椭圆及其标准方程(教学设计

1、2.2.1椭圆及其标准方程（教学设计）文昌中学 林 淑一、教材分析：椭圆及其标准方程是高中数学选修2-1（人教版）2.2.1中的内容，分两课时完成. 第一课时讲解椭圆的定义及其标准方程；第二课时讲解运用椭圆的定义及其标准方程解题，巩固求曲线方程的两种基本方法，即待定系数法、定义法； 本节是第一课时. 本节内容是继学生学习了坐标法研究直线和圆的方程，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究椭圆的标准方程，同时也为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础. 因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。二、学情分析：1上节课，学生已学过坐标法求曲线方程。学过坐标法

2、研究圆的定义与标准方程，但掌握不够，还需循序渐进，逐步深入学习。2在求椭圆标准方程时，会遇到比较复杂的根式化简问题，可能会有部分学生学习受阻，此处我在学案中设计了由易到难的相应习题，从而降低难度，给学生一个台阶。三、教学目标（一） 知识与技能：1.理解椭圆的定义。2.掌握椭圆标准方程的两种形式。3.会根据条件求椭圆的标准方程。(二) 过程与方法：通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。（三）情感态度与价值观：鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。四、教学重点和难点1.重点：掌握椭圆的标准方程

3、及其推导方法。理解坐标法的基本思想。 2.难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。五、教法与学法1教法 为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境自主探究建立模型拓展应用”的模式来组织教学。2学法 （1）小组合作探究 （2）学案导学法 （3）问题引领，层层深入探究。3教学准备(1)学具准备：一支铅笔、一根细绳、一张硬纸板。生活中椭圆形物体。 知识准备：填好学案课前准备知识。(2)教师准备：多媒体课件。六、教学过程设计（一）创设情境，复习引入1、多媒体展示多幅椭圆的图片。（天体运行运行轨道、国家大剧院、鸟巢等）2、身边

4、的椭圆：倾斜水杯中的水面、椭圆吊坠、鸡蛋等。（事先让学生准备）（二）动手实验，归纳概念问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?让学生拿出事先准备的细线、纸板和铅笔，三人一小组画图（边上两人用力按紧细绳两端，中间同学拿笔勾紧细绳，使笔尖在图板上慢慢移动，）得到的图形是什么呢？（实物展示学生所画图形）（教师用几何画板作椭圆）思考：“在运动的过程中，什么量没有变？” 让学生根据自己的实验，观察回答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上的点与两个定点距离之和不变）再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？”先让学生独立思考一分钟，然后小组

5、讨论，逐步完善，概括椭圆的定义。椭圆的定义: 平面内与两个定点F1, F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆定义的再认识：注意:椭圆定义中容易遗漏的四处地方：（1）在平面内;（2）两个定点-两点间距离确定;（3）绳长-轨迹上的点与两个定点距离之和为常数（4）常数|F1F2|。问：“为何常数要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？”（学生动手验证，师生共同做出小结）小结： 常数|F1F2| 椭圆 常数=|F1F2| 线段 常数0)，则F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0) . 问题3：动点P满足怎样的几何

6、条件？启发学生根据椭圆的定义，写出动点P满足的条件，即：问题4：如何用坐标表示几何条件？由于得到问题5：如何化简方程？（回到学案准备知识：含两个根式如何化简？）一般来说：方程中只有一个二次根式时，需将它单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边，平方一次；方程中有两个二次根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式，平方两次。到此为止，为学生做好了一切铺垫，（请一名同学上黑板板演化简过程。）待同学化简到之后，指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观察图形：问：“你们能从图中找出表示a、c、 的线段吗？”通过观察，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具有了对称性，而

7、且使字母b也有了明确的几何意义。从而将方程简化为： 我们称它为椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在x轴上，F1(-c,0)F2(c,0),这里，c2=a2-b2问题6：如果焦点F1 、F2 在 y 轴上，并且点O 与线段F1 F2 的中点重合，a、b、c 的意义同上，椭圆的方程形式又如何呢？问：在同一坐标系下，观察焦点在x轴和y轴椭圆的图象，你会发现什么？两图象关于哪条直线对称？学生互相讨论，交流，合情猜想，动手验证可得（ab0）老师指出：（ab0）也叫做椭圆的标准方程，此时，椭圆的焦点在y轴上，F1(0,-c)，F2(0,c),这里，c2=a2-b2小结：为了加深对椭圆的两种标准方程的理解， 比较椭圆的两种标准方程，填表. （学生讨论，填写学案表格，教师多媒体展示）不同点标准方程图形焦点坐标共同点定义a、b、c的关系焦点位置的判定巩固练习：（限时3分钟）1、 以下方程是椭圆标准方程吗？ 2、 求出下列方程中的a、b、c的值，并判断焦点在哪个坐标轴上。 小结：椭圆的标准方程的特点（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）a、b、c的几何意义及关系：c2=a2-b2（3）椭圆的标准方程中，与的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。（四）、例题教学例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。 例2. 写出适合下