解排列组合应用题的十三种策略及常现背景

1、 解排 列组合 应用题 的十二 种策略 导与练 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地 审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的岀发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理。 例1（ 2003年全国高考题）如右图，一个地区分为5个行 政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同着色方法共有 种。（以数字作 答）。 分析：本题只要用两个基本原理即可解决。 2C14C41 C12 C11=

2、48 解：根据题意，可分类求解：第一类，用三种颜色着色，由 乘法原理C14C41 C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有 种方法。 从而再由加法原理，得 24+48=72种方法。故应填 72。 二、特殊元素（位置）优先 且元素b不能放在第二 例2 从a,b,c,d,e这5个元素中，取岀4个放在四个不同的格子中， 个格子中，问共有多少种不同的放法？ 解法一（元素分析法，b为特殊元素）先排 b，但考虑到取岀的 4个元素可以有b,也可以没 b,所以分两类：第一类，取岀的4个元素中有b,则排b有A；种方法；再从 a,c,d,e中取岀3个排 3134 另外三个格子有A 4种所以此类共有

3、 A3A4种。第二类，取岀的4个元素中没有b，则!有A 4种 方法，所以共有A 3 A： + A 4 =96种放法. 解法二（位置分析法，第二格为特殊位置）先排第二格，有A 4种（从a,c,d,e中取一个） 再排另三格有a 4种，所以共有a 4 .A 3种放法。 解法三：（间接法）a4 a3 三、捆绑法 例3 .计划在一画廊展岀10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行 陈列，要求同一品种的画必须排一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（） AA44AsB AA：A；C c3A：A5DA；A4A55 解：油画整体、国画整体、水彩画个“元素”先排，考虑到水彩画不能排两

4、端，所以有A； 种方法，又幅油画的不同陈列方式有A：种，幅国画陈列方式有As种，因而，画展的不同陈列 方式有A2 A A5种，故选D. 四、插空法 例4、道路边上有编号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯，现要关掉其中的 3盏，但不能关掉相邻的 2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有 7盏亮3盏暗，又两端不能暗，问题等价于：在7盏开着的路灯的 6个 3 间隔中，选岀3个间隔各插入3只关掉的路灯，所以关灯的方法共有C3 20种。 练： （1 ）三个学校分别有 1名，2名，3名学生获奖，这 6人排成一排合影，同校任两名学生不 能相邻，那么

5、不同的排法有多少种。（120种） 五、排除法 例5、从正方体的6个面中选取3个面，其中有 2个面不相邻的选法共有（） A . 8 种B . 12 种C . 16 种D . 20 种 解：由六个面任取三个共有C36=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上3个平面 相邻的特殊情形共 8种，故符合条件的共有C36-8=12种。故选B。 六、对称比例法 有些排列组合应用题，可以根据每个元素岀现的机会占整个问题的比例，直接求得问题的 解。 1，2, 3，4，5组成没有重复数字的五位数, B. 48 个C. 36 个 例6由数字 A . 60 个 解：全排列为A55，由题意知满足条件的五位数的个位上

6、岀现 其中小于5000的偶数共有（） D. 24 个 2，或4的可能性为 3 ，在余下的四个数中，万位上岀现满足条件的数字的可能性为 4，故满足条件的五位数 2 3 共有：5 x 7 例7 用1, A. 24 个 X A55=36。故选 C。 2，3，4， 5五个数字组成无重复数字的三位数, C. 40 个 B . 30 个 其中偶数共有（ D. 60 个 2 解：五个数字选三个组成的三位数共有 A35个，其中2, 4为个位数的占亍，所以满足条件 2 的偶数共有A35=24。故选A。 七、多元分类法 对于元素多、选取情况多的可按要求进行分类讨论，最后总计。 2人承担，乙、丙各需 ） C. 25

7、20 种 例8有甲、乙、丙三项任务，甲需 承担这三项任务，不同的选法共有（ A. 1260 种 B. 2025 种 1人承担，从10人中选派4人 解：先从10人中选岀2人承担甲项任务，有 C210种选法, 担乙项任务，有 8种，最后从7人中选 C210 X 8 X 7=2520 种。故选 C。 例9 一块并排10垄的田地中，选择 一垄，为了有利于作物生长，要求 种。 解：先考虑作物 A种植在第一垄时， 时，作物B有2种种植方法；又当作物 1人承担丙项任务，有 D. 5040 种 再从余下的8人中选1人承 7种，所以根据乘法原理知共有 2垄分别种植 A、B两种作物，每种作物种植 B两种作物的间隔

8、不小于 6垄，则不同的选垄方法共有 种植的情况与作物 A相同，所以满足条件的不同选垄方法共有（ 练习 作物 B有3种种植方法；再考虑作物A种植在第二垄 A种植在第三垄时，作物B有1种种植方法。而作物 B 3+2+1 ）X 2=12 种。 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其 余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（B） A. 36 种B. 12 种C. 18 种D. 48 种 用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（B） A. 324B.

9、328C . 360D . 648 从10名大学生毕业生中选 3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选 的不同选法的种数 (C) A 85 B 56 C. 49 D. 28 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至 少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24 会上有3人发言，则这3人来自不同企业的可能情况的种数为（ A、 14 B、 16 C、 20 D、 48 从6名志愿者中选岀4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作 志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ A.280 种 C.180 种 有甲、乙、丙三项任务，甲需 三项任务，

10、不同的选法共有（ A. 1260 种 )(B) .若其中甲、乙两名 一块并排10垄的田地中， 一垄，为了有利于作物生长， 种。 八、先取后排法 2人承担，乙、 C ） B . 2025 种C . 选择 2垄分别种植 丙各需 B.240 种 D.96 种 人承担，从10 人中选派4人承担这 2520 种 A、B两种作物，每种作物种植 5040 种 要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有12 C.28 D.48(A) 某地政府召集 5家企业的负责人开会， 已知甲企业有 2人开会，其余4家企业各有1人到会, 例10.有5个男生和 有女生但人数少于男生某女生一定要担任语文科代表。 3

11、个女生，从中选5个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。 某男生必须在内，但不担任数学科 代表。某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表 分析：比较复杂的排列组合混合问题，一般要遵循先取后排的原则。 解：可分为1女4男和2女3男，共计不同的选法种数为C3 C； c； C53 45,任 科代表种数为 45A?，即（c3 C54 cj c53）a55=5400 某女生一定要担任语文科代表，余4门科代表从余下的 7人中任选有 A； 840种。 某男生从除数学外四科中任选一科代表有C4，余4科从余下的7人中任选共有不同种数 为 c4 A；3360 某女生任语文科代表，某男

12、生从余下3C；种（数学除外）中任一科有C；种，余3科代表 由余下6人中选项任，共计不同安排总数为c3 A 360种。 九、转化法 例11将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每校至少1个保额，问名额分配的方法共 有多少种？ 7份的方法数，相当于用 6块隔板插在 2级，问有几种不同跨法？ 解：问题等价于将排成一行的12个相同元素分成 6 11个间隔中，共有 Cn462种不同的方法。 例12. 10级楼梯，要求 7步跨完，且每步最多跨 解：由题意知要有 4步单级、3步双级，因此，这是两类不同元素的排列，问题等价于只要 3 在7步中任意选3步双级即可。故 C735种。 十、隔板法 例1320个相同的

13、球分放在三个盒中，不允许有盒不放球，有多少种分法？ 解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中， 规定由隔板分成的左、 中、右三部分球分别放在三个盒中， 则每一种隔法对应了一种分法， 每一种分法对应了一种隔法， 于是分法的总数为 C219种方法。 练一练 （1） 7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子里，则问每个盒子都不空的放法共有（）种 （2） 15个相同的小球，放入编号为1，2，3的三个盒中，要求盒中的球数不少于编号数，问有 多少种不同的放法。 （3） 要从7所学校选岀10人参加素质教育研讨会，每所学校至少参加1人，则这10个名额 共有多少种不同的分配方法？ （4）

14、 将组成蓝球队的12个名额分配给7所学校，每校至少 1人，问名额的分配方式共有多少 种c6 462种不同的方法。 （5）马路上有编号为1，2, 3，4，5,ooo 10盏路灯，现要关掉其中 3盏，但不能同时关 掉相邻的2盏或3盏，也不能关两端的路灯，则满足条件的关灯方法有（20）种。用 隔 板法处理该题. （6）6个人带10汽水去春游，每人至少带一瓶，一共有多少种携带方法（27） 十一、定序问题倍缩法 3在100,101,102,999之中，由三个不同数码按递增或递减的次序排列成三位数的个数是204 个 4某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可以显示岀0或1,若每次显示岀其中的3个孔, 但相

15、邻的两个孔不能同时显示，则这个显示屏可以显示的不同信号种数是（80） 十二 均分与不均分的分组问题，定向与不定向的分配问题 1. 北京财富全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作若每天排早、中、晚三班, 每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ） (A) 1244 C14C12C8 1244 (B) C14 A12 A8( C) 1244 C14 C12C8 (D 2. 从6人中选岀4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游 览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 A 300 种 B 240 种C.

16、 144 种D 96 种 3. 将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（A ） A. 70 B . 140 C. 280 D. 840 4.设袋中有80个红球, 20个白球，若从袋中任取 10个球，则其中恰有 6个红球的概率为 C4 C6 8010_ C10 C100 C；0 10 100 C. C4 C6 80 20 C100 c8。 10 100 5某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该 外商不同的投资方案有（D） A.16 种B.36 种C.42 种D.60 种 6将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每

17、班至少1名，最多2名，则不同的分配方 案有选B. （A ）30 种（B ）90 种（C ）180 种（D ） 2 7 0 种 7从5位同学中选派 4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期 五有2人参加，星期六、星期日各有 1人参加，则不同的选派方法共有（ A . 40 种 B . 60 种 C . 100 种 D . 120 种 (8 )某公司新招聘进 能分在同一个部门， ( )种 A、36 种 (9 )将5名志愿者分配给 方案种数为：(D) A、 540 种 锅中煮有芝麻馅汤圆 全相同。从中任意舀取 825 A.B . 9191 10 11 12 14 15 集齐 8

18、名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不 另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 B、38 种C.、108 种D、24 种 3个不同的奥运场馆参加接持工作，每个场馆至少分配一名志愿者的 B、300 种C.、180 种D、150 种 6个，花生馅汤圆 5个，豆沙馅汤圆 4个，这三种汤圆的外部特征完 4个汤圆， 12个篮球队中有3个强队，将这 好被分在同一组的概率为(B) 13 A.B . 5555 则每种汤圆都至少取到1个的概率为(C ) 4860 D. 9191 12个队任意分成 3个组(每组4个队)，则3个强队恰 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶

19、上，若每级台阶最多站 分站的位置，则不同的站法种数量(用数字作答) 1 3 2人，同一级台阶上的人不区 .(336) 将4名大学生分配到 3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种(用数字作答). 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了 3种卡片则获奖，现购买该食品 5袋, 3种不同的精美卡片, 能获奖的概率为( 36 每袋食品随机装入一张卡片, 31 81 B、 3 81 c、 48 81 50 81 (D) 十二数字背景问题: 1、 用123,4,5,6,7,8, 9六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的有 .100这100个数字中任取两个不等的数，回答下列各题： 3

20、的倍数，这样的取法共有多少种 3的倍数，这样的取法共有多少种. (24)个 2、在 1,2,3,4 (1) 使它们的和是 使它们的积为 (0C34C33 C331650(2) C67C3 C332739 3 720的公约数共有多少个，(30个)19. 2310的正约数有 个，(32) 4 用1,2,3,4,5,6,7,8,9九个数字中任取两个不同的数分别作为一个对数的真数和 底数，一共可以得到多少个不同的对数值，其中比1大的数有几个(53) 5 由0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，且百位上的数字奇数，则这样的四位数 有多少 6 用0,1,2,3,4,5这六个数字 (1) 能组成多少

21、个无重复数字的四位偶数 (2) 能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数 能组成多少个比1325大的四位数 (4)能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数上的六位数字 13 分三类:(1)形如 2000 3000 ,4000 ,5000共有 A4.A5类 1 2 （2）形如 14001500共有 A2.A4 （3） 形如 1340 , 135O共有 A2.A3个 故共有270个 3 （4）先将1,3,5在奇数位上排列，有A3 再将其余3个偶数排在剩余 3个位置上排列，共有 323332 A3?A2,由分步原理，所以符合条件的共有 A3.A3-A3.A2. 十三 交叉问题：注意用集合的思想处理: 50名学生参加甲，乙两项体育活动，每人至少参加了一项。参加甲项的学生有30名，参加 乙项的学生有25,则仅参加