弯曲应力[高教课堂]

1、BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) F F B B C C A A 伽利略：伽利略：关于力学和局部运关于力学和局部运 动的两门新科学的对话和数动的两门新科学的对话和数 学证明，学证明，1638.1638. 一、一、 历史回顾历史回顾 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 建立了建立了“实验观测实验观测假设假设 分析与推导分析与推导”的现代科的现代科 学研究方法学研究方法 无中性轴概念无中性轴概念受当时实受当时实 验观测的局限验观测的局限 静力不平衡静力不平衡1919

2、世纪初才世纪初才 由由L.PoinsotL.Poinsot以静力学公理明确以静力学公理明确 阐明刚体上力系的简化与平衡阐明刚体上力系的简化与平衡 伽利略开创性研究的评述伽利略开创性研究的评述 1. 1. 局限性局限性 2. 2. 开创性开创性 F F B B C C A A BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 2 S F 设设 ，以，以B B点为矩心点为矩心 中图：中图： AS b 2 23 S hFl 3 Sh F l 下图：下图： D为矩心，为矩心，2hh l Sh l Sh l Sh FFF 366 下上 F b B F b D BEIJING JIAOT

3、ONG UNIVERSITY (HHM) 1620，荷兰，荷兰 I.Beeckman：梁一侧纤维伸长，一侧缩短：梁一侧纤维伸长，一侧缩短 1678，Hooke: 梁凸面纤维伸长，凹面缩短梁凸面纤维伸长，凹面缩短 1702，P.Varignon:纤维拉力沿截面曲线变化纤维拉力沿截面曲线变化 （同样忽略压（同样忽略压 缩变形）缩变形） 1654-1705，Bernoull: 中性轴位置无关紧要中性轴位置无关紧要 1713，Parent.A: 指出应静力平衡，学说长期埋没指出应静力平衡，学说长期埋没 1813，Navier: 中性轴位置无关紧要中性轴位置无关紧要 1826，Navier: 正确应用静

4、力平衡方程，中性轴过形心正确应用静力平衡方程，中性轴过形心 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 三、三、 梁横截面上的弯曲应力梁横截面上的弯曲应力 弯曲正应力弯曲正应力 弯曲切应力弯曲切应力 M S F 四、四、 对称弯曲对称弯曲 对称截面对称截面 梁具有对称截面，且在梁具有对称截面，且在 纵向对称面承受横向外纵向对称面承受横向外 力（或外力的合力）时力（或外力的合力）时 的受力与变形形式。的受力与变形形式。 二、二、 组合变形组合变形 杆件的一般变形通常可分解为拉压、杆件的一般变形通常可分解为拉压、 扭转与弯曲变形的两种或三种基本扭转与弯曲变形的两种或三种基本

5、 变形的组合。变形的组合。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 五、五、 纯弯曲与横力弯曲纯弯曲与横力弯曲MM 六、六、 对称纯弯曲对称纯弯曲 梁或梁段各横截面剪力为梁或梁段各横截面剪力为 零、弯矩为常数的受力状态零、弯矩为常数的受力状态 称为称为纯弯曲纯弯曲；既有剪力又有；既有剪力又有 弯矩则称为弯矩则称为横力弯曲横力弯曲。 七、问题静不定性质七、问题静不定性质连续体的静不定问题连续体的静不定问题 八、分析方法八、分析方法 从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、 再到组合变形进行研究。再到组合变形进行研究。

6、 连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方 面进行研究面进行研究 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 剪切弯曲（横力弯曲）：剪切弯曲（横力弯曲）： AB、CD段段 纯弯曲：纯弯曲： BC段段 请学生画出剪力图请学生画出剪力图/弯弯 矩图矩图? BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 一、实验观测一、实验观测 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 纵向线纵向线：成圆弧线成圆弧线, ,上方纵向线上方纵向线 缩短，下方伸长缩短，下方伸长 横向线：横向线：保持直

7、线，与保持直线，与纵纵线正交线正交 顶与底部纵、横线变形比顶与底部纵、横线变形比：符合符合 单向受力泊松效应单向受力泊松效应 单向受力假设单向受力假设 平面假设：平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交变形后横截面保持平面，仍与纵线正交 2. 2. 内部变形假设内部变形假设 1. 1. 外部变形观测外部变形观测 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 3. 3. 重要推论重要推论 纵向纤维缩短纵向纤维缩短 纵向纤维伸长纵向纤维伸长 梁内存在一长度不变梁内存在一长度不变 的过渡层的过渡层中性层中性层 中性轴中性轴纵向对称纵向对称面面 变形过程中横截面间变形过程中横

8、截面间 绕中性轴相对转动绕中性轴相对转动 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 1. 几何方面几何方面考察线段考察线段ab的变形：的变形： ab dxd 变形前：变形前： 变形后：变形后： ()aby d ababyd ydy dxd y z 中性轴中性轴 二、纯弯曲正应力一般公式二、纯弯曲正应力一般公式 d a b dx 中性层中性层 ab y BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 2. 物理方面物理方面 由胡克定律和单向受力假设：由胡克定律和单向受力假设： y EE y y 坐标原点位于中性轴，坐标原点位于中性轴， 中性层的曲率半

9、径中性层的曲率半径 中性轴位置中性轴位置？ 的大小的大小? 3. 静力学方面静力学方面 0 A dA A y dA M M dA 0 A ydA 2 A E y dAM 2 z A Iy dA 1 z M EI 定义定义 中性轴过中性轴过 形心形心 确定确定 z M y I BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 三、最大弯曲正应力三、最大弯曲正应力 z M y I max max max / zz MyM IIy m ax z z I W y 定义定义 max z M W （抗弯截面系数）（抗弯截面系数） 正应力沿截面如何分布？正应力沿截面如何分布？ BEIJIN

10、G JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 3 4 1 32 D 4 64 D 4 4 1 64 D 3 32 D 3 1 12 bh 2 1 6 bh 截面截面 z I z W Dz y o D z y o d h z y o b ()d D 典型截面的惯性矩与抗弯截面系数典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 中性轴过截面形心中性轴过截面形心 z EI M 1 z )( I My y 中性轴位置：中性轴位置： 截面弯曲刚度）截面弯曲刚度）（ z EI z W M max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（ z W 正应力公

11、式：正应力公式： 中性层曲率：中性层曲率： maxp 惯性矩）惯性矩）（ z I 应用条件：应用条件： BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 5 h L Z I yxM x Z W xM x max BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) A BC D KNP5 m m 180180 1 2 KNP5 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 1 2 MPa I yM Z 3.33 106030 12 1 1020900 123 3 )2( )(50 106030 6 1 900 92 max 压MPa W M

12、 Z BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) y z 100 200 a b c 46 1244 44 106.73 10100200 64 14.3 64 m dDI Z Z I yM BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) y z 100 200 a b c 0 b )(5 .81 106 .73 101001060 6 33 拉MPa I yM Z c )(75.40 106 .73 10501060 6 33 压MPa I yM Z a BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) Z T型截面梁尺寸如图所示

13、，若该梁危险截面承受正弯型截面梁尺寸如图所示，若该梁危险截面承受正弯 矩矩3.1kn.m。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力。试求：该梁的最大拉应力和最大压应力。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) mmyc75 501502 125501502550150 46 2 3 2 3 1013.53 5050150 12 15050 5050150 12 50150 m I Z BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) MPa I yM Z 29.7 1013.53 10125101.3 6 33 )(max MPa I yM Z 38.4

14、 1013.53 1075101.3 6 33 )(max BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 引言：问题的提出引言：问题的提出 19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为 什么沿纵向中截面开裂？什么沿纵向中截面开裂？ BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) D.J Jourawski (18211891)是俄国桥梁与铁路是俄国桥梁与铁路 工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论工程师，发展了现在广泛应用的梁的剪切近似理论 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM)

15、 假设假设: (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 思考思考: : 能否假设能否假设 ( (y) ) 沿截面高度均匀分布沿截面高度均匀分布? ? xdx 2h 2h 2b2b y y z C y S F 一、矩形截面梁一、矩形截面梁( (hb)的弯曲切应力的弯曲切应力 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 由图示微体平衡：由图示微体平衡： x F b y d d1 )( bI SF y z z )( )( S Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩 l dAFl x M bI S y z z d d)( )( l

16、 d* Ay I M z z z I MS)( 12 ( )Fyb dxF x F 0, z My I ( ) z ydAS 12 1 mn mn FFdF b dx ( )y 12 12 MMdM S F y S F *y x dx mn d BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) S () ( ) z z F S y I b l 1 ( ) 22 2 z hh Sbyy 2 2 S 4 1 2 3 )( h y bh F y z bh I 3 12 bh y 2 2 24 S F C z y 2h 2h 2b2b y O max 截面静矩与惯性矩截面静矩与惯性矩

17、 l 最大切应力发生在中性轴最大切应力发生在中性轴 l A FS max 2 3 当当y0时：时： BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广 O max 平截面假设不再严格成立平截面假设不再严格成立矛盾解法矛盾解法 切应力利用纯弯正应力切应力利用纯弯正应力 公式推导公式推导 纯弯正应力公式依据平截面假设纯弯正应力公式依据平截面假设 切应力非均匀分布引起截面翘曲切应力非均匀分布引起截面翘曲 但当但当l h时，纯弯正应力公式用于横力时，纯弯正应力公式用于横力 弯曲仍然相当精确仍然相当精确弯曲仍然相当精确仍然相当精确 BEIJING

18、 JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 截面弯曲切应力的有限元计算截面弯曲切应力的有限元计算 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 22 max 6 6 bh Fl bh Fl bh F 2 3 max h l F bh bh Fl 4 3 26 2 max max 当当 l h 时，时， max max F l b z y h C 弯曲正应力与弯曲切弯曲正应力与弯曲切 应力比较应力比较 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) ( ) ( ) sz z F S I t 2 222 2 2222 2 2 22 max 2 (

19、 )()() 82 2 ( ) ()(4) 8 () 8 z s z s z tbh SHhy F yb Hht hy I t F bHb t h I t 腹腹板板 s F b Hh 1 t y z 2 t max 工字形截面梁的弯曲切应力工字形截面梁的弯曲切应力 当腹板宽度远小于翼缘宽度时，最大当腹板宽度远小于翼缘宽度时，最大 与最小切应力差值甚小，腹板上的切与最小切应力差值甚小，腹板上的切 应力可看成是均匀分布的。应力可看成是均匀分布的。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) P=3KN BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 34

20、 1025 5050100 mm SZ 45 3 3 10281 12 150100 12 mm bh I z bI QS Z Z P=3KN bI QS Z Z MPa267.0 1010010281 1025103 37 53 1 ( ) 22 2 z hh Sbyy BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) MPa267.0 MPa267.0 21 KN AQ 7 .26 10100110267. 0 36 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) m kn q60 m1 m2 11 180 120 Z Y 30 AA 11 12 BE

21、IJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 90 CB RRKNmKNM.60 2 1 6090 11 Z I yM )21 ( 11、 （压）MPa7 .61 10180120 1210601060 123 33 C B m kn q60 m1 m2 11 180 120 Z Y 30 AA 11 12 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) Z W M max11 mKNqlM.5 .67 8 1 2 max KNQ90 max Z W M max max bI SQ z zmax max max MPa6 .92 10180120 6106

22、0 92 3 MPa104 10180120 6105 .67 92 3 MPa25. 6 1012010180120 121045120901090 3123 93 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 40, s FkNaa计计算算处处弯弯曲曲切切应应力力及及最最大大切切应应力力 s F 100 a 10 50 100 a , z a S 解：解： 1 () 222 z hh Sbyy 100 矩形矩形 上半部分分成上半部分分成3块计算块计算 (箱体厚度箱体厚度10mm) 35 1051.1 90100 2 1 )90100(80 250100 2 1 )50

23、100(10 mm S za 35 max 1076.1 95108025010010 mm S z BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 40, s FkNaa计计算算处处弯弯曲曲切切应应力力及及最最大大切切应应力力 s F 100 a 10 50 100 a , z a S 解：解： 33 74 11 100 20080 180 1212 2.779 10 z I mm 45 , 7 ,max max 4 10 1.51 10 10.85 220 2.779 10 12.65 2 sza a z sz z FS M Pa tI FS M Pa tI 100 (

24、箱体厚度箱体厚度10mm) BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) z M y I 1.1.弯曲正应力公式弯曲正应力公式 max z M W 梁应力公式回顾梁应力公式回顾 2.2.矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 S () ( ) z z F S y I b max 3 2 s F A 3.3.对称薄壁截面梁的弯曲切应力对称薄壁截面梁的弯曲切应力 ( ) ( ) sz z F S s I t () ( ) sz z F S q s I BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条

25、件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： , , 联合作用强度条件联合作用强度条件（详见强度理论）（详见强度理论） max max z W M max max, max z zS I SF max：最大弯曲正应力；：最大弯曲正应力； ：材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 max ： 最大弯曲切应力；最大弯曲切应力； ： 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 讨论题：讨论题：1.强度条件通常解决哪几类问题？强度条件通常解决哪几类问题？ 强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷 2.如何确定梁的危险截面与危险点？如何确定梁的危险截面与危

26、险点？ BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 例例 简易简易吊车梁吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ， = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号 关于危险截面的讨论关于危险截面的讨论 关于关于 与与 两个强度条件的讨论两个强度条件的讨论 梁的强度条件应用问题讨论梁的强度条件应用问题讨论(1) BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 讨论：如何确定可能危险截面讨论：如何确定可能危险截面 列剪力弯矩方程列剪力弯矩方程 分别确定剪力弯矩最大截面分别确定剪力弯矩最大截面 S () ( ), lF F l FF

27、F (0) SmaxS, ( )1,MF l 结论：关于正应力的危险截面是梁中截面结论：关于正应力的危险截面是梁中截面 关于切应力的危险截面是梁端截面关于切应力的危险截面是梁端截面 注意：正应力与切应力危险截面不一定重合。注意：正应力与切应力危险截面不一定重合。 42 max Fll MM BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 讨论：如何确定可能危险点讨论：如何确定可能危险点 c max a ,maxC ,maxt d 1 b 1 max O y 1 1 1 max a b c d ,maxC ,maxt 1 b 分析思路：画截面应力分布图。分析思路：画截面应力分

28、布图。 可能正应力危险点：可能正应力危险点：a,d；可能切应力危险点：可能切应力危险点：c。 可能正应力和切应力联合作用危险点：可能正应力和切应力联合作用危险点：b,b（强度理论）（强度理论） y z a c d b b BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) S () ( ), lF F l FFF (0) SmaxS, ( )1,MF l 42 max Fll MM 解：解：1. 内力分析内力分析 (确定危险截面）确定危险截面） 2. 危险截面应危险截面应力分析力分析 (确定危险点）确定危险点） 1 m ax a b c d ,maxC ,maxt 1 b 可能

29、正应力危险点：可能正应力危险点：a或或d 可能切应力危险点：可能切应力危险点：c 正应力的危险截面是梁中截面正应力的危险截面是梁中截面 切应力的危险截面是梁端截面切应力的危险截面是梁端截面 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 1 m ax a b c d ,maxC ,maxt 1 b 3. 设计（选择）设计（选择） 截面截面 通常按正应力强度条件设计截通常按正应力强度条件设计截 面，由切应力强度条件校核面，由切应力强度条件校核 思考：可否按思考：可否按 设计截面，由设计截面，由 校核，为什么？校核，为什么？ 查型钢表：查型钢表： 选选 22a, Wz=3.09

30、10-4 m3 3. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度 max max ,z z S I F MPa 1114 . 4 Fl Wz 43 3.0 10 m 22a满足要求满足要求 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 矩形截面梁的可能危险点矩形截面梁的可能危险点 可能危险点：可能危险点：a, d点，单向应力；点，单向应力； c点，点， 纯剪切纯剪切 Cz y ,maxC a d c ,maxt max a c ,maxC ,maxt max d y z d c d b b BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 小结：梁强度条件的选用小

31、结：梁强度条件的选用 F 细长非薄壁梁：细长非薄壁梁： max F 短粗梁、薄壁梁与短粗梁、薄壁梁与 M 小小 FS大的梁：大的梁： max MM 有时需考虑有时需考虑 , , 联合作用的强度条件联合作用的强度条件 maxmax ( ) max maxt, maxc, t c 梁梁强度问题的分析步骤：强度问题的分析步骤： 1 1、内力分析、内力分析确定危险截面确定危险截面 2 2、应力分析、应力分析确定危险点确定危险点 3 3、根据强度条件进行强度校核等。、根据强度条件进行强度校核等。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 1m A BCD 3 m1m 20kN

32、20kN 例：例：已知已知 40MPa 100MPa 校核梁的强度。校核梁的强度。 200 170 C y 30 z 30 1 y b a 讨论：材料拉压强度不讨论：材料拉压强度不 相等问题的危险截面与相等问题的危险截面与 危险点危险点 梁的强度条件应用问题讨论梁的强度条件应用问题讨论(2) BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 分析：分析：危险截面是否一定危险截面是否一定 是弯矩绝对值最大截面？是弯矩绝对值最大截面？ 10kN m 20kN m M 图: 1m A BCD 3 m1m 20kN 20kN C截面：弯矩绝对值最大。截面：弯矩绝对值最大。a点拉应点拉

33、应 力，力，b点压应力都可能达危险值。点压应力都可能达危险值。 B截面：弯矩绝对值不是最大，截面：弯矩绝对值不是最大， 但但b点拉应力可能达危险值。点拉应力可能达危险值。 z My I 200 170 C y 30 z 30 1 y b a 画弯矩图画弯矩图（内力计算）（内力计算） BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 64 139 40.3 10 C z ymm Imm 解：解：计算截面形心计算截面形心 与惯性矩与惯性矩 10kN m 20kN m M 图: 1m A BCD 3 m1m 20kN 20kN 200 170 C y 30 z 30 1 y b a

34、 为校核梁的强度，需计算为校核梁的强度，需计算 B截面截面a点的拉应力与点的拉应力与b点点 压应力，压应力，C截面截面b点拉应力点拉应力 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) C C截面：截面： 6 1 6 6 6 201061 40.310 30.240 2010139 40.310 69100 C a z aa CC b z aa My I MPMP My I MPMP B B截面：截面： 6 6 10 10139 34.5 40.3 10 BC ba z M y MP I 强度足够强度足够 10kN m 20kN m M 图: 1m A BCD 3 m1m

35、20kN 20kN 200 170 C y 30 z 30 1 y b a BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) （1 1）矩形截面）矩形截面 （2 2）圆形截面）圆形截面 x 1 F z y ll 2 F A b k d 讨论：对于矩形与圆形截讨论：对于矩形与圆形截 面，分析有何不同？面，分析有何不同？ 梁的空间两向对称弯曲问题讨论梁的空间两向对称弯曲问题讨论 例：例：已知已知 ，校核图，校核图 示悬臂梁的强度。示悬臂梁的强度。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 在在H点，两外力引起的点，两外力引起的最大最大拉应力叠加，拉应力叠

36、加， 在在H点，两外力引起的绝对值最大的点，两外力引起的绝对值最大的 压应力叠加，故为危险点。压应力叠加，故为危险点。 H H 12 max22 66 2 yA zA zy MM FlFl WWbhb h x 1 F z y ll 2 F A 解：解：对于矩形和圆形截面，对于矩形和圆形截面， 危险截面均为危险截面均为A端端 （1)1)矩形截面，危险点分析：矩形截面，危险点分析： 判断：判断： BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 解：解：（2 2）圆形截面）圆形截面 危险截面亦为危险截面亦为A A 1212 max 333 3232 232 (2) yA zA z

37、y MM FlFlFF l WWddd x 1 F z y ll 2 F A 思考：下述解答是否正确？思考：下述解答是否正确？ 判断关键：两向判断关键：两向最大应力最大应力是否能叠加？是否能叠加？ BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 圆形截面圆形截面分析：分析： x 1 F z y ll 2 F A 力力F1最大拉应力发生在最大拉应力发生在 截面顶端，截面顶端，F2最大拉应最大拉应 力发生在截面右侧，不力发生在截面右侧，不 能叠加，故能叠加，故 2,max 1,max 1212 max 333 3232 232 (2) yA zA zy MM FlFlFF l

38、WWddd 不正确！不正确！ BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 问题研究：问题研究：最大应力不能最大应力不能 叠加，怎么办？叠加，怎么办？ x 1 F z y ll 2 F A 1 M 2 M M O 22 max zAyA MM W 圆的关于任意直径的对圆的关于任意直径的对 称性，弯矩可以合成称性，弯矩可以合成 max 最大应力发生在圆截最大应力发生在圆截 面的右上一点面的右上一点 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路 max , z z M MM

39、 My y 依依据据= = W WI I () z S S S z z F F I I 合理设计基本原则合理设计基本原则 增大增大W、Iz与降低与降低M 中国古代建筑的斗拱结构中国古代建筑的斗拱结构 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 让材料远离中性轴：工字梁、让材料远离中性轴：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等形梁、槽形梁、箱形梁等 一、梁的合理截面形状一、梁的合理截面形状 2 zzcc IIy A C y z增大增大W、Iz 措施：措施： 为防止切应力破坏，腹板也不能太薄为防止切应力破坏，腹板也不能太薄 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY

40、(HHM) t c 通过截面设计充分利用材料力学性质：通过截面设计充分利用材料力学性质： 如脆性材料拉压强度不相等的性质如脆性材料拉压强度不相等的性质 c c tt y y 截面等强设计截面等强设计 脆性材料梁脆性材料梁 ,maxC ,maxt C y z C y t y BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 二、变截面梁与等强度梁二、变截面梁与等强度梁（与载荷分布匹配的合理截面形状）（与载荷分布匹配的合理截面形状） )( )( xW xM 弯曲等强条件弯曲等强条件 FxxM )( 6 )( )( 2 xbh xW 6 )( b Fx xh )(2 )(3 S x

41、bh xF 1 2 3 )(h b F xh FxF )( S 等强度梁等强度梁各截面具有同样强度的梁各截面具有同样强度的梁 剪切等强条件剪切等强条件 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 2l F 2l x 等强度梁工程应用实例等强度梁工程应用实例 等强梁不方便等强梁不方便 工程应用，切工程应用，切 成条后沿高度成条后沿高度 叠放叠放 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 2l F 2l x 等强度梁工程应用实例等强度梁工程应用实例 汽车钢板弹簧 汽车钢板弹簧 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 三、

42、梁的合理受力三、梁的合理受力（降低弯矩（降低弯矩M） a = ? F 最大最大. QQ 合理安排约束合理安排约束 l q M x 2 8ql 3 5l q M x 2 40ql 5l5l 2 50ql 2 50ql l F aa BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) QQ 合理安排加载方式合理安排加载方式尽量分散载荷尽量分散载荷 l qF l M x 8Fl 2l F M x 4Fl 2l3l F M x 6Fl 3l6l6l BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) l aa F 趣味小问题：趣味小问题： 两人带了一块长两人带了一块长

43、度超过沟宽的板，但度超过沟宽的板，但 一人在沟中点时的弯一人在沟中点时的弯 矩已刚好超过板强度，矩已刚好超过板强度， 这两人能想出办法过这两人能想出办法过 沟吗？沟吗？ p F 办法：一人作配重办法：一人作配重 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 答答: :位置位置1 1合理。合理。 例例1 1：从拉压强度考虑从拉压强度考虑, , 图示铸铁工字梁截面图示铸铁工字梁截面, , 跨中腹板钻一个孔跨中腹板钻一个孔, ,哪哪 一个是合理位置一个是合理位置? ? F 1 2 3 问题分析：问题分析：因为铸铁抗压不抗因为铸铁抗压不抗 拉，合理的位置是使最大拉应拉，合理的位置

44、是使最大拉应 力减小，最大压应力可增加。力减小，最大压应力可增加。 应用三例应用三例 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 例例2 2：中国古建筑的斗拱结构分析中国古建筑的斗拱结构分析 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 例例3 3：在成都在成都132132厂厂11K11K车间里，技术员和工人正面临着一个车间里，技术员和工人正面临着一个 问题，如何用现有的起吊重量只有问题，如何用现有的起吊重量只有5T5T的吊车吊起的吊车吊起10T10T的重物？的重物？ 经过大家的认真思考和努力，改进了装置，结果就吊起了经过大家的认真思考和努力，改进

45、了装置，结果就吊起了 10T10T的重物。的重物。请同学们想想他们是如何解决问题的。请同学们想想他们是如何解决问题的。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 一、弯拉一、弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 弯拉组合弯拉组合 偏心拉压偏心拉压 ( (外力平行且偏离轴线外力平行且偏离轴线) ) （横向载荷轴向载荷）（横向载荷轴向载荷） 工程实例：工程实例： BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 弯拉（压）组合分析弯拉（压）组合分析 A F N z I yMmax M z W M A F max max MN z I yM A F m

46、ax max 危险点处单向应力危险点处单向应力 内力内力FN，M 2l2l q FF AB C N F C max M N max M y NM BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 二、偏心压缩应力二、偏心压缩应力弯压组合应力弯压组合应力 外力向形心简化外力向形心简化弯压组合弯压组合 z z y y I yM I zM M zy FeM yz FeM y z yz Fe yFe z F AII A F - N F O z y x z e y e y M z M F 中性轴位置：中性轴位置：0: 1 0 y z yz e ye z AII 结论：如果中性轴通过截面

47、，截面必有部分区域受拉应力结论：如果中性轴通过截面，截面必有部分区域受拉应力 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 例例: : F = = 1010 kN，l = 2 m，e = l / 10， 3030， 160160 MPa， 选择工字钢型号选择工字钢型号 解：解：1. 1. 计算简图计算简图 cos30 e eFM cos30FFF xC sin30FFy y F e M C F y F A l B y x e x F F BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 2.2. 内力分析内力分析 3. 3. 截面型号初选截面型号初选 选

48、选 12.6, Wz=7.7510-5 m3 , A=1.8110-3 m2 4. 4. 校核与修改设计校核与修改设计 12.6 12.6 满足强度要求，否则修改设计满足强度要求，否则修改设计 按按弯曲强度弯曲强度初步设计初步设计 z A W M z AA W M A F N max MPa 5111 . A z M W 35 m 1017. 5 M x 8.27kN .m N F x 8.66kN 1.732kN .m BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 谢谢各位同学课堂的参与！ 作业：作业： 复习本章复习本章预习下一章预习下一章 例例5-1/5-2/5-3/

49、8-1/8-2 习题：习题：5-22/5-35 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。截面的几何性质：与截面形状和几何尺寸有关的量。 拉压拉压：, FFl l AEA 扭转：扭转： m ax , PPP TTTl IWGI 弯曲：弯曲：max , zz MyM IW A, IP, WP, Iz, Wz表征截面几何性质的量表征截面几何性质的量 我们已经学习了哪些截面的几何性质？我们已经学习了哪些截面的几何性质？ BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 一、一、 静矩静矩 z A y A Syd

50、A SzdA z y o y z dA 积分积分 分别称为对坐标轴分别称为对坐标轴x和和y的静矩的静矩 或一次矩。或一次矩。 静矩的量纲：静矩的量纲： 3 L BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 二二. . 形心形心 质心计算公式：质心计算公式： V c ydm y M AA c hydAydA y hAA zcyc Sy A Sz A z y o y z dA C zc yc 均质等厚薄板质均质等厚薄板质 心位于中面形心心位于中面形心 , zy AA SydASzdA 静矩静矩： , y z cc SS yz AA 或或 如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心

51、轴。如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。 形心轴：通过截面形心的坐标轴。形心轴：通过截面形心的坐标轴。 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心 11 123 123 123 z A AAA ccc SydA ydAydAydA yAyAyA z y o A1 A2 A3 11 i nn ici zii c SyA S y AAA z y o A1 A2 ()() zzz SSS 整整孔孔 ()() ()() zz c SS y AA 整整孔孔 整整孔孔 负面积法负面积法 BEIJING JIAOTONG UN

52、IVERSITY (HHM) 例：例： 确定下图所示截面的形心位置确定下图所示截面的形心位置 60 10 50 50 y zA1 A2 1122 12 cc c yAyA y AA 解：解：将截面分为两部分，将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：利用组合截面的公式： BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) z y o y z dA 22 , zy AA Iy dAIz dA 2 p A IdA 一、一、 截面对截面对o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩 二、二、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性矩轴的惯性矩 或二次轴矩或二次轴矩 三、三、 一个恒等式一个

53、恒等式 222 () pzy IIIzy BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) z y o y z dA 五、五、 截面对截面对z轴或轴或y轴的惯性半径轴的惯性半径 , y z yz II ii AA 四、四、 截面对截面对z轴与轴与y轴的惯性积轴的惯性积 yz A IyzdA 六、六、 惯性矩与惯性积的组合截面公式惯性矩与惯性积的组合截面公式 z y o A1 A2 A3 y 111 , nnn zziyiyzyzi iii IIIIII BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 22 0 22 00 () (2) z AA A Iy

54、dAya dA yaya dA 22 , zy AA Iy dAIz dA yz A IyzdA 一、一、 惯性矩的平行移轴定理惯性矩的平行移轴定理 Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系 Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系 二者平行二者平行 2 00 d z A IyA 0 0 d A yA 0 2 zz IIa A 同理同理: 0 2 yy IIb A BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系 Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系 d yz A Iyz A 00 00 00 d, d0,d0 y z A AA Iy zA yA

55、zA 00 d yz A IaybzA 二者平行二者平行 二、二、 惯性积的平行移轴定理惯性积的平行移轴定理 00 ,yayzbz 0 0 yzy z IIAab BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 例：例： 求下图所示截面对求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩方向形心轴的惯性矩 y z 100 100 10 10 20 20 1、求全截面形心轴位置、求全截面形心轴位置 4 1 i ci i c yA y A 2、求对个部分自身形心、求对个部分自身形心 轴的惯性矩轴的惯性矩 A4 A1 A2 A3 z0 0 44 2 11 () zziz iii ii IIIa

56、 A 解：解：方法一，如图将截面划分四块方法一，如图将截面划分四块 2 ,1,2,3,4 zii A Iy dAi 3、求对全截面形心轴惯性矩、求对全截面形心轴惯性矩 方法二：负面积法。方法二：负面积法。 自行完成自行完成 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 思考：思考：下列计算是否正确？下列计算是否正确？ 其中其中C是截面形心。是截面形心。 21 2 ZZ IIAa 解：解：不正确。不正确。 因为因为 Z1 不是形心轴不是形心轴 C a 1 z 2 z BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) sincos 1 zyy sincos

57、1 yzz A zy yzzyI)dAsincos)(sincos( 11 cos2sin2 2 11 yz zy zy I II I sin2 cos2 2 2 1 1 yz zyzy z y I IIII I I p 11 IIIII zyzy ：始边始边 y轴，轴，为正为正 一、一、 转轴公式转轴公式 BEIJING JIAOTONG UNIVERSITY (HHM) 一、主轴与主惯性矩一、主轴与主惯性矩 1 1 2 yz y zyz II I sin2I cos2 yz zy 2I tan2 II 令令 1 1 0 y z I, 主形心轴主形心轴 主形心轴主形心轴 结论：在以结论：在以o点为原点的所有坐标点为原点的所有坐标 系中，一定存在一直角坐标系，系中，一定存在一直角坐标系， 截面对其坐标轴的惯性积为零。截面对其坐标轴的惯性积为零。 主轴