高考数学一轮复习课时跟踪检测：十五《导数的概念及运算》(含解析

1、课时跟踪检测（十五）导数的概念及运算A 级保分题准做快做达标1曲线 y ex lnx 在点 (1 ， e) 处的切线方程为()A (1 e) x y 1 0C (e 1) x y 1 0B (1 e) x y1 0D (e 1) x y1 0解析：选 C1x 在点 (1 ，e) 处由于 y e x，所以 y| 1 e 1，故曲线 yex lnx的切线方程为y e (e 1)( x 1) ，即 (e 1) x y 1 0.2已知函数f() lnxbx2 的图象在点(1 ， 1) 处的切线与直线x1 0垂直，xaPy则 a 的值为 ()A 1B 1C 3D 3解析：选 D由已知可得 P(1,1)在

2、函数 f ( x) 的图象上，所以 f (1) 1，即 aln 12 b1 1，解得 b 1，所以 f ( x) alnx x2，故fax.() 2xx则函数 f ( x) 的图象在点 P(1,1)处的切线的斜率k f (1) a 2，因为切线与直线x y 1 0 垂直，所以 a 2 1，即 a 3.3(2019 珠海期末 ) 曲线y3 2 4 在点 (1,3) 处的切线的倾斜角为()xxA30B45C60D120解析：选 B由题意知点 (1,3)在曲线 x3 24 上yx32 4，y 3x2yxx2，根据导数的几何意义，可知曲线y x32x 4在点 (1,3)处的切线的斜率k y|x 11，

3、曲线 y x3 2x 4 在点 (1,3)处的切线的倾斜角为 45. 故选 B.4(2019 青岛模拟 ) 已知 f1( x) sinxcosx，f n 1( x) 是 f n( x) 的导函数，即f 2( x)f 1(x) ， f 3( x) f 2(x) ， ， f n 1( x) f n(x) ， n N* ，则 f 2 018 ( x) ()A sinx cosxB sinx cosxC sinx cosxD sinx cosx解析：选 C f( x) sinx cos x， f ( x) f(x) cos xsinx，f( x) f2(x)1213 sinx cosx， f 4( x

4、) f3(x) cos x sinx，f 5 ( x) f4(x) sinxcos x， ，f n( x) 的解析式以 4为周期重复出现， 2 018 4504 2， f 2 018 ( x) f 2( x) sinxcosx，故选 C.15(2019 山东省实验中学一模) 设函数 f ( x) x3 ax2，若曲线 y f ( x) 在点 P( x0，f ( x0)处的切线方程为xy 0，则点 P 的坐标为 ()A (0,0)B (1 ， 1)C ( 1,1)D (1 ， 1) 或 ( 1,1)23x 2ax 1，00解析：选 Df() 32 2， 依 题 意 ， 得 x0 fx0 0，解

5、得xxaxf x320 x ax ，00 2，a 2，ax 1，或x 1，故选 D.00f x0 1f x0 1，6(2019 湖北黄石二中一模) 若直线 y kx2 是函数 f ( x) x3 x23x 1图象的一条切线，则 k ()A 1B 1C 2D 2解析：选 C 直线 ykx 2 过(0,2)，f (x) 3x2 2x 3，设切点为 ( x0，y0 ) ，故切线2代入切线方程并结合32方程为 yy0 (3 x0 2x0 3)( x x0) ，将 (0,2)y0 x0x0 3x0 1，解得 x0 1， y0 0，代入 y kx2，解得 k 2.7(2019 银川一中月考 ) 设函数 f

6、 ( x) 3sinx3 cos x2 4x 1， 0，5，632则导数 f ( 1) 的取值范围是 ()A 3,4 3B 3,6C 4 3，6D4 3，4 3解析：选 B 求导得 f (x) 3x2sin xcos 4，将 x 1 代入导函数，得 f ( 51) 3 sin cos 4 2sin 6 4 ， 由 0，6， 可 得 6 21， sin 6 ， 1， 2sin 6 4 3,6故选 B.6322x8(2019 巴蜀中学模拟 ) 已知曲线 y x1在点 P(2,4) 处的切线与直线l 平行且距离为 25 ，则直线 l 的方程为 ()A 2x y 2 0B 2x y 20 或 2x y

7、 18 0C 2x y 180D 2x y 20 或 2x y 18 02解析：选 Bx 2x22， y|x 222 2，因此y2xxkl 2，设直线 l方程为 y 2x b，即2xy b 0，由题意得|2 2 4 b|5， 25解得 b 18 或 b 2，所以直线 l的方程为2x y 180 或 2x y 2 0. 故选 B.9(2019 成都双流区模拟 ) 过曲线 y x2 2x 3 上一点 P作曲线的切线，若切点P 的3横坐标的取值范围是1， 2 ，则切线的倾斜角的取值范围是 ()A. 0，B. 0，24C 0 ， )3， D.43解析：选 B因为 y 2x2,1 x 2，所以 02x2

8、1. 设切线的倾斜角为 ，则0tan 1. 因为 0 ，所以 0 4 ，故选 B.10(2019 广东七校联考 ) 函数 f ( x) xcos x 的导函数 f (x) 在区间 ， 上的图象大致是 ()解析：选 A 法一：由题意，得 f (x) cosx x( sin x) cos x xsinx，f ( x) f (x) ，所以 f (x) 为偶函数又f (0) 1，所以排除 C、D；令 g( x) f (x) cosxsin ，则()xcosx 2sinx，易知g(0) 0，且当 0，时， ( )0 ，f (x) 单调递增，所以f (x) 在 x 0 处2取得极大值，排除选项B. 故选

9、A.法二：由题意，得f (x) cos xx( sinx) cos x xsin x，又 f (0) 1，所以排除 C， D；当 x 0，时， y cos x 单调递减，对于y xsin x，y xcos x sin x0，2则 y xsin x 单调递增，则f (x) cosx xsinx 在0，A.2 上单调递减故选11(2018 全国卷 ) 曲线 y 2lnx 在点 (1,0) 处的切线方程为 _ 32解析：因为 y x， y|x1 2，所以切线方程为y 0 2( x 1) ，即 y 2x2.答案：y2 2x12若点 P 是曲线 y x2 lnx 上任意一点，则点P 到直线 yx 2的最

10、小距离为_21解析：由 y x lnx，得 y 2xx( x 0) ，0002y x2 的距离最小的点，设点 P( x ， y) 是曲线 y x ln x 上到直线则 yx x 2x 1 1，解得 x 1 或 x1 (舍去)00x0002点 P 的坐标为 (1,1)0所求的最小距离为|1 12| 2.2答案：21213(2019 石家庄二中月考 ) 已知函数 f ( x) x，g( x) x .若直线 l 与曲线 f ( x) ，g( x)都相切，则直线l的斜率为 _解析：因为f ( x) 1，所以 f (x) 1) 与 l 切于点 x1，1xx2，设曲线 f ( x，则切线斜x1率k 12，

11、故切线方程为y 112(x1) ，即y 12 2. 与 () x2 联立，得x2 12x1x1x1xxx1g xx1x1212211x 0. 因为直线 l 与曲线 g( x) 相切，所以24x1x1 0，解得 x ，故斜率 kx121 2 4. x1答案： 414(2019 淄博六中期末) 曲线 y ln(2 x 1) 上的点到直线2xy 3 0 的最短距离为_解析：设曲线上过点(0，0) 的切线平行于直线2x 3 0，即斜率是2，则|P xyyy x022，解得x0 1，所以y0 0，即点(1,0)又点P到直线 230 的距x2x0 1Pxy|2 03|5，所以曲线 y ln(2 x1) 上

12、的点到直线2x y 30 的最短距离是离为222 5.答案：515(2019 孝感高中期中) 已知函数f ( x) x3 x.(1) 求曲线 y f ( x) 在点 M(1,0)处的切线方程；4(2) 如果过点 (1 ， b) 可作曲线y f ( x) 的三条切线，求实数b 的取值范围解： (1)f( )3x2 1，f(1) 2.x故切线方程为y 0 2( x 1) ，即 2x y 2 0.(2) 设切点为3y3 f (x0)( x x0) ( x0，x0 x0) ，则切线方程为( x0 x0 )又切线过点 (1 ， ) ，所以 (3x02 1)(1 0) 03x0，bxxb3 2即 2x0

13、3x0 b 10.由题意，上述关于x0 的方程有三个不同的实数解记() 2x3 3x2 1，则() 有三个不同的零点，g xbg x而 g(x) 6x( x1) ，令 g(x) 0 得 x 0 或 x 1，则结合图像可知g(0) g(1)0 即可，可得 b ( 1,0) b16设函数f ( x) ax x，曲线 y f ( x) 在点 (2 ， f (2) 处的切线方程为7x 4y 120.(1) 求 f ( x) 的解析式；(2) 曲线 y f ( x) 上任一点处的切线与直线 x 0 和直线 y x 所围成的三角形的面积是否为定值，若是，求此定值；若不是，说明理由7解： (1) 方程 7x

14、 4y 12 0 可化为 y 4x 3，1当 x2 时， y .2b2 b1，a 1，a22又 f (x) a x2，所以b7解得 3.ba 4 4，3故 f ( x) x x.(2) 是定值，理由如下：设 P( x0，y0) 为曲线 y f ( x) 上任一点，3y y 3( x x ) ，由 f (x) 1 x 知曲线在点 P( x ， y ) 处的切线方程为x020001 20即 y x0 31 32 ( x x0) x0x066令 x0，得 y x0，得切线与直线x 0 的交点坐标为0， x0.令 yx，得 yx 2x0，得切线与直线y x 的交点坐标为 (2 x0, 2x0) 所以曲

15、线y f ( x) 在点 P( x0， y0) 处的切线与直线x0， y x 所围成的三角形的面积S51 6 2 x0 |2 x0| 6.故曲线 yf ( x) 上任一点处的切线与直线x 0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.B 级难度题适情自主选做1(2019 蚌埠质检 ) 已知函数1y f ( x) 上存在两个不同点，使f ( x) x a x ，曲线e得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是 ()A ( e2，)B ( e2,0)11C. e2，D. e2， 0解析：选 D 曲线 y f ( x) 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与

16、y 轴垂直，f()a ( 1)e x 0有两个不同的解，即(1 )e x有两个不同的解设xxaxy (1 x)e x，则 y ( x 2)e x，当 x2 时， y2 时， y0，则 y (1 x)e x时，函数 y 取得极小值 2在 ( ， 2) 上单调递减，在 (2 ， ) 上单调递增， x 2e .又当x2 时总有(1 )ex0，可得实数a的取值范围是1. 故 2，0yxe选 D.2(2019 山东名校调研 ) 已知曲线 y ex a 与 yx2 恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围是 ()A 2ln 2 2，)B (2ln 2 ，)C ( ， 2ln 2 2D ( ， 2ln 2 2)解析：选 D 由题意可设直线y kx b( k0) 为它们的公切线，联立ykx b，可yx22 kx b 0，由2x ax axa得 x 0，得 k 4b 0 . 由 y e求导可得 ye ，令 e k，可得x lnka，切点坐标为 (lnk ，lnkak )，代