多边形知识点整理原版讲解

1、 多边形知识点整理 一选择题（共 6 小题） 1如果一个正多边形的中心角为72，那么这个多边形的边数是（） A4 B 5C 6 D7 2如图， P 为平行四边形 ABCD 的对称中心，以 P 为圆心作圆，过 P 的任意直线与圆相交 于点 M ， N 则线段 BM ， DN 的大小关系是（ ） ABMDN B BMDN B BMDN C BM=DN D 无法确定 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 根据 P为平行四边形 ABCD 的对称中心，可推出 DNP BMP ，从而可得到 BM=DN 【解答】 解：如图，连接 BD ， P是?ABCD 的对称中心，则 P是平行四边

2、形两对角线的交点，即 BD 必过点 P， DP=BP ，圆的半径 PN=PM ，由对顶角相等 DPN= BPM ， PM=PN ， PD=PB DNP BMP ， BM=DN 故选 C 【点评】 平行四边形的对称中心是两条对角线的交点， 考查了学生对平行四边形性质的掌握 及全等三角形的判定定理 3下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的 为（ ） 第7 页（共 24页） 【考点】 平面镶嵌（密铺） 【分析】 几何图形镶嵌成平面的关键是： 围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组 成一个周角 【解答】 解： A 、从一个顶点处看，由正六边形和正三角形镶嵌而

3、成的； B、从一个顶点处看，由正方形和正三角形镶嵌而成的； C、从一个顶点处看，由正八边形和正方形镶嵌而成的； D、从一个顶点处看，由正三角形、正方形、正六边形三种镶嵌而成的 故选 D 【点评】 解决本题的关键是应从一个顶点处看是由哪几种正多边形镶嵌而成的 4（ 2010?黔南州）如图，已知等边三角形ABC 的边长为 2，DE 是它的中位线，则下面四 个结论： （1） DE=1 ； （2） AB 边上的高为； （3）CDE CAB； （4）CDE 的面积与 CAB 面积之比为 1：4 其中正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D 4 个 【考点】 三角形中位线定理；等边三角形的性质；

4、平行线分线段成比例；相似三角形的判定 与性质 【专题】 压轴题 【分析】 根据图形，利用三角形中位线定理，可得DE=1 ，（1）成立； AB 边上的高，可利 用勾股定理求出等于，（2）成立； DE 是CAB 的中位线，可得 DE AB ，利用平行线 分线段成比例定理的推论，可得 CDE CAB ，（ 3）成立；由 CDE CAB ，且相似 比等于 1：2，那么它们的面积比等于相似比的平方，就等于1：4，（ 4）也成立 解答】 解： DE是它的中位线， DE= AB=1 ，故（ 1）正确， DE AB ， CDE CAB ，故（ 3）正确， 22 =边长 sin60=2 ，故（ 2）正确 SCD

5、E： S CAB =DE ：AB =1：4，故（ 4）正确， 等边三角形的高 故选 D 第8 页（共 24页） 【点评】 本题利用了： 1、三角形中位线的性质； 2、相似三角形的判定：一条直线与三角形 一边平行，则它所截得三角形与原三角形相似；3、相似三角形的面积等于对应边的比的平 方； 4、等边三角形的高 = 边长 sin60 5（ 2011?安徽）如图， D 是ABC 内一点， BD CD， AD=6 ，BD=4 ，CD=3，E、F、G、 H 分别是 AB 、AC 、CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 考点】 专题】 C10 三角形中位线定理； 计算题 D11 勾股定理 分

6、析】 根据勾股定理求出 BC 的长，根据三角形的中位线定理得到 HG= BC=EF ， EFGH 的周长 EH=FG= AD，求出 EF、 HG 、EH 、 FG 的长，代入即可求出四边形 【解答】 解： BD DC ， BD=4 ， CD=3 ，由勾股定理得： BC= =5， E、F、G、H 分别是 AB 、AC、CD、BD 的中点， HG= BC=EF，EH=FG= AD ， AD=6 ， EF=HG=2.5 ， EH=GF=3 ， 四边形 EFGH 的周长是 EF+FG+HG+EH=2 （ 2.5+3）=11 故选 D 【点评】 本题主要考查对勾股定理， 三角形的中位线定理等知识点的理解

7、和掌握， 能根据三 角形的中位线定理求出 EF、HG、EH、FG 的长是解此题的关键 6（ 2009?衢州）在 ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高将 ABC 按 如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则 DEF 的周长为（） 考点】 三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题） 专题】 压轴题 第9 页（共 24页） 【分析】 根据折叠图形的对称性， 易得EDF EAF，运用中位线定理可知 AEF 的周长 等于 ABC 周长的一半，进而 DEF 的周长可求解 【解答】 解： EDF 是 EAF 折叠以后形成的图形， EDF EAF， AEF=

8、DEF， AD 是 BC 边上的高， EFCB， 又 AEF= B， BDE= DEF ， B=BDE ， BE=DE ， 同理， DF=CF ， EF 为 ABC 的中位线， DEF 的周长为 EAF 的周长，即 AE+EF+AF= （AB+BC+AC ）= （ 12+10+9）=15.5 故选： D 【点评】 本题考查了中位线定理，并涉及到图形的折叠，认识到图形折叠后所形成的图形 AEF 与 DEF 全等是解题的关键 填空题（共 12 小题） 7（2009?山西）如图， ?ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E是 CD 的中点， ABD 8 cm 考点】 三角形中位线定理；平

9、行四边形的性质 专题】 几何图形问题 BC=AD ，DC=AB ，DO=BO ， 8cm 分析】 根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得， E 点是 CD 的中点，可得 OE 是DCB 的中位线，可得 OE= BC 从而得到结果是 【解答】 解：四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 BD 中点， ABD CDB， 又E是CD 中点， OE 是 BCD 的中位线， OE= BC ， 即 DOE的周长 = BCD 的周长， DOE 的周长 = DAB 的周长 DOE 的周长 = 16=8cm 第 10 页（共 24 页） 故答案为： 8 点评】 本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线

10、的性质的应用 8（ 2012?大连）已知 ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的中点，且 DE=3cm ，则 BC= 6 cm 【考点】 三角形中位线定理 【分析】 由 D，E分别是边 AB，AC 的中点，首先判定 DE 是三角形的中位线，然后根据三 角形的中位线定理求得 BC 的值即可 【解答】 解： ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 边上的中点， DE 是三角形的中位线， DE=3cm ， BC=2DE=6cm 故答案为： 6 【点评】 本题重点考查了中位线定理， 中位线是三角形中的一条重要线段， 由于它的性质与 线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中

11、有着广泛的应用 9（ 2012?肇庆）菱形的两条对角线长分别为6和 8，则这个菱形的周长为20 【考点】 菱形的性质；勾股定理 【分析】 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质， 利用对角线的一半， 根据勾股定理求出菱 形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可 【解答】 解：如图所示， 根据题意得 AO= 8=4 ，BO= 6=3， 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=DA ，AC BD， AOB 是直角三角形， AB=5， 此菱形的周长为： 54=20 【点评】 本题主要考查了菱形的性质， 利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键， 同学们 也要熟练掌握菱形的性质： 菱形的四条边都相

12、等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且 每一条对角线平分一组对角 第 11 页（共 24 页） 10DE是ABC的中位线，则 ADE 与ABC 的面积之比是 【考点】 三角形中位线定理 【分析】 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 ADE 的底边 DE= BC ，DE 边上的高等于 ABC 的边 BC 上的高的一半，然后解答即可 【解答】 解： DE 是 ABC 的中位线， DE= BC ， DE 边上的高等于 ABC 的边 BC 上的高的一半， ADE 与 ABC 的面积之比是 故答案为： 【点评】 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半， 熟记定理以及分

13、 成的三角形的基础知识需熟记 11（2013?十堰）如图，?ABCD 中，ABC=60 ，E、F分别在 CD和 BC的延长线上，AEBD， EF BC，EF= ，则 AB 的长是 1 【考点】 平行四边形的判定与性质；含30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】 根据平行四边形性质推出 AB=CD ，AB CD，得出平行四边形 ABDE ，推出 DE=DC=AB ，根据直角三角形性质求出 CE 长，即可求出 AB 的长 【解答】 解：四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC ，AB=CD ， AE BD ， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE=CD ， 即 D 为 CE 中点，

14、EFBC， EFC=90 ， AB CD ， DCF= ABC=60 ， CEF=30 ， EF= ， CE=2， AB=1 ， 故答案为： 1 第 12 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质， 勾股定理，直角三角形斜边上 中线性质，含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较 好的题目 12（ 2015?遂宁）一个 n 边形的内角和为 1080，则 n= 8 【考点】 多边形内角与外角 【分析】 直接根据内角和公式（ n 2）?180计算即可求解 【解答】 解：（n 2）?180=1080， 解得 n=8 【点评】 主要考查

15、了多边形的内角和公式多边形内角和公式：（ n2） 13（2007?怀化） 如图， 将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边 形，请写出其中一种四边形的名称 平形四边形或等腰梯形或矩形 专题】 开放型 分析】 让相等边重合，动手操作看拼合的形状即可 如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状 【点评】 这是一道生活联系实际的问题， 不仅要用到等腰直角三角形及其中位线的性质、 等 腰梯形、矩形的性质、还锻炼了学生的动手能力 14如图，在四边形 ABCD 中， E、F、G、H 分别是 AB 、BD、CD、AC 的中点，要使四 边形 EFGH 是菱形，四边形 ABCD

16、还应满足的一个条件是 AD=BC 或 ABCD 是以 AD 、 BC 为腰的等腰梯形（答案不唯一） 【考点】 菱形的判定；三角形中位线定理 【专题】 开放型 【分析】 菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： 定义； 第 13 页（共 24 页） 四边相等； 对角线互相垂直平分据此四边形 ABCD 还应满足的一个条件是 AD=BC 等答案不 唯一 【解答】 解：条件是 AD=BC EH、GF 分别是 ABC 、BCD 的中位线， EH = BC，GF= BC， EH =GF ， 四边形 EFGH 是平行四边形 要使四边形 EFGH 是菱形，则要使 AD=BC ，这样， G

17、H= AD ， GH=GF ， 四边形 EFGH 是菱形 【点评】 此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定 15（2011?无锡）如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，D、E、F分别是 AB 、BC 、 CA 的 中点，若 CD=5cm ，则 EF= 5 cm 【考点】 三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线 【分析】 已知 CD 是 RtABC 斜边 AB 的中线，那么 AB=2CD ；EF 是ABC 的中位线， 则 EF 应等于 AB 的一半 【解答】 解： ABC 是直角三角形， CD 是斜边的中线， CD= AB ， 又 EF 是 ABC 的中位线， AB=2CD=2 5=1

18、0cm， EF= 10=5cm 故答案为： 5 第 14 页（共 24 页） 2）三角形的中位 【点评】 用到的知识点为： （ 1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半； 线等于对应边的一半 16（ 2011?上海）如图， AB、AC 都是圆 O 的弦， OM AB ，ON AC ，垂足分别为 M、N， 如果 MN=3 ，那么 BC= 6 【考点】 三角形中位线定理；垂径定理 【分析】由 AB、AC 都是圆 O的弦， OM AB ，ON AC ，根据垂径定理可知 M、N为 AB、 AC 的中点，线段 MN 为 ABC 的中位线，根据中位线定理可知 BC=2MN 【解答】 解： AB 、AC 都是

19、圆 O 的弦， OMAB ，ONAC， M、N为 AB、AC 的中点，即线段 MN 为ABC 的中位线， BC=2MN=6 故答案为： 6 【点评】 本题考查了垂径定理， 三角形的中位线定理的运用 关键是由垂径定理得出两个中 点 17（ 2011?金华）如图，在?ABCD 中，AB=3 ，AD=4 ，ABC=60 ，过BC 的中点 E作 EFAB ， 垂足为点 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则 DEF 的面积是 【考点】 平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；含 30 度 角的直角三角形；勾股定理 【专题】 计算题 【分析】 根据平行四边形的性质得到 AB=CD

20、=3 ，AD=BC=4 ，求出 BE、BF 、EF，根据相似 得出 CH=1 ，EH= ，根据三角形的面积公式求 DFH 的面积，即可求出答案 【解答】 解：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC=4 ，ABCD ， AB=CD=3 ， E 为 BC 中点， BE=CE=2 ， B=60，EFAB ， FEB=30 ， BF=1 ， 由勾股定理得： EF= ， AB CD ， 第 15 页（共 24 页） BFE CHE， = = = =1， ， EF=EH=， CH=BF=1 ， SDHF= DH ?FH= （1+3）2 =4 ， SDEF= S DHF=2 ， 故答案为： 2 【点评

21、】 本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含 30 度角的直角 三角形， 三角形的面积， 三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握， 能综合运用这些性质 进行计算是解此题的关键 18（2012?安徽）如图，P 是矩形 ABCD 内的任意一点， 连接 PA、PB、PC、PD，得到 PAB、 PBC、PCD、PDA ，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论： S1+S2=S3+S4； S2+S4=S1+S3； 若 S3=2S1，则 S4=2S2； 若 S1=S2，则 P点在矩形 的对角线上 其中正确的结论的序号是 和 （把所有正确结论的序号都填在横线上） 考点】

22、矩形的性质 专题】 压轴题 分析】 根据三角形面积求法以及矩形性质得出S1+S3= 矩形 ABCD 面积，以及 = ， = ，即可得出 P点一定在 AC 上 【解答】 解：如右图，过点 P 分别作 PFAD 于点 F，PEAB 于点 E， APD 以 AD 为底边， PBC以 BC 为底边， 此时两三角形的高的和为 AB ，即可得出 S1+S3= 矩形 ABCD 面积； 同理可得出 S2+S4= 矩形 ABCD 面积； S2+S4=S1+S3（故 正确）； 当点 P 在矩形的两条对角线的交点时， S1+S2=S3+S4但 P 是矩形 ABCD 内的任意一点，所 以该等式不一定成立 （故 不一定

23、正确） ； 若 S3=2S1，只能得出 APD 与PBC 高度之比， S4 不一定等于 2S2；（故 错误）； 第 16 页（共 24 页） APD 与 PBA 高度之比为：= ， DAE= PEA= PFA=90 ， 四边形 AEPF 是矩形， 此时矩形 AEPF 与矩形 ABCD 相似， =， = ， P 点在矩形的对角线上 （故 选项正确） 故答案为： 和 = 是解题关 【点评】 此题主要考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出 键 三解答题（共 7 小题） 19（2011?南京）如图，将 ?ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC ，连接 AE，交 BC 于 点 F

24、（1）求证： ABF ECF； （2）若 AFC=2 D，连接 AC 、BE ，求证：四边形 ABEC 是矩形 【考点】 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】 证明题 【分析】（1）先由已知平行四边形 ABCD 得出 AB DC，AB=DC ，? ABF=ECF，从而 证得 ABF ECF； （2）由（ 1）得的结论先证得四边形 ABEC 是平行四边形， 通过角的关系得出 FA=FE=FB=FC ， AE=BC ，得证 【解答】 证明：（ 1）四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC ，AB=DC ， ABF= ECF， EC=DC ， AB=EC ， 在

25、ABF 和ECF 中， 第 17 页（共 24 页） ABF= ECF， AFB= EFC，AB=EC ， ABF ECF（ AAS ） （2） AB=EC ，AB EC， 四边形 ABEC 是平行四边形， FA=FE ，FB=FC ， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABC= D ， 又 AFC=2 D， AFC=2 ABC ， AFC= ABC+ BAF， ABC= BAF ， FA=FB ， FA=FE=FB=FC ， AE=BC ， 四边形 ABEC 是矩形 【点评】 此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质， 全等三角形的判定和性质及矩形的 判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形

26、全等， 然后推出平行四边形通过角的关系证矩 形 20（2004?上海）如图，在 ABC 中， BAC=90 ，延长 BA 到点 D，使 AD= AB ，点 E、 F 分别为边 BC 、AC 的中点 （1）求证： DF=BE ； （2）过点 A 作AGBC，交 DF 于点 G，求证： AG=DG 【考点】 三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】（1）过点 F 作 FHBC ，交 AB 于点 H，则四边形 HAEF 是平行四边形， 有 HF=BE ， 证得 AC 是 HD 的中垂线后得到 HF=FD ，故有 FD=BE ； （2）由于四边形 DA

27、EF 是等腰梯形，有 B=D，而 AGBC 有 B=DAG ，故有 D=DAG? AG=DG 【解答】 证明：（1）如图，过点 F 作 FHBC，交 AB 于点 H ， FHBC，点 F是 AC 的中点，点 E是 BC 的中点， AH=BH= AB ， EFAB 第 18 页（共 24 页） AD= AB ， AD=AH CAAB ， CA 是 DH 的中垂线 DF=FH FHBC，EFAB， 四边形 HFEB 是平行四边形 FH=BE BE=FD （2）由（ 1）知 BE=FD ， 又 EF AD ， EFBD， 四边形 DBEF 是等腰梯形 B=D AG BC ， B= DAG ， D=

28、DAG AG=DG 【点评】 本题利用了三角形的中位线的性质， 中垂线的判定和性质， 平行四边形的判定和性 质，等边对等角求解 21（2008?杭州）在凸多边形中，四边形有 2条对角线，五边形有 5 条对角线，经过观察、 探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程 【考点】 多边形的对角线 【专题】 探究型 【分析】 首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是 2条对角线，五边形有 5=2+3 条 对角线，六边形有 9=2+3+4 条对角线，则七边形有 9+5=14 条对角线，则八边形有 14+6=20 条对角线 【解答】 解：凸八边形的对角线条数应该是20

29、 理由： 从一个顶点发出的对角线数目， 它不能向本身引对角线， 不能向相邻的两个顶点引 对角线， 从一个顶点能引的对角线数为（ n 3）条； n 边形共有 n 个顶点， 能引 n（n 3）条，但是考虑到这样每一条对角线都重复计算过一次， 第 19 页（共 24 页） 能引 条 凸八边形的对角线条数应该是：=20 【点评】 能够从特殊中找到规律进行计算 22（ 2013?鞍山）如图，E，F是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点，AF=CE ，DF=BE ，DF BE 求证： （1）AFD CEB； （2）四边形 ABCD 是平行四边形 【考点】 平行四边形的判定；全等三角形的判定 【专题】

30、证明题 【分析】（ 1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易 证明 AFD CEB （2）由 AFD CEB ，容易证明 AD=BC 且 AD BC，可根据一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形 【解答】 证明：（1） DFBE， DFE= BEF 又 AF=CE ，DF=BE ， AFD CEB（SAS） （2）由（ 1）知 AFD CEB， DAC= BCA ， AD=BC ， AD BC 四边形 ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 点评】 此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定， 判定两个三角形全等的一 般方法有

31、： SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL 平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 23（2015?大庆）如图， ABC 中， ACB=90 ，D、E分别是 BC、BA 的中点，连接 DE， F 在 DE 延长线上，且 AF=AE （1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形； （2）若四边形 ACEF 是菱形，求 B 的度数 第 20 页（共 24 页） 【考点】 菱形的性质；平行四边形的判定 【专题】 证明题 【分析】（ 1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE ，从而得到 AF=CE ，再根据等腰三角形三线合一的性质可得1= 2，根据等边对等角

32、可得然后 F=3，然后求出 2= F，再根据同位角相等， 两直线平行求出 CEAF ，然后利用一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形证明； （2）根据菱形的四条边都相等可得 AC=CE ，然后求出 AC=CE=AE ，从而得到 AEC 是等 边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是60求出 CAE=60 ，然后根据直角三角形两 锐角互余解答 【解答】（1）证明： ACB=90 ， E 是 BA 的中点， CE=AE=BE ， AF=AE ， AF=CE ， 在BEC 中， BE=CE 且 D是 BC 的中点， ED 是等腰 BEC 底边上的中线， ED 也是等腰 BEC 的顶角平分线， 1=

33、 2， AF=AE ， F= 3， 1= 3， 2= F， CEAF， 又 CE=AF ， 四边形 ACEF 是平行四边形； （2）解：四边形 ACEF 是菱形， AC=CE ， 由（ 1）知， AE=CE ， AC=CE=AE ， AEC 是等边三角形， CAE=60 ， 在 RtABC 中， B=90 CAE=90 60=30 第 21 页（共 24 页） 【点评】 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质， 直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半， 以及直角三角形两锐角互余的性质， 熟记各性质与判定方 法是解题的关键 24（2010?兰州）已知平行四边形 ABCD

34、中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，AC=10 ，BD=8 （1）若 ACBD ，试求四边形 ABCD 的面积； （2）若 AC 与 BD 的夹角 AOD=60 ，求四边形 ABCD 的面积； （3）试讨论：若把题目中 “平行四边形 ABCD ”改为“四边形 ABCD ”，且 AOD= ，AC=a ， BD=b ，试求四边形 ABCD 的面积（用含 ，a，b的代数式表示） 【考点】 平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形 【专题】 几何综合题；压轴题 【分析】（1）因为 ACBD ，所以四边形 ABCD 的面积等于对角线乘积的一半； （2）过点 A 分别作 AEBD ，CF BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出 AOD 的面积，那么四边形 ABCD 的面积 =4 AOD 的面积； （3）作辅助线 AEBD，