小学奥数数论专题知识总结

1、数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数濟数=商余数 1. 能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2. 不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1 ：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2:如果非零自然数 a、b、c之间存在ax b= c,或者c* a = b,那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（ a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最

2、大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： 最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； 最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数+第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： 完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； 1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是 44个，3000以内的完 2 2 2 全平方数的个数是 54个。（31 =961, 44 =1936, 54=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1 ： 一般地，三

3、个整数 a、b、c,且0，如有a* b= c,则我们就说，a能被b整除，或b能整除a, 或a能整除以bo 定义2:如果一个整数a，除以一个整数b （bz0），得到一个整数商 c,而且没有余数，那么叫做a能被 b整除或b能整除a,记作b|a。（ a b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b ）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a x c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： 末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是

4、2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇 若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性； n个奇数的乘积是可数 连续的奇数或偶数差为 奇偶分析：奇+奇=偶 奇+偶=奇 偶+偶=偶 n个偶数的乘积是2n的倍数；算式中有一个是偶数，则乘积必是偶数。 2。如，与奇数 m相邻的两个奇数分别是（m-2）和（m+2）。 奇乂奇=奇 奇乂偶=偶 偶乂偶=偶 奇一奇=偶 偶偶=偶 奇一偶=奇 4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类） （1）定义： 质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个） 合数：除了 1和它本身还

5、有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上） （2）常见质数特征： 1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）； 2是最小的质数；4是最小的合数； 2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2夕卜，其它质数都是奇数）。 （3）100 以内质数表（25 个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97 （4）分解质因数 唯一分解定理：任何一个大于1的自然数 N,如果N不是质数，那么 N可以唯一分解成有限个质数的 乘积。 质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个

6、数的质因数。 分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28= 2 X 2X 7= 22 X 7 通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 要求出乘积中末尾 0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用考虑其它质因数。 （5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。 常见的互质数： 相邻自然数：8和9 相邻奇数：21和23 2与任意奇数：2和15 不同的两个质数：11和17 1与任意非零自然数：1和4 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14 公因数只有1的两个合数：6和25 如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、

7、5、7 5、最大公因数与最小公倍数 （1）定义： 最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，用（a, b）表示。 最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，用a , b表示。 （2）最大公因数的性质： 几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。 几个数的最大公因数都是这几个数的因数。 几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。 几个数都乘一个自然数 m所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘 (3) 最小公倍数的性质： 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等

8、于这两个数的乘积。即(a , b) x a , b = a x b (4) 求最大公因数的方法： 列举法 短除法 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数。 (5) 求最小公倍数基本方法： 列举法 短除法 分解质因数法 (6) 分类求最大公因数和最小公倍数： 倍数关系： a 是 b 的倍数，(a , b) = b, a , b = a 互质关系： a 与 b 互质，(a , b) = 1, a , b =a X b 般关系. a与b不互质也不倍数，用短除法。 (a , b)=左侧除数连乘积，a , b

9、=除数和商连乘积 6、分解质因数的运用： (1) 求一个数因数的个数 列举法：2个一组列举 分解质因数法：分解质因数所有不同质数出现次数+1连乘积(指数加1再相乘) 女口： 360= 23 X 32 X 5, 360 的因数个数：(3+1) X (2+1) X (1+1) = 4X 3 x 2 = 24 (个) (2) 求一个数的所有因数的和 步骤：分解质因数所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。 0 1 2 0 1 2 0 1 如：180 = 22 X 32 X 5, 180 的所有因数之和：(2 + 2 + 2 ) X (3 + 3 + 3 )(5 + 5) = 7X 13X 6= 546

10、 二、余数性质与同余问题 1、余数的性质 (1)余数小于除数。 若a、b除以c的余数相同，贝U (a-b)或(b-a)可以被c整除。 (3) a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以 c的余数。 (和的余数=余数的和) (4) a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。 (差的余数=余数的差) (5) a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以 c的余数。 (积的余数=余数的积) 2、余数的计算(求余数) (1)末位判断法：2, 5, 4, 25, 8, 125 数字求和法：3, 9 各个数位上数字之和除以3或9的余

11、数=某数除以3或9的余数。 女口： 234569。2+3+4+5+6+9= 29,因为 29- 9= 32,所以 234569- 9=?- 2,即卩 234569三29(mod 9) 截断求和法：99, 999及其因数 99 (3、9、11、33):两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以 99的余数。 999 (3、9、27、37、111、333):三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除以 999的余数。 如：12345。345+12=357,357 V 999,所以 12345十999 余 357。 （4）截断求差法：从右开始截断，奇段和偶段和。11, 101 , 1001及

12、其因数7、11、13、77、91、143。 11： 一位截断作差。从右开始， 1位截断，（奇数位数字之和）-（偶数位数字之和）十11的余数，即为 原数十11的余数；如不够减，求出的负数+11。 女口： 234569。奇数位数字之和 3+5+9= 17,偶数位数字之和 2+4+6= 12, 17-12 = 5，所以234569- 11 余 5，即 234569 三 5（mod 11） 女口： 98,（奇数位 8偶数位 9） 8-9 = -1 , -1+11=10 ,则 98- 11 = 810，即 98三 10（mod 11） 101:两位截断作差。从右开始，2位截断，（奇位和）-（偶位和）十1

13、01的余数，即为原数十101的余 数；如不够减，求出的负数+101。 1001 （7、11、13、77、91、143）:三位截断作差。 从右开始，3位截断，（奇位和）-（偶位和）-1001 的余数，即为原数十1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。 3、费马小定理 如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1= 1（mod p）。 即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒等于1。 如：a是自然数2, p是质数5, 2和5互质，2* 5余1。 a 是自然数10, p是质数3, 10和3互质，103余1 o 4、同余问题（求除数） 同余的定

14、义： （1）若两个整数a、b除以m的余数相同，则称 a、b对于模m同余。 已知三个整数a、b、m,如果m能被（a-b）整除，就称a、b对于模m同余，记作a = b（mod m）,读作a 同余于b模m 5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数） 在一千多年前的孙子算经中有著名算题： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。 方法： 最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。 列举法（逐步满足条件法） 口诀法（仅适应于3、5、7）:三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知。 口诀法解释（只看

15、数字即可）：将除以3的余数乘70,将除以5的余数乘21,将除以7的余数乘15,全部 加起来后除以105，得到的余数就是答案。 步骤：2 X 70+3X 21+2X 15=140+63+30=233, 233* 105=223 三、完全平方数 完全平方数：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484 完全平方数特征： （1）末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方数） （2）奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如25,49,81。（个位

16、数和十位数都是奇数的整数一 定不是完全平方数） （3）如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是 6，它的十位数字一定是奇数。如16,36,196 , 256。（个位数是6，十位数是偶数的一定不是平方数） （4）偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是 4的倍数加1。 奇数的平方是 8n+1型，偶数的平方是 8n或8n+4型。（形如 8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6, 8n+7型的一 定不是完全平方数） 完全平方数的形式一定是3k或3k+1，即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完全平方数） 完全平方数的形式一定是4k或4k+1，即除以4余0或1。（形如4k+2和4k+3的一定不是平方数） （8）能被5整除的数的平方是 5k型，不能被5整除的数的平方是 5k 1型。 （9）完全平方数对的形式具有：16m 16m+1 16m+4 16m+9b （10