专项练习计算求解题

1、专项练习(三)计算求解题运算能力是一项数学的基本技能，数式运算是最基本的数学基础，也 是代数部分的基础.因此，在河北省的中考试卷中，在解答题部分对代数 的基本运算给予了考查.主要目的是考查学生最基本的运算能力，虽然历 年来考查的题目难度不大，但仍有部分考生丢分，说明运算能力的培养仍 需重视.因此，我们要把运算的基本功练扎实，尤其要明确每一步的算理 和算法.1. (2019 唐山乐亭县一模)对于任意实数a, b,定义关于？ 的一 种运算如下：a? b= 2a b.例如：5? 2 = 2X 5 2= 8, ( 3)? 4= 2X ( 3) 4= 10.(1) 假设3? x = 2 011，求x的值

2、；假设x? 3v5,求x的取值范围.解：(1)根据题意，得2X 3 x= 2 011,解得 x= 2 017.(2) 根据题意，得2x 3V 5, 解得xv 4.2 =3=3,八8,b为正整数)，求a+b的值.2. (2019 保定二模)2 + 3 假设 8+b= 82 X -解：观察各个等式的特征，发现 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式：，依此类推，得第k个等式：(k + 1) + |当 k = 7 时，8+音=82 X63所以 a+ b = 8+63 = 71.2334422X 3, 3+8= 32X8, 4 +15= 42X 15,1+1 1+1 (1 + 1) + 1 卯徉-1

3、=(1+ 1)2X (2+ 1) + 2+2- 1 = (2+ 1)2X (3 + 1) +3+121 = (3 +1)2Xk+ 1k古 12 1 =(k + 1)2X k+ 12 1.：亦，故 a= 8, b= 63,3. (2019 -邯郸一模)如图，数轴上的点A, B, C, D, E表示连续的 五个整数，对应的数分别为 a, b, c, d, e.(1) 假设a+ e= 0,直接写出代数式b+ c+ d的值为0;a一 1ai假设a+ b= 7,先化简，再求值： 齐2-(a2 + a2_4)；假设a+ b+ c+ d + e= 5,数轴上的点M表示的实数为m,且满足M A + ME 12

4、,那么m的范围是 m7.解：t a, b, c, d, e为连续整数，b= a+1.t a+ b = 7,. a+a+ 1 = 7,解得 a= 3.原式 a一 1a2 2a+ 1a一 2原式=显 * a+ 22a2= a1.当a= 3时，原式=3 一 1 = 24. (2019 唐山路南区一模)在数轴上点A表示的数为a,点B为原点， 点C表示的数为c,且a, c满足|a+ 11+ (c一 7)2 = 0.(1) a= 1, c= 7;(2) 假设AC的中点为M，那么点M表示的数为3;(3) 假设A, C两点同时以每秒1个单位长度的速度向左运动，求第几 秒时，恰好有BA = BC?解：设第t秒时

5、，恰好有BA = BC,那么 1 +1= 7 t.t= 3.第3秒时，恰好有BA = BC.5. (2019 -唐山路南区一模)有n个方程：x2 + 2x 8 = 0; x2+ 2X2x 8X 22 = 0;；x2 + 2nx8n2= 0.小静同学解第 1 个方程 x2+ 2x 8 = 0 的步骤为：“ x2+ 2x = 8;x2 + 2x+ 1 = 8+1;(x +1)2 = 9;x+ 1 = 3;x= 1 3;x1 = 4, x2= 2.(1) 小静的解法是从第几步开始出现错误的？(2) 用配方法解第n个方程x2+ 2nx 8n2= 0.(用含n的式子表示方程的 根)解: (1).(2)

6、x2 + 2nx= 8n2,x2 + 2nx+ n2= 8n2+ n2, (x+n)2 = 9n2. x+ n = 3n 或 x+ n= 3n. x1 = 2n, x2= 4n.6. (2019 -河北一模)数学课上，老师出了一道题：化简：8(a + b)5 4 (a+ b)4 + ( a b)3 - 2(a + b)3.小明同学马上举手，下面是小明的解题过程：8(a + b)5 4(a + b)4 + ( a b)3 - 2(a + b)3=8(a + b)5 4(a + b)4 + (a+ b)3 - 8(a + b)31 1=(a+ b)2 2(a + b) +小亮也举起了手，说小明的解

7、题过程不对，并指了出来.老师肯定了 小亮的回答.你知道小明错在哪儿吗？请指出来，并写出正确解答.解：第一处错误是(a b)3= (a+ b)3;第一处错误是2(a + b)3= 8(a + b)3.正确解答如下：8(a + b)5 4(a + b)4 + ( a b)3 - 2(a + b)3=8(a + b)5 4(a + b)4 (a+ b)3 - 2(a + b)31=4(a + b)2 2(a + b).7. (2019 -河北二模)在学习了分式的乘除法之后，老师给出了这样一 1111道题，计算：(a+?(a2 + a2(a4+ a4)(a8+五)21),同学们都感到无从下 手,小明将

8、a2 1变形为a(a;),然后用平方差公式很轻松地得出结论.知 a道他是怎么做的吗？1 1 1 1 1解：原式=a(aa)(a+a)(a2+o2(a4+a4)(a8+話=a(a2- ”(a2+ap)(a4+ a4)(a8+a8)=a(a4- a4)(a4+a4)(a8+ a8=a(a8- a8)(a8+ a8)=a(a16-乔)=a仃玄佰x + kx 1.(1) 假设该不等式组的解集为x3,求k的值；4(2) 假设该不等逋组的2解，中整数只有1和2,求k的取值范围.，鷲,1得X2,解:(1) 4 x由，得x2不等式组的解集为2 x0时，假设一元二次方程x2 + bx + ac= 0的两根为x1

9、, x2,那么一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的 两根为X1, x2.a a验证：(1)解一元二次方程x2 x 6= 0,得x1 = 2, x2= 3,解一元二次方3程 2x2 x 3= 0,得 xT= 1, x2 =，x1 , x2 与 x1, x2 的关系 为 x1 =罗，x2= x|;(2 )请证明上述发现正确.应用：我们知道，二次项系数为1的一元二次方程一般情况下比二次 项系数不为1的一元二次方程好解，我们在解二次项系数不为1的一元二次方程ax2 + bx+ c= 0时，就可以先解二次项系数为 1的一元二次方程x2 + bx+ ac= 0,再利用上述发现，确定原方程 ax2 +

10、 bx + c= 0的解.请利用 这种方法解一元二次方程 3x2 + 2x 8= 0.b 士，b2 4ac解：当b2 4ac 0时，由求根公式得:一元二次方程x2+bx+ ac= 0的根为x =一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的根为x =b b2 4ac 12 a所以，假设一元二次方程x2 +bx+ ac= 0的两根为x1, x2，那么一元 二次方程ax2 + bx + c= 0的两根为x1, x2.a a应用：解方程 x2 + 2x 24= 0,得 x1 = 4, x2= 6,4所以方程3x2 + 2x 8= 0的两根为xT= , x2= 2.12. (2019 河北二模)如图，点A

11、, B都在数轴上，O为原点.(1) 点B表示的数是一4;(2) 假设点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，那么2秒后点B表示的数是0;(3) 假设点 A，B 分别以每秒 1 个单位长度、 3 个单位长度的速度沿数轴 向右运动，而点 O 不动， t 秒后， A，B，O 三个点中有一个点是另外两个 点为端点的线段的中点，求 t 的值解：当点0是线段AB的中点时，OB = OA , 4-3t = 2 +1，解得t= 0.5； 当点B是线段0A的中点时，OA = 20B ,2 +1= 2(3t4)，解得t= 2; 当点A是线段OB的中点时，OB = 2OA, 3t 4= 2(2 + t),解得t

12、= 8. 综上所述，符合条件的 t 的值是 0.5，2 或 8.13. (2019 石家庄二模)如图，在一条不完整的数轴上，从左向右有两 个点A，B，其中A点表示的数为m，B点表示的数为4,点C也为数轴上 一点，且 AB= 2AC.(1) 假设 m 为整数,求 m 的最大值；(2) 假设 C 点表示的数为 2,求 m 的值.解：(1 )由题意得mv 4,t m为整数，m的最大值是3.(2)v C点表示的数为一2, B点表示的数为4,点C在点B的左侧.当点C在线段AB上时，T AB = 2AC , 4 m= 2( 2 m),解得 m= 8;当点C在射线BA上时，t AB = 2AC , 4 m=

13、 2(m+ 2),解得 m= 0.14. (2019 保定竞秀区模拟)，数轴上三个点A, O, B.点O是原点， 固定不动，点A和B可以移动，点A表示的数为a,点B表示的数为b.(1) 假设 A, B 移动到如下图位置,计算 a+ b 的值;(2) 在(1)的情况下,点 B 不动,点 A 向左移动 3 个单位长度,写出点 A 对应的数a,并计算b|a|;(3) 在(1)的情况下,点 A 不动,点 B 向右移动 15.3 个单位长度,此时 b 比 a 大多少？请列式计算.解： (1)a+ b= 10+ 2= 8.(2) a= 10- 3= 13,b |a= 2 13= 11.(3) b = 2+

14、 15.3= 17.3,b a= 17.3- ( 10)= 27.3.15. (2019 冀卓二模)发现：五个连续的偶数中，存在前三个偶数的平 方和等于后两个偶数的平方和.(1) ( 4)2 + ( 2)2 + 02 = 22+ (4)2;(2) 假设还存在五个连续的偶数，前三个偶数的平方和可以等于后两个偶数的平方和，设中间的偶数为n,求n.延伸：在三个连续的奇数中，判断是否有前两个奇数的平方和可以等 于后一个奇数的平方.解：(2)(n 4)2 + (n 2)2 + n2 = (n + 2)2 + (n + 4)2, 解得n1 = 0, n2 = 24,所以n为24.延伸：(2n 3)2 +

15、(2n 1)2= (2n+ 1)2.19解得n1 = 2, n2 = 2所以不存在.16. (2019 河北模拟)把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表1 3x示成部分分式.如何将x表示成部分分式？1 3x mx2 t设分式宁x=+七，将等式的右边通分得：mx + 11+2x舛丁nx+ m nA+ nxmVx + n= 3,，得解得m n=1,孕如x由=1 3x x2 1x+ 1 x 1=+x2 1 x 1 x + 11(1) 把分式m nm = 1,所以n= 2,+ ，那么mx2 x5(2) 请用上述方法将分式-解：设分式4x 32x + 1将等式的右边通分得：m + 2nx 2m+n表

16、示成部分分式，即Lx 2x 51x 2 x 5=_ n = _ ；3,3；4x 3一4x3表示成部分分式.2x + 1m 2n 窃 2r?x + 冷2 +2x+ 1 x 2+ n 2x+ 1=2x + 1 X 2m+2nx 2m+n2x + 1 x由 m2+ +n= 4 x2x2得解得n= 1.2m+ n= 3,4x3= 2 + 丄.2x + 1 x 22x + 1 x 217. (2019 河北模拟)现有一组有规律排列的数：1, 1, 2, 2,3, 3, 1, 12, 2,3, 3,，其中，1 1,2, 2,3, 3这六个数按此规律重复出现，问：(1) 第50个数是什么数？(2) 把从第1

17、个数开始的前2 017个数相加，结果是多少？(3) 从第1个数起，把连续假设干个数的平方加起来，如果和为520,那么共有多少个数的平方相加？解：(1)丁 50-6= 82,.第50个数是1.(2) v 1 + ( 1)+ 2 + ( ,2)+ .3+ ( 3) = 0,2 017- 6= 3361,.把从第1个数开始的前2 017个数相加，结果是1.(3) v 12 + ( 1)2 + ( 2)2 + ( 2)2 + ( . 3)2 + ( 3)2= 12, 520- 12= 434,12+ ( 1)2 + (2)2 = 4,.从第1个数起，把连续假设干个数的平方加起来，如果和为520,那么共

18、有43 X 6 + 3= 261个数的平方相加.18. (2019 石家庄裕华区一模)如图，将连续的奇数1, 3, 5, 7, 按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住 5个数，这样框出的任 意5个数(如图2)分别用a, b, c, d, x表示.(1) 假设 x= 17,那么 a+b+c+ d = 68;(2) 移动十字框，用x表示a+b + c+ d= 4x;设M = a+b+c + d+ x，判断M的值能否等于2 020,请说明理由. 解：令 M = 4x + x = 5x = 2 020,2 020x= 404,5T 404是偶数不是奇数，.与题目x为奇数的要求矛盾.二M不能为2

19、020.19. (2019 河北模拟)发现(1)41= 4, 42= 16, 43 = 64, 44 = 256, 45= 1 024, 46= 4 096, 47= 1 6 384, 48= 65 536,观察上面运算结果的个位数字，写出你发现的规律；应用(2)依据(1)中的规律，判断 3X (4+ 1)(42 + 1)(44+ 1)(432 + 1)+ 1 的结 果的个位数字有何特点.解：(1)当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4;当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是 6.(2)3 X (4 + 1)(42 + 1)(44 + 1)(432+ 1)+ 1=(4- 1)X (4+ 1)(42 + 1)(44+ 1)(432+ 1)+ 1=(42 - 1)(42