X ,x 1 解：lim f (x) lim (1 2e x)1 X 0 X 0 f x v x/ lim f(x) lim () lim 0, x 1)1 X 0X 0、xX 由 lim f (x) lim f (x)1 X 0X 0 lim f (x)1 X 0

7、X v X* 又 lim f(x) lim :lim ( x 1)0 x 1 x 1 、x x 1 2 lim f(x) lim x21 x 1x 1 由 f(1 0) f (1 0) lim f (x)不存在 x 1 14约去零因式（此法适用于x xo时，0型） 3 求lim冷 x 2x3 2 x 16x 20 2 7x 16x 12 解:原式= lim x 2 3 x -3 x 3x2 5? 10 x(2x2 6x 20) 6x (2x210 x 12) (x 2)(x2 3x 10) lim厂 x 2 (x 2)(x2 5x 6) =!也 (x2 (x2 7 = lim 5x 6) x

8、2 (x 5)(x 2) (x 2)( x 3) = xim2 15、利用化简来求极限（分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形） 比如求匹耳 此题要用到两个知识点将分子有理化分母分解因式 解: lim笃亠 x 1 x x 2 limn 2)(口 2)訥 1 x 1 (x 1)(x 2)( . x 3 2) x 1(x 2)( *x 3 2) 1 12 通分法（适用于 型） 16、利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则 更为方便，下列为常用的展开式: 1、 x e 1 2 x x 2! n x n! o(xn ) 3 5 2n 1 2、 sin x x x x (

9、1)n 1 x o(x2n) 3! 5! (2n 1)! 2 4 2n 3、 cosx 1 x x (1)n x o(x2n1) 2! 4! (2n)! 4、 ln(1 x) x 2 x n (1)n1x o(xn) 2 n 5、 (1 x)1 x - (1)x2( 1)(n 1)xn o(xn) 2! n! 6、 11 x x2 xn o(xn) 1 x 上述展开式中的符号0（xn）都有: xim0 o(xn) n X 例:求lim x 0 .a 2x x ii 4(a 0) 解:利用泰勒公式，当x 0有 1 x 1 2o(x) 于是 Ja 2x -vax lim x 0 2x a x a

10、1 = lim 一 x 0 1 2x o(x) 1 0( x) a = lim - x 0 x 2a x o(x) xm0 1 o(x) 1 2+a 17、利用拉格朗日中值定理 定理：若函数f满足如下条件: f在闭区间上连续 (ll)f在(a ,b)可导 则在(a ,b)至少存在一点，使得 f() f(b) f(a) b a 此式变形可为: f(b) f(a) b a f(a (b a)(0 1) 叫 Hx sin x e sin x 解:令f(x) ex对它应用中值定理得 1)即 ex esinxf (x) f (sin x) (x sinx)f (sinx(x sin x) (0 x si

11、n x e e f (sin x x sin x (x sin x) (0 1) f(x) ex 连续 lim f (sinx (x sinx)f (0) 1 x 0 x sin x 从而有：lim e1 x 0 x sin x 18. 利用定积分和积分中值定理求极限 比如设 Xn二 J(n 1)(n 2)川(4，(n 1,2ll|)，求 limxn n11n n : 解因为 In Xn- ln(1 -) n i 1 n 所以lim Xn n x)dx 2ln 2 1 lim 1 ln(1 丄)=1n(1 n n i 1 n 0 19、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若 R(x)

12、P(x) Q(x) mm 1 axaix bo xnbixn 1 am bn (ao0, bo0) P(x) x3 3x 2,P(1) o 当x 时，有 lim x P(x) Q(x) lim x mm1 aoxa1x boxnbxn1 am bn ao m n bo o m n m n (II)当 x 0 时有： 若Q(xo) 0 则 .P(x) lim P(Xo) x 0Q(x) Q(xo) 若Q(xo) 0 而 P(xo)0 则 lim P(X) x 0Q(x) 若Q(xo) 0, P(Xo) 0 ,则分别考虑若X。为P(x) 0的S重根, 即：P(x) (x Xo)sR(x) 也为Q(

13、x) o的r重根,即： lim x xo P(x) Q(x) xxo xo)srR(x) R(xo) Q1 (xo ) ,s r Q(x) (x Xo)Q(x)可得结论如下: ,s r 例：求下列函数的极限 lim x (2x 3)2o(3x 2)3 (2x 1)50 3x 2 4x 3 解：分子，分母的最高次方相同，故 lim x 3o (2x 3)2(3x 2)3 =22 33 (2x 1)50250 Q(x) x4 4x 3, Q(1)0 P(x),Q(x)必含有(X-1 )之因子，即有1的重根 故有: limX4 3X 2 1 x 4x 3 lim x 1 (x 1)2(x 2) 2

14、2 (x 1)2(x2 2x 3) lim 2x 21 x 1 x2 2x 32 (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方 法完全类同，这里就不再 详述.在这里我主要举例说明有理化的 方法求极限。 x x x x 例：求 lim ( x x x x) x 解：lim x (x 、x xx) lim x 、x x x x x X xx lim 1. x x 20. 利用拆项法技巧 lim n 例6： (i 3.5 (2n 1)(2n 分析：由于(2n 1)(2n 1) =2 (2n 1 lim 111 原式=T(1 3)(3 lim 1 111 -) ( )- 52n 1 2n

15、 12n (1八) 2n 1 21. 分段函数的极限 例8设讨论在点处的极限是否存在 分析 所给函数是分段函数，是分段点，要知 是否存在，必须 从极限存在的充要条件入手. 解因为 所以不存在. 注1因为从的左边趋于，则，故 注2因为从的右边趋于，则，故 22. 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限 此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数 列极限的一种方法。 举例说明: 例：若a,b,c 0,求 lim n 解先考虑: ax bx cx In - xln 1 a x 而 lim xln - 1 b； 3 1 c； x 1 ln a 1 1 b c ln3 lim x 1 x 1 1 1 1 1 1 - 2 ax ln a2 bx ln b cx ln c