基于Peclet数判别法的一维对流扩散方程分类研究

1、基于 Peclet 数判别法的一维对流扩散方程分类研究 摘要：采用 Peclet 数的绝对值大小来判别一维对流扩散方程为对流占优型或是扩散占优型方 程，运用三种隐式差分格式中心隐式格式、 对流 C-N 型格式和扩散 C-N 格式，对不同 Peclet 数的算例进行离散和求解。 然后，将计算区域中所有节点的解析解与数值解表示成矩阵形式， 并求解出它们的矩阵 2 范数之后作比较， 两者越接近则代表差分格式精度越高。 通过比较得 出了当方程 Peclet 数的绝对值小于等于 0.5 时，方程为扩散占优型方程。在离散方法选取方 面，针对扩散项的离散可以采用更高精度的差分格式，如扩散 C-N 格式；当

2、Peclet 数的绝 对值大于等于 20 时，方程为对流占优型方程。此时，针对对流项可以采用更高精度的差分 格式，如对流 C-N 格式；当 Peclet 数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，无法用 Peclet 数判断 方程类型 ,不过可以选择折衷的离散格式减小误差，如中心隐式格式。 关键字： 一维对流扩散方程 Peclet 数判别法 有限差分方法 数值模拟 MR(2010) 主题分类号： 39A14； 65M06中图分类号： O242.2 文献标识码： A 1.引言 一维对流扩散方程是描述流体流动和传热问题的一类线性化模型方程。土壤、 大气等多 孔介质中水、 盐分、 温度以及污染物质的

3、对流扩散问题都会遇到此类方程。在一维对流扩散 方程的求解过程中， 反映流体对流和扩散两种物理作用的分别是对流项和扩散项。 所以， 根 据方程中对流项还是扩散项占主导作用， 通常可将方程分为对流占优型和扩散占优型两类方 程。然而， 要想得到精确度较高的数值结果， 这两种类型方程的离散方法不能采用相同的离 散格式。 因此， 需要有一种判别方法来判断方程的类型， 关于对流占优型和扩散占优型方程 的判别方法一直是近年来研究的热点问题。 这对研究不同类型的方程使用合适的差分格式进 行离散具有实际的意义。 由于 Peclet 数的绝对值表示了对流作用相对扩散作用的大小， 即绝 大，扩散所起的作用就可以忽略

4、。反之，当 Peclet 数为零时，方程就为纯扩散方程。本文选 用一维定解非稳态对流扩散方程为例，通过考察 Peclet 数的绝对值大小来对方程进行分类， 方程一般形式如下： u a u 2u f(x,t),x1 x x2,t 0 t xx2 1 2 u(x,0) g(x) (1) u(x1,t) (t),u(x2,t) (t) u u(x,t) 其中 a和 分别代表对流项系数和扩散项系数。 假定求解区间长度为 s， Peclet 数的绝对值 计算公式为： (2) Pe as 从公式（ 2）中可以看出，当计算区间长度给定，Peclet 数是由对流和扩散系数确定的 1。 面介绍方程（ 1）的离散

5、方法。 2. 离散方法 2.1 显式格式离散 对于上述方程 （1），需要离散非稳态项 （简称 U 项）、对流项（简称 C 项）和扩散项 （简 称 D 项）。常见的离散方法有显式格式和隐式格式两种。显式格式有：中心显式格式、修正 中心显式格式、迎风差分格式等。比如，以中心显式格式为例，即使用向前差分格式、一阶 中心差分格式与二阶中心差分格式组合分别离散 U 项、 C 项和 D 项。其离散形式如下： (3) n 1 n n n n n n u j u ju j 1 uj 1uj 1 2u j u j 1 2h a2 h2 其截断误差为 o（ h2 ） 。然而，由 von Neumann 判别条件判

6、断此种格式将受到稳定性条件 的限制，即： 2 , 1 。相应其它显式格式同样有稳定性条件限制。所以，显示格 a2 , h2 2 式时间步长 和空间步长 h 取值将受到限制。 因此，若采用显式格式求解一维非稳态对流扩 散方程问题，得到的数值解精度将受到限制， 甚至误差很大。 所以，显式格式的离散效果欠 佳，为了弥补它的缺陷，尝试采用无条件稳定的隐式格式离散（1）式。 2.2 隐式格式离散 常见的隐式格式有三种： 向后差分格式、 一阶中心差分与二阶中心差分组合 （简称中心 隐式格式）；向后差分格式、 C-N 型一阶中心差分与二阶中心差分组合（简称对流 C-N 型格 式）；向后差分格式、一阶中心差分

7、与 C-N 型二阶中心差分组合（简称扩散 C-N 型格式）。 三种隐式格式的离散形式如下： 1）中心隐式格式： n 1 n unj 1 ujn n 1 n1 uj 1uj 1 a( j 1 j 1 ) 2h n 1 n 1 unj 11 2unj 1 n1 uj 1 h2 (4) 2）对流 C-N 型格式： n 1 n unj 1 unj a( n 1 n 1 n uj 1 uj 1 uj 1 4h 4h nn 1n 1n 1 uj 1uj 1 2ujuj 1 j 1)j 1j2j 1 h (5) 3）扩散 C-N 型格式： n 1 n n1 n1 n 1 n 1 n 1 n n n unj

8、1unjunj11unj 11unj 112unj1unj11unj12ujnunj1 a ( 2 2 ) 2h2h22h2 (6) 由 von Neumann 条件判断上述三种隐式格式均为无条件稳定的格式，即在网格系统较为粗 糙时，也不会产生数值震荡现象。下面将给出上述三种差分格式的稳定性分析 2 。 3.稳定性分析 将（ 4） （ 6）式分别按网格节点排列如下： (a h 2 )ujn11 (2 4 )unj 1 (a h 2 )ujn 11 2ujn (4) (a h 4)unj 11(4 8)unj 1(a h 4)unj 11ahunj 14unjahunj 1 (5) (a h)u

9、nj 11 (2 2 )ujn 1 (a h)unj 11 unj 1 (2 2 )unjunj 1 (6) 其中网格比。假定 h2 (7) unjvneikjh 其中 eikh cos( kh) i sin( kh) 。把（ 7）式代入 （4） （6）式并消去公因子 eikjh ，容易 求出上述四式的增长因子分别为： G( ,k) (2 4 4 cos(kh) 2 (2a h)2 (8) G( ,k) 4 (2a h(1 )2 (2 4 4 cos(kh)2 (2a h )2 (9) G( ,k) 2 4 (1 ) 4 (1 )cos(kh) (2 4 4 cos(kh) 2 (2a h)2

10、 (10) 可以看出， （8） （10）式的值均小于等于 1。因此，满足 von Neumann 判别条件。所以三种 隐式格式均无条件稳定 3 4 。 4.数值算例 为了通过 Peclet 数判别法讨论一维对流扩散方程的分类，运用上述（4） （ 6）式的三 种离散格式进行了大量实例计算。 本文列举其中部分数值算例如下。 为了讨论的必要， 所有 算例的计算区间长度 s 均取 1m，模拟时间取 1s；时间步长取 0.1s，每个算例的空间步长分 别取 0.2m， 0.1m ， 0.05m 进行比较计算。 按照方程（ 1），算例的条件依次如下： 例1 a 10, 0.1,0 x 1,t 0 例2 u(

11、x,0) e (x 100) 2 800 ,u(0,t) u(1,t) 0 20 u(x,t) ( 40020 0.1t )e 2 (x 100 10t)2 800 ,f (x,t) 0 (11) a 1, 0.05,0 x 1,t 0 u(x,0) x(1 x),u(0,t) u(1,t) 0 (12) t 2 t u(x,t) x(1 x)e t, f(x,t) (x2 3x 1 2 )e t 例3 a 0.1, 0.01,0 x 1,t 0 9x 0.09t 9 0.09t u ( x,0) e9x,u(0,t) e 0.09t , u(1,t ) e9 0.09t(13) 9x 0.0

12、9t u(x,t) e9x 0.09t , f (x,t) 0 例4 a 0.1, 0.01,0 x 1,t 0 5x u(x,0) e5 x sin( x), u(0, t) u (1,t ) 0 (14) u(x,t) e 5x t(0.01 2 0.25) sin( x), f(x,t) 0 例5 a 0.1, 0.02,0 x 1,t 0 1.771243444677046x 0.09t u(x,0) e ,u(0,t) e 1.771243444677046 0.09t u(1,t) e u(x,t) e1.771243444677046x 0.09t, f (x,t) 0 (15)

13、 例6 a 1, 1,0 x 1,t 0 1 1 1 x u(x,0) 1 e (1 e )x e ,u(0,t) u(1,t) 0 1 1 1 x u(x,t) e (1 e )x e e t 1 1 1 x f (x,t) 1 2e (1 e )x e e t (16) 例7 例8 例9 例 10 例 11 a 1, 1,0 x 1,t 0 u( x,0) sin( x), u(0,t ) e t sin( t) u(1,t) e t sin(1 t) u(x,t) e t sin(x t), f(x,t) 0 a 1, 1,0 x 1,t 0 u(x,0) x2 x,u(0,t) u(1

14、,t) 0 u(x,t) (x2 x)e t, f(x,t) (x2 x 1)e t a 1, 1,0 x 1,t 0 u( x,0) ex,u(0,t) e t,u(1,t) e1 t u(x,t) ex t, f(x,t) e (x t) a 0.1, 0.2,0 x 1,t 0 0.25x u( x,0) sin( x)e0.25x , u(0, t ) u(1,t) 0 0.25x (0.0125 0.2 2)t u(x,t) e sin( x), f (x,t) 0 (17) (18) (19) (20) a 0.22, 0.5,0 x 1,t 0 (21) u( x,0) sin(

15、 x)e0.22x,u(0,t) u(1,t) 0 0.22x (0.0242 0.5 2)t u(x,t) e sin( x), f(x,t) 0 表为以上 11个算例 5 10在使用三种格式离散和取不同空间步长的情况下， 得到的解析 解与数值解矩阵 2 范数之差的绝对值。这些数值能反映出各差分格式的数值解精度。当 2 范数越小，代表数值解越接近于解析解，反之亦然 11 。 表 1 三种格式在三种不同空间步长下的解析解与数值解矩阵2范数之差的绝对值 Tab.1 the absolute of difference of exact solution matrix and numerical

16、solution matrix s 2-norm under three different space step by three schemes h Peclet 数绝对值 中心隐式格式 对流 C-N 格式 扩散 C-N 格式 0.2 算例 1 100 5.715e-6 5.0108e-6 5.7789e-6 0.1 7.3631e-6 6.8768e-6 7.2649e-6 0.05 1.0115e-6 9.3392e-6 1.0084e-6 0.2 算例 2 20 0.012002 0.00051153 0.0059229 0.1 0.015879 0.0031784 0.007425

17、2 0.05 0.022052 0.0058942 0.010158 5 0.2 算例 3 60.552 93.587 91.824 0.1 110.07 117.73 106.86 10 0.05 60.552 76.316 48.411 0.2 算例 4 5.1283 5.1394 5.0108 0.1 2.4.41 2.353 2.1411 10 0.05 1.2856 1.1524 0.88665 0.2 算例 5 0.0022637 0.57092 0.001771 0.1 5 0.0011351 0.90959 0.0020185 0.05 0.0035621 1.3479 0.0

18、049199 0.2 算例 6 1 0.71437 0.99617 0.73997 0.1 1.007 1.4061 1.0457 0.05 1.4186 1.9831 1.4745 0.2 算例 7 0.013045 0.0091566 0.0053497 0.1 1 0.01829 0.012842 0.0064914 0.05 0.025631 0.018149 0.0085828 0.2 算例 8 1 0.0033683 0.0029494 0.031075 0.1 0.0046531 0.0039579 0.04415 0.05 0.0065412 0.0055206 0.06249

19、7 0.2 算例 9 1 0.018874 0.0017841 0.04202 0.1 0.031024 0.0010974 0.067176 0.05 0.046277 0.00099537 0.099535 0.2 算例 10 0.14841 0.14782 0.037473 0.1 0.1694 0.16836 0.010001 0.5 0.05 0.22537 0.22382 0.00092494 0.2 算例 11 0.16976 0.16906 0.010148 0.1 0.21691 0.2157 0.0097485 0.44 0.05 0.29868 0.29689 0.022

20、165 从上表中可以发现，在相同的条件下，一方面，当方程 Peclet 数的绝对值为 20 或者以 上时（算例 1 和算例 2），对于不同取值的空间步长，对流C-N 格式的精确度较之另外两种 格式都要高；另一方面，当方程 Peclet 数的绝对值为 0.5 或者以下时（算例 10 和算例 11）， 扩散 C-N 格式的精确度则在不同空间步长取值下较之另外两种格式要高； 然而，当方程 Peclet 数的绝对值介于 0.5与 20之间时，对流 C-N 格式与扩散 C-N 格式精度参差不齐。从表中也 可以看出，当方程的 Peclet 数绝对值为 1（算例 69）、 5（算例 5）和 10（算例 34

21、）时， 对流 C-N 格式与扩散 C-N 格式精度时高时低。 不过中心差分格式的精度则介于对流 C-N 格 式与扩散 C-N 格式之间 （算例 4，69），甚至还出现了中心差分格式的精度高于另外两种格 式（算例 3 和算例 5）。因此，对于方程 Peclet 数的绝对值介于 0.5 与 20 之间时，采用中心 隐式格式这类离散方法，即不对扩散项和对流项使用较高的离散格式（比如 C-N 型格式）， 数值解的效果会更好一些。 5.结论及拓展 针对一维非稳态对流扩散方程，通过上述 11 个算例的数值模拟，可以发现： Peclet 数的 绝对值在大于或等于 20 时，可以判定方程为对流占优型方程，进而

22、可以利用诸如对流 C-N 型格式之类的对流占优型格式； Peclet数的绝对值小于或等于 0.5 时，方程为扩散占优型方 程，方程的离散格式则可以使用诸如扩散 C-N 型格式之类的扩散占优型格式。而当Pectlet 数的绝对值介于 0.5与 20 之间时，此时无法用 Peclet 数判别法判断方程的类型。此时在方 程离散格式上， 可以选取诸如中心隐式格式之类的差分格式， 即不对扩散项和对流项采用更 高精度的离散格式。 本文在讨论利用 Peclet 数判别法判定一维对流扩散方程时， 所使用的离散方法还不尽完 善。有待于继续寻找更好的差分格式离散方程， 从而有望缩小对流占优型和扩散占优型方程 的界

23、限。另外， Peclet 判别法从一维对流扩散方程能否推广到二维、三维方程，将做进一步 研究。 参考文献 1 陶文铨 . 数值传热学 (第二版 )M. 西安: 西安交通大学出版社 , 2006: 138-140. 2 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法 (第二版)M. 北京: 清华大学出版社 , 2004: 97-105. 3 J.W.Thomas, Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference MethodsM. New York: Springer-Velag, 1995: 117-125. 4 曾晓艳 , 陈建业

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28、ions by the size of absolute value of Peclet number.Adopting three implicit difference schemes which are included centeral difference scheme, Crannk-Nicolson scheme of diffusion and Crannk-Nicolson scheme of convection to scatter and sovle different Pcelet number of examples.Then, 2-norm of exact solution matrix and numerical solution matrix can be sovled.If the smaller of their 2-norms of difference ,the h igher of schemes