§2.1平面向量的实际背景及基本概念

1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念 一、教材分析 地位与作用 向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的 桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用向量集数与形于一身，有着极其 丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它 的物理背景，有向线段是它的几何背景，向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学 概念经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决 数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的 本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用本节概念课，重要的不

2、是 向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识研究数学新对象的方法和基 本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力 学情分析 1知识储备：学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分 内容的学习中，已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识储备 2能力储备：学生间通过一学期的共同学习，其合作探究的习惯和意识已然养成，这就 为本节课的学习提供了认知储备 教学目标 1知识与技能 （1）通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念； （2）学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征； （ 3）理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相

3、等向量、共线向量等概念，并会 区分平行向量、相等向量和共线向量 2过程与方法 （1）培养用联系的观点，类比的方法研究向量； （2）获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维 3情感态度与价值观 （1）使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”； （2）让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐 教学重难点 1教学重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量、平行向量、共线向量的概念 2教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系 二、教法学法分析 教法分析 根据本节课的特点及课改要求，为了加深学生对向量内涵的理解，应精心选例设问， 引导学生的思考置疑通过直观形象T具体T抽象T

4、再具体的反复过程，使学生逐步理解 概念，克服思维的负迁移 学法分析 学生主动参与，自主探究，合作交流的学习方式. 三、教学过程 课前1分钟 1. tan 300；=,2.tan,3.tan 90 =,4.tan 二= 6 情境创设 1 南辕北辙一一战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车 一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢？”他却说：“不要紧， 我有一匹好马！ ”结果 离目的地越来越远 ，原因 方向错了 ； 2. 如图1,在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处 向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？结果无法抓到老鼠， HA I） 原因

5、方向错了 思考：上述情景中，描绘了物理学中的哪些量？咱们还认识类似于上面的量，你能举出来 吗？这些量的共同特征是什么? 形成概念 摩托车的速度v=80 km/h 拍球的力F=20 N 姚明的身高h=2.26 m 1.向量的物理背景与概念： 力既有大小，又有方向 观察：如下图中的三个量有什么区另U? .重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力就越大; 物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到到的浮力就 越大；被拉长或压缩的弹簧的弹力也有方向和大小. 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量.只有大小、没有方向的量 （年龄、身高、长度、面积、体积、质量等

6、），称为数量. 2. 向量的表示方法： 几何表示法：向量常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方 向表示向量的方向. 字母表示法： 以A为起点，B为终点的有向线段记为 AB，线段 AB白护度记作I AB | （读为模）；也可用a,b,lll表示为，大小记作： |a |,| b|,l 练习：如图4,小船由A地向西北方向航行15海里到达B地，小船的位移如何表示? （用1cm表示5海里） 数量与向量有何区别？ 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的. 说明：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时

7、，起点 可以取任意位置所以数学中的向量也叫自由向量. 有向线段与向量的区别： 有向线段：有固定起点、大小、方向； 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向. 3. 两个特殊的向量：* 零向量一一长度为零的向量，记作0，零向量模为0，方向任意； 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，单位向量模为1,方向不一定相同. 思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？ 4. 平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 规定：零向量与任 向量平行. 记作：a/b e与f是平行向量吗? e 思考：两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别? 5共线向量： a/

8、b/c，称a、b、c为共线向量. 任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，故平行 向量又称共线向量. 思考：两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否 一样？ 6相等向量： 长度相等且方向相同的向量. 向量a与b相等，记作：a = b . 注意：零向量与零向量相等； bca 任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起 点无关. 思考: 相反向量： -(-a) = ? 长度相等且方向相反的向量 -AB = ? 向量a与b相反，记作：a = - b . 拓展应用 例2 .如图，设0是正六边形 ABCDEF的中心，分别写出图中与向量 r T t OA、OB、OC 相 等的向

9、量. 思考：与向量 0A长度相等的向量有多少个? 是否有与向量 0A长度相等，方向相反的向量? 与向量0A共线的向量有哪些？ 1 例3.在图中的3 4方格纸中有一个向量 AB分别以图中的格点为起点和终点作向量，其 中与AB相等的向量有多少个？与 AB长度相等的共线向量有多少个？ ( AB除外) A. (1) 共有7个向量与与AB相等； (2) 共有15个向量与与AB相等. a与b共线，b与c共线，则a与c也共线; B. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量; C. D. 有相同起点的两个非零向量不平行. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; 课堂精练 1. 下列说法正确

10、的是(C ) A. 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； II B. 若a与b都是单位向量，则a = b ； C. 设0是正 ABC的中心，则向量 AO、BO、CO是模相等的向量； D. 向量AB与CD是共线向量，则 A B、C、D四点必在一直线上. 2. 判断下列说法是否正确:呻(1) (3)斗 彳 (1) 若 a =6，则 | a 冃 b | ；变题：若 a；二;，则 a = b ； 呻 T 一 一4 Ji 44 (2) 若 a/ b，则 a =b ；变题：若 a = b，贝U a/b ； 444 一 一 (3) 若 a =b,b =c，贝U a = c ； (4) 若 a /b,b/ c，贝U a/ c . 3. 下列结论中正确的有 _0个 (1) 若两个向量相等，则它们的起点和终点分另U重合； (2) 模相等的两个平行向量相等； (3) 大小相等，方向不同的向量互为相反向量； (4) 零向量没有方向； II (5) 若a的模比b的模大，则a b . 课堂感悟 1描述一个向量有两个指标模、方向； 2 平行