平面上两直线的夹角求法解析教程文件

1、学习资料平面上两直线的夹角求法解析、内容概述在2004年审定的人教 A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问题没有涉及 到.但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：ftan -tand 礼冠tan 戸)= 曲 0 =1 +tan抚tan Q，平面向量中直线法向量夹角的余弦旳旳I及直线方a-b仅供学习与参考向向量夹角的余弦 的应用来进行考查.、基本概念平面上直线方程的两种常用表示:直线的点斜式方程：丿二&+6 依芒0).;直线的一般式方程：-H不全为：. 平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线 1,丄所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角. 平面上两条直线所成角的

2、范围：如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为丁 ；如果两条直线垂直，规定它们的夹角为；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为 平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线-平行或重合的向量“，叫做直线；的方向向量;直线点斜式方程-厂的一个方向向量为. 平面上直线的法向量：基线与平面上一直线垂直的向量人，叫做直线的法向量；直线的一般式方程-1 1-厂厂 不全为的一个法向量为11.三、理论推导1已知倾斜角 ,根据两角差的正切公式角.求两直线夹证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线一的倾斜角为；一，直线I的倾斜角为L .斶画（隔_%）二湎岂一讪场二鱼二邑1 + tail tan 1

3、+ k並tan 终 tan1 + tan 闵 tan又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角二范围是，? * ,所以：江二：； ： 从而得:tan a = |tan 6| = |taa - % j =即，平面上直线1与直线二的夹角H-H -.求平面上两直线夹2已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线I的一般式方程为丄.-1 1 -，一法向量-I -；直线的一般式方程为-，一法向量1假设m 为直线二，所成的一角，显然一+（左图）或 1 -（右图）由法向量夹角的余弦得：COS匕利忌=（担占） 0）A4+E刃J/ + 罗 J0+F /乎+又因为平面上

4、两条相交且互不垂直的直线夹角范围是，?,所以.从而得:cos cr = cos 0 = |cosa - arccos即，平面上直线】与直线匕的夹角求平面上两直线夹3已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦 角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系中，直线I的点斜式方程为1，+1 , 一方向向量-;直线I的点斜式方程为，二, 一方向向量_.假设八一为直线1所成的角，显然八亠- 工（左图）或（右图）， 由方向向量夹角的余弦得：郎|辭+灯/心丁1 +尙為Ji十任亍JT十丈r又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角上范围是，所以从而得:1 土岛為Ji +讦即，平面上直线-与直线I的夹角(X = a

5、rccos1+尙&J +岸 Jl注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式方程的某个法向量但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所成角与两直线夹角的区别： 两直线夹角的范围是即日的三角函数值一定是非负的.四、例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题下面结合具体实例谈谈求解方法是如何选择的.例1已知直线的斜率是二次方程- -:的根，试求直线与I的夹角.解析：设直线，I的斜率分别为，解二次方程I- - 得,= 2丰灵服=2 -頁tan = 得，所以直线与的夹角；1 +靠）-（2-迥_ 2

6、羽 1 +电+#牟-菽）点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方法.例2 求直线一与直线I的夹角.解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量求夹角的方法.AA+BB+得,直线I-.一法向量-_;直线_?| 一法向量低讪COS & = cos 将j代入公式AArBB1侶+护J把十少3x7-Ik12J罗十护J尹十（-1才27715356527VW3?& = arccos所以直线一与匚的夹角Q点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量求解，鼓励一题多解.例3光线沿直线】:照射到直线 / 1 I上后反射，求反射光线线所在直线的方程.2x+y 2 = U解析：联立L + 2 + 2=0得反射点的坐标为2-2），由题意知直线过该点，则 设：的方程为（其中了 为直线的法向量，不同时为零）由物理学中的反射原理可知：直线匚与直线I的夹角等于直线上与直线I的夹角，即:2 + 2，解得或工（舍去，否则与-重合）.所以，直线、的方程为1-点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的直线方