数值积分的基本思想、术语及Maltab实现

1、 数值积分的基本思想、术语及 Maltab 实现 DOI：10.16640/jki.37-1222/t.2016.01.250 1 引语 用牛顿 - 莱布尼兹公式（ Newton-leibniz formula ）计算定 积分在理论和解决实际问题中有很大的作用， 但求解积分仍有很 多困难。如涉及的初等函数的积分没有或很难找到其有由初等函 数构成的解析表达式。 或被积函数没有函数表达式， 只是一些由 实验数据或计算机的模拟输出得到的函数关系（表格或图形）。 因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的。 在这些情况下， 必须对定积分 的值进行数值逼近（近似），这就是数值积分（ numer

2、ical integration ）。我们来看两个例子： 例 1：制造椭圆管 用平板材料制造椭圆管。为构成一个轴长分别为 a和b的椭 圆，首先要找一个宽为的薄板，其中 E是完全椭圆的积分 常出现在统计应用和一些抛物线类的微分方程的解中。 方程 （1）的积分也不能通过解析的办法求值。数值积分在积分的解 析式已知时也很有用，但是这样做计算起来会有困难或不方便。 对数值积分方法的选择多少与的性质或类型有关。 所有的数值积 分方法都要求可以在区间的任意上求值。 如果有奇异点 （即对区 间上的某些来说有），就要特别警惕。到目前为止，还没有任何 一种数值积分法可以适用于所有的积分。 2 数值积分的基本思想

3、和术语 数值积分也叫数值求积 ( numerical quadrature )。术语“求 积”的本意是“求与某个平面图形有相同面积的正方形的边 长”。这表明了数值积分的一个基本的计算策略：考虑定积分， 用易于积分的简单函数来逼近曲线。 简单曲线下面的面积近 似等于下面的面积。 近似面积可以通过曲线的分段逼近和轴之间 的梯形面积相加来计算。 多项式易于积分， 多项式插值的理论也 非常简单，因此大部分数值积分方法都是先对构造多项式插值 式，然后再对插值式积分来得到的近似积分。 在积分所限定的区间中，被积函数的插值式在 n 个点处求 值，这些点称为节点(node)。节点用表示，并假设它们有序且 各不

4、相同(即)。 已经知道， 分段多项式的插值比单个多项式的全局插值更加 优秀，这个结论对数值积分方法也适用。将整个闭区间划分为 N 个小段( panel )。在每个小段上对进行低阶多项式逼近。对每 个小段上的逼近多项式积分时， 就得到基本公式 ( basic rule )：。 基本公式涉及用足够的对来定义分段多项式的某一段， 将此 公式应用到N个小段并把结果相加得到了复合公式(composite rule )，或称为扩展公式( extended rule )： 其中为截断误差。截断误差在数值积分中的角色非常重要。 求积公式的截断误差可通过应用于已知解析式的积分来测得。 截 断误差是数据结果与分析

5、结果之间的差， 其理论公式也可以通过 数值分析得到。 理论公式作误差比较， 可用来验证数值积分法的 代码可实现性。 截断误差可用代数精度衡量，代数精度越高，误差越小；反 之误差越大。代数精度是用来衡量数值积分公式近似程度的办 法，如果是一个次数不超过的代数多项式，（2）式等号成立； 而当是一个次多项式时，（ 3）式不能精确成立，则称（ 3）式的 代数精度为。 在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重 要特性。当节点均匀分布时，所用的积分公式就叫做 Newton-Cotes 公式。相反，高斯求积公式要选择作为正交多项 式零点的节点。高斯求积公式的截断误差比相同数目节点的 Newton-

6、Cotes 公式的要小得多。虽然高斯求积公式难于推导， 但是在程序中实现时不会有明显的困难。 自适应（ adaptive ）数值积分法通过估计截断误差来决定是 否需要更密的分布节点，从而达到指定精度。若需要增加节点， 函数会在新节点处重新求值，截断误差也要重新估计。 3 数值积分的 Maltab 实现 MATLAB?号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox ）求数值 积分的常用命令如下： 矩形公式命令 sum（ y） %输出一个向量 y 的分量的和，按 矩形公式计算积分的近似值。 梯形公式命令trapz (x, y) %输入向量x=x0 , x1,，xn, 输出同维数的向y=fO , fl，fn，按梯形公式计算积分近 似值。 梯形公式命令 trapz ( y) %按梯形公式计算积分，但取步长 h=1. 辛普森公式