套利定价理论

1、套利定价理论（套利定价理论（apt） 概述概述 在上一节，为了得到投资者的最优投资组合，在上一节，为了得到投资者的最优投资组合， 要求知道：要求知道： 回报率均值向量回报率均值向量 回报率方差回报率方差-协方差矩阵协方差矩阵 无风险利率无风险利率 估计量和计算量随着证券种类的增加以指数估计量和计算量随着证券种类的增加以指数 级增加级增加 引入因子模型可以大大简化计算量引入因子模型可以大大简化计算量 由于因子模型的引入，使得估计由于因子模型的引入，使得估计markowitz有效有效 集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。集的艰巨而烦琐的任务得到大大的简化。 因子模型还给我们提供关于证券回报率生成因

2、子模型还给我们提供关于证券回报率生成 过程的一种新视点过程的一种新视点 一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来一元或者多元统计分析，以一个或者多个变量来 解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证解释证券的收益，从而比仅仅以市场来解释证 券的收益更准确。券的收益更准确。 capm与与apt 建立在均值建立在均值-方差分析基础上的方差分析基础上的capm是一种理是一种理 论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义，论上相当完美的模型，但实际上只有理论意义， 因为假设条件太多、太严格！因为假设条件太多、太严格！ 除除capm理论外，另一种重要的定价理论是由理论外，另一种重要的定价理论是由 step

3、hen ross在在1976年建立的套利定价理论年建立的套利定价理论 （arbitrage pricing theory，apt），从另），从另 一个角度探讨了资产的定价问题。一个角度探讨了资产的定价问题。 市场均衡条件下的最优投资组合理论市场均衡条件下的最优投资组合理论=capm 无套利假定下因子模型无套利假定下因子模型=apt capm是建立在一系列假设之上的非常理想是建立在一系列假设之上的非常理想 化的模型，这些假设包括化的模型，这些假设包括harry markowitz建立均值建立均值-方差模型时所作的假方差模型时所作的假 设。这其中最关键的假设是设。这其中最关键的假设是同质性假设同质

4、性假设。 相反，相反，apt所作的假设少得多。所作的假设少得多。apt的基本的基本 假设之一是：假设之一是：个体是非满足个体是非满足，而不需要风，而不需要风 险规避的假设！险规避的假设！ 每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提每个人都会利用套利机会：在不增加风险的前提 下提高回报率。下提高回报率。 只要一个人套利，市场就会出现均衡！只要一个人套利，市场就会出现均衡！ 因子模型因子模型 （factor model） 定义定义：因子模型是一种假设证券的回报率只：因子模型是一种假设证券的回报率只 与不同的因子波动（与不同的因子波动（相对数相对数）或者指标的）或者指标的 运动有关的经济模型。运动有

5、关的经济模型。 因子模型是因子模型是apt的基础，其目的是找出这些的基础，其目的是找出这些 因素并确认证券收益率对这些因素变动的因素并确认证券收益率对这些因素变动的 敏感度。敏感度。 依据因子的数量，可以分为单因子模型和多依据因子的数量，可以分为单因子模型和多 因子模型。因子模型。 单因子模型单因子模型 引子引子 若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏若把经济系统中的所有相关因素作为一个总的宏 观经济指数。观经济指数。 假设假设：（：（1）证券的证券的回报率回报率仅仅取决于该仅仅取决于该指数的指数的 变化变化；（；（2）除此以外的因素是公司特有风）除此以外的因素是公司特有风 险险残余风险残

6、余风险 则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券则可以建立以宏观经济指数变化为自变量，以证券 回报率为因变量的单因子模型。回报率为因变量的单因子模型。 例如，例如，gdp的预期增长率是影响证券回报率的的预期增长率是影响证券回报率的 主要因素主要因素。 例例1：设证券回报仅仅与市场因子回报有关：设证券回报仅仅与市场因子回报有关 其中其中 =在给定的时间在给定的时间t，证券，证券i 的回报率的回报率 =在同一时间区间，市场因子在同一时间区间，市场因子m的相对数的相对数 =截距项截距项 =证券证券i对因素对因素m的敏感度的敏感度 =随机误差项，随机误差项， itiim mtit rab re i

7、t r mt r i a im b it e 0,cov(,)0,cov(,)0 ititmtitjt e er 因子模型回归因子模型回归 年份年份igdpt（%）股票股票a收益率（收益率（%） 15.7 14.3 26.4 19.2 3 8.923.4 4 8.015.6 5 5.1 9.2 6 2.913.0 4% t r t gdp i 6 13.0%r 6 3.2%e 6 2.9% gdp i 图中，横轴表示图中，横轴表示gdp的增长率，纵轴表示股的增长率，纵轴表示股 票票a的回报率。图上的每一点表示：在给的回报率。图上的每一点表示：在给 定的年份，股票定的年份，股票a的回报率与的回报

8、率与gdp增长率。增长率。 通过线性回归，我们得到一条符合这些点的通过线性回归，我们得到一条符合这些点的 直线为（极大似然估计）直线为（极大似然估计） 4%2 tgdp tt rie 从这个例子可以看出，从这个例子可以看出，a在任何一期的回在任何一期的回 报率包含了三种成份：报率包含了三种成份： 1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a 2.依赖于依赖于gdp的预期增长率，每一期都的预期增长率，每一期都 不相同的部分不相同的部分bigdpt 3.属于特定一期的特殊部分属于特定一期的特殊部分et。 通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一通过分析上面这个例子，可归纳出单因子模型的一

9、 般形式：对时间般形式：对时间t 的任何证券的任何证券i 有时间序列有时间序列 其中：其中： ft是是t时期公共因子的预测值；时期公共因子的预测值； rit在时期在时期t证券证券i的回报；的回报； eit在时期在时期t证券证券i的特有回报的特有回报 ai零因子零因子 bi证券证券i对公共因子对公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或或 因子载荷（因子载荷（factor loading） itiitit rab fe （8.1） 为简单计，只考虑在某个特定的时间的因为简单计，只考虑在某个特定的时间的因 子模型，从而省掉角标子模型，从而省掉角标t，从而（，从而（8.1）式）式 变为

10、变为 并且假设并且假设 (1)cov( , )0 i e f (2)cov( ,)0 ij e e 0 i e e iiii rab fe （8.2） 假设假设(1)：因子：因子f具体取什么值对随机项没有具体取什么值对随机项没有 影响，即因子影响，即因子f与随机项是独立的，与随机项是独立的，这样保这样保 证了因子证了因子f是回报率的唯一因素。是回报率的唯一因素。 若不独立，结果是什么？若不独立，结果是什么？ 假设假设(2)：一种证券的随机项对其余任何证券：一种证券的随机项对其余任何证券 的随机项没有影响，换言之，两种证券之的随机项没有影响，换言之，两种证券之 所以相关，是由于它们具有共同因子所

11、以相关，是由于它们具有共同因子f所致。所致。 如果上述假设不成立，则单因子模型不准确，如果上述假设不成立，则单因子模型不准确， 应该考虑增加因子或者其他措施。应该考虑增加因子或者其他措施。 对于证券对于证券i，由（由（8.2）其回报率的均值（期望值）为）其回报率的均值（期望值）为 其回报率的方差其回报率的方差 2222 iifei b 因子风险因子风险 非因子风险非因子风险 对于证券对于证券i和和j而言，它们之间的协方差为而言，它们之间的协方差为 2 cov( ,)cov(,) ijijiiijjj ijf r rab fe ab fe bb iii rab f（8.3） 单因子模型的优点单因

12、子模型的优点 1. 单因子模型能够大大简化我们在均值单因子模型能够大大简化我们在均值-方差方差 分析中的估计量和计算量。假定分析人员需分析中的估计量和计算量。假定分析人员需 要分析要分析n种股票，则种股票，则 均值方差模型：均值方差模型：n个期望收益，个期望收益，n个方差，个方差， (n2-n)/2个协方差个协方差 单因子模型：单因子模型：n个期望收益，个期望收益，n个个bi，n个残个残 差差 ，一个因子，一个因子f方差方差 ，共，共3n1个估计个估计 值。值。 若若n50，前者为，前者为1325，后者为，后者为151。 2 ei 2 f 单因子模型具有两个重要的性质单因子模型具有两个重要的性

13、质 2.风险的分散化风险的分散化 分散化导致因子风险的平均化分散化导致因子风险的平均化 分散化缩小非因子风险分散化缩小非因子风险 2 1 222 limlim () lim n piiii nn i pfep n dw ab fe b 222 11 nn piiepiei ii bwbw 其中， 假设残差有界，即假设残差有界，即 22 ei s 且组合且组合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，则对充分小，则对 于资产于资产i成立成立 / i wn 则有则有 22222 2 1 11 n ep i ss nn 从而从而 222222 limlim ppfeppf nn bb 单因素模型的简

14、化是有成本的，它仅仅将资单因素模型的简化是有成本的，它仅仅将资 产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因产的不确定性简单地认为与仅仅与一个因 子相关，这些因子如利率变化，子相关，这些因子如利率变化，gdp增长增长 率等。率等。 例子：公用事业公司与航空公司，前者对例子：公用事业公司与航空公司，前者对gdp 不敏感，后者对利率不敏感。不敏感，后者对利率不敏感。 单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济单因素模型难以把握公司对不同的宏观经济 因素的反应。因素的反应。 多因子模型多因子模型 两因子模型两因子模型 若只考虑一期的模型，则可以省略表示时若只考虑一期的模型，则可以省略表示时 间的下标，从而两因子

15、模型方程为间的下标，从而两因子模型方程为 1 122iiiii rab fb fe 0, cov(,)0 iij e eee其 中 ， 12 cov( ,)0,cov( ,)0 ii e fe f 在两因子模型下，对于证券在两因子模型下，对于证券i ，其回报率的均值，其回报率的均值 1122iiii rab fb f 其回报率的方差其回报率的方差 12 222222 121212 2cov(,) iififiiei bbb bff 对于证券对于证券i和和j，其协方差为，其协方差为 1 122 1 122 cov( ,)cov(, ) ijijiiii jjjj r rab fb fe ab f

16、bfe 22 111222122112 ()cov(,) ijfijfijij b bb bb bb bff 证券证券i对因子对因子1的敏感度的敏感度 两因子模型同样具有单因子模型的重要两因子模型同样具有单因子模型的重要 优点：优点： 有关资产组合有效边界的估计和计算量大有关资产组合有效边界的估计和计算量大 大减少（但比单因子增加），若要计算均大减少（但比单因子增加），若要计算均 方有效边界，需要方有效边界，需要 n个期望收益，个期望收益，n个个bi1， n个个bi2， n个残差，个残差，2 个因子个因子f方差，方差，1个因子间的协方差，共个因子间的协方差，共4n3 个估计值。个估计值。 分散

17、化导致因子风险的平均化。分散化导致因子风险的平均化。 分散化缩小非因子风险。分散化缩小非因子风险。 多因子模型多因子模型 对于对于n种证券相关的种证券相关的m（mn)个因子，证券个因子，证券i的的 收益可以表示为收益可以表示为 1 m iijji j rab fe 0, cov(,)0 cov(,)0, iij ik e eef eeik 1,., ;1,.,in jm其中， 套利定价理论（套利定价理论（apt） 定义：套利（定义：套利（arbitrage）是同时持有一种）是同时持有一种 或者多种资产的多头或空头，从而存在不或者多种资产的多头或空头，从而存在不 承担风险的情况下锁定一个高于无风

18、险利承担风险的情况下锁定一个高于无风险利 率的收益。率的收益。 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！ 两种套利方法：两种套利方法： 当前时刻净支出为当前时刻净支出为0，将来获得正收益（收益，将来获得正收益（收益 净现值为正）净现值为正） 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为净支出为零（支出的净现值为0）。）。 假设现在假设现在6个月即期年利率为个月即期年利率为10%（连续复（连续复 利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如 果有人把今后果有人把今后6个月到个月到1

19、年期的远期利率定年期的远期利率定 为为11%，则有套利机会。，则有套利机会。 套利过程是：套利过程是： 1.交易者按交易者按10%的利率借入一笔的利率借入一笔6个月资金（假个月资金（假 设设1000万元）万元） 2.签订一份协议（远期利率协议），该协议规定签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按该交易者可以按11%的价格的价格6个月后从市场借个月后从市场借 入资金入资金1051万元（等于万元（等于1000e0.10 0.5）。 ）。 3. 按按12%的利率贷出一笔的利率贷出一笔1年期的款项金年期的款项金 额为额为1000万元。万元。 4. 1年后收回年后收回1年期贷款，得本息年

20、期贷款，得本息1127万万 元（等于元（等于1000e0.12 1），并用 ），并用1110万万 元（等于元（等于1051e0.11 0.5）偿还 ）偿还1年期的债年期的债 务后，交易者净赚务后，交易者净赚17万元（万元（1127万元万元- 1110万元）。万元）。 这是哪一种套利？这是哪一种套利？ 套利不仅仅局限于同一种资产（组合），套利不仅仅局限于同一种资产（组合）， 对于整个资本市场，还应该包括那些对于整个资本市场，还应该包括那些“相相 似似”资产（组合）构成的近似套利机会。资产（组合）构成的近似套利机会。 无套利原则（无套利原则（non-arbitrage principle)： 根据

21、一价定律（根据一价定律（the law of one price），）， 两种具有相同风险的资产（组合）不能以两种具有相同风险的资产（组合）不能以 不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。 套利行为将导致一个价格调整过程，最终使套利行为将导致一个价格调整过程，最终使 同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！ apt的基本原理：由无套利原则，的基本原理：由无套利原则，在因子模在因子模 型下，具有相同因子敏感性的资产（组合）型下，具有相同因子敏感性的资产（组合） 应提供相同的期望收益率。应提供相同的期望收益率。 apt与与capm的比较的比较 apt对资

22、产的评价不是基于马克维茨模型，对资产的评价不是基于马克维茨模型， 而是基于无套利原则和因子模型。而是基于无套利原则和因子模型。 不要求不要求“同质期望同质期望”假设，假设，并不要求人人一致并不要求人人一致 行动。行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。套利机会。 不要求投资者是风险规避的！不要求投资者是风险规避的！ apt的基本假设的基本假设 1.市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的 （perfectly competitive and frictionless capital markets）；）； 2.投资者是不

23、知足的：只要有套利机会就投资者是不知足的：只要有套利机会就 会不断套利，直到无利可图为止。会不断套利，直到无利可图为止。 因此，不必对投资者风险偏好作假设？因此，不必对投资者风险偏好作假设？ 3.资产的回报可以用因子表示资产的回报可以用因子表示 apt假设证券回报可以用预期到的回报和未假设证券回报可以用预期到的回报和未 预期到的回报两个部分来解释，构成了一预期到的回报两个部分来解释，构成了一 个特殊的因子模型个特殊的因子模型 iiii rrb fe 1 ()0 tt e f 未预期到的变化未预期到的变化预期的回报预期的回报 f是证券是证券i的某个因子的变化，的某个因子的变化，基于有效市场理基于

24、有效市场理 论论，它是不可预测的。，它是不可预测的。 要依靠要依靠“旧旧”的的f来获利是不可能的！来获利是不可能的！ 若市场有效，则若市场有效，则t-1时刻的信息集预测时刻的信息集预测t时刻时刻 的价格无效，的价格无效，这等价于这等价于t-1时刻信息无法预时刻信息无法预 测测t时刻的因子，即对于因子的变化没有任时刻的因子，即对于因子的变化没有任 何倾向何倾向公平赌局（公平赌局（fair game） 从有效市场的理论来看，价格（回报）的不从有效市场的理论来看，价格（回报）的不 可预测，本质上是信息的不可预测，可预测，本质上是信息的不可预测，也就也就 是因子的变化不可预测，是因子的变化不可预测，这

25、些信息既有宏这些信息既有宏 观的、也有微观的。观的、也有微观的。 1 ()0 tt e f 构建套利组合构建套利组合 （arbitrage portfolio） 1.零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （self-financing）组合。）组合。 2.无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为敏感度为0。 3.正收益：套利组合的正收益：套

26、利组合的期望收益期望收益大于零。大于零。 用数学表示就是用数学表示就是 1 1 1 0 0 0 n i i n ii i n i i i w bw wr 11 1 2 1 ()( = () = ( )() nn i iiiii ii n ii i n ii i dwrdw rb fe dwb f d fwb 11 ()0,0 nn i iii ii dwrwb 若要则要 （8.1） （8.2） （8.3） 套利定价模型套利定价模型 假设投资者构造这样的资产组合：（假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风）无风 险利率借入险利率借入1元钱；（元钱；（2） 1元钱投资在两种资元钱投资在两种资 产，

27、这样构造一个自融资组合。产，这样构造一个自融资组合。 0 0 ()(1)()1 ()() piijj ijjijj rw rb fwrb f w rrrw bbbf 0 ij设设无无风风险险利利率率为为 ，两两个个资资产产是是资资产产 和和资资产产，在在因因子子 模模型型的的假假定定下下，套套利利组组合合的的收收益益为为（忽忽略略残残差差） l 若不存在套利机会，则该套利组合的收益为若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0 j p ij b wr bb 时, 无风险 根据条件（根据条件（2），）， ()0 ijj w bbb当，即 0 ()0, j pijj ij b rrrr bb = 0

28、0 1 j i ij r r bb 01ii rb 1 m iiijj j rrb f 命题命题1 ：假设：假设n种资产其收益率种资产其收益率m个因子决定个因子决定 （mn），即），即 其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，则，则 0 1 m iijj j rb 01 ,., j 为常数 严格证明严格证明 证明：假设在资产证明：假设在资产i上投资上投资wi，构造零投资，构造零投资 且无风险的组合，即且无风险的组合，即wi满足下列条件满足下列条件 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb w

29、b 1 w b w b w b 零投资零投资 无风险无风险 （8.5） （8.4） 即，即，1、bj（j=1,2,m)线性无关。线性无关。 如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（要（8.4）和（）和（8.5）成立，则）成立，则蕴含蕴含(followed) ,1,., j jmw1,wb wr 这等价于，这等价于，只要只要 1 0 n i i i wr t w r 对于任意的对于任意的w，必然有必然有 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm线性无关，则线性无关，则

30、必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm组成的向量空间组成的向量空间rm+1中，中， 也就是存在一组不全为零的数也就是存在一组不全为零的数 使使得 r 01 ,., m 01122 ,., mm r1bbb 证毕。证毕。 理解：理解： 必须落在必须落在rm+1空间中，才能必然成立空间中，才能必然成立 r wr 1和和bj是该空间的一组基是该空间的一组基 a b c d 在向量空间中，如果向量在向量空间中，如果向量a、b正交于正交于c，蕴蕴 含着含着d正交与正交与c，则，则d必须落在由必须落在由a和和b张成的张成的 二维空间上，二维空间上，d可以由可以由a、b线性表示！线性表示！ 0 示意图：向

31、量空间示意图：向量空间 错误的证明错误的证明 1 0 n t i i w w 1 1 1 22 1 1 0 0 0 n t ii i n t ii i n t iimm i wb wb wb 1 w b w b w b 1 0 n i i i wr t w r 01122 ,., mm r1bbb apt的意义的意义 0 1 m iijj j rb 若若bij0，则上式退化为无风险资产，则意味，则上式退化为无风险资产，则意味 着着 0 1 m fifijj j rrrb 若若bij0，则期望回报，则期望回报 随着随着 的增加而增大，的增加而增大， 所以所以 是因子是因子 的风险价格。的风险价格

32、。 ij b i r j i f 自变量自变量 1 ,1,., ifi rrb in在单因子条件下，有 12 1 12 ,., ffnf n rrrrrr bbb apt 1 对于所有风险资产则有 由此可见，方程的斜率 实际上是因子1的风险价格。 结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时，结论：当所有证券关于因子的风险价格相等时， 则证券之间不存在套利。则证券之间不存在套利。 apt的意义的意义 0 1 i r i b h r l r h l hl bb 若给定等投资额的证券若给定等投资额的证券h多头和证券多头和证券l空头，则形成套空头，则形成套 利组合。投资者为获利必定尽可能地购入证券利组合

33、。投资者为获利必定尽可能地购入证券h，从从 而使其价格上升，预期收益率下降，而使其价格上升，预期收益率下降，最终到达最终到达apt定定 价线价线。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上，。在均衡时，所有的证券都落在套利定价线上， 只要证券偏离只要证券偏离apt定价线就会有套利机会。定价线就会有套利机会。 apt定价线定价线 apt的另一种表达的另一种表达 1 1 p pf bp rr 在单因子模型下，考虑一个使的（资产）组合 ， 即，则有 , () m ifmfi r rrrr b 特别地，当即纯因子组合为市场组合时有 1pf rr 1 01 , () pf iiffi rr rbrr b 令

34、即风险价格,则 则称该组合则称该组合p为纯因子组合为纯因子组合(类似于类似于capm的市场组合的市场组合) 在两因子模型下，我们有在两因子模型下，我们有 1122ifii rrbb 112 1 1,0, ii pbb 若存在纯因子组合 ，使得 且其期望收益为 则 11if rr 11f r 即即 212 222 0,1, , ii f pbb r 同理，若存在纯因子组合 ，使得 其期望收益为 ，则=从而 第第1因子的风险价格因子的风险价格 第第2因子的风险价格因子的风险价格 1122 () iffifi rrr br b( 22f r 这样可将这样可将apt的表达式可以改写为的表达式可以改写为

35、 在多因子模型下在多因子模型下 01122 ,., iiimim rbbb 证券的期望收益率等于无风险收益率，加上证券的期望收益率等于无风险收益率，加上j个因个因 素的风险补偿（风险价格素的风险补偿（风险价格风险因子载荷）；风险因子载荷）； 资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则资产对风险因子的敏感度（因子载荷）越大，则 其应得到的风险补偿越大。其应得到的风险补偿越大。 1122 (),., () ffifimfim rr br br b（ j 1,.,j jm其中， 为因子 （）的纯因子组合的期望收益 11 1 () () ,aptcapm ififfi ifimf mii rrbrrb

36、 rrrr rb 显然，若纯因子组合是市场组合 即代表 ，则与一致。 apt与与capm的比较的比较 apt与与capm的一致性的一致性 若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组若只有一个风险因子，且纯因子组合是市场组 合，则当合，则当apt与与capm均成立时有均成立时有 命题命题2：若纯因子组合不是市场组合，若纯因子组合不是市场组合，apt与与 capm可能不一致。可能不一致。 证明：只要证明存在一个反例证明：只要证明存在一个反例 cov( ,)cov(,) cov(,)cov( ,) iiii imiiim imiim rab fe r rab fe r bf rbe r 由单因子模型可

37、得 上式两边同除以上式两边同除以 2 m 并且定义并且定义 , 2 cov( ,) m f m m f r 由于由于 2 cov( ,) im m e r 很小，不妨把它忽略，则有很小，不妨把它忽略，则有 , 2 cov( ,) im if mi m r r b 如果如果apt 也成立，且满足也成立，且满足capm，则，则 , 1 () ifif mmf ifi rrbrr rrb 1, () mff m rr 得到得到 若因素若因素f与市场组合正相关，那么与市场组合正相关，那么 , 2 cov( ,) cov( ,)00 m mf m m f r f r 0, mf rr且由于从而 1, (

38、)0 mff m rr 也就是，如果也就是，如果capm成立，则必然要求上述条件成立，则必然要求上述条件 成立，它构成了对成立，它构成了对apt中中 的约束。的约束。 1 但是，如果但是，如果apt成立，不受成立，不受capm约束，即约束，即 仅从仅从apt本身推断，必有本身推断，必有 1 00 f r或者 只有当只有当 m r才成立才成立 1 0 反之，如果反之，如果 m r，则可能有 1 0 f r 则对于证券则对于证券i的定价就会出现不同的定价就会出现不同 即如果纯因子组合不是市场组合，即如果纯因子组合不是市场组合，apt与与capm 可能不一致。可能不一致。 , ()() ifif m

39、mf r capmrbrr ()() ifif r aptrbr , , 0,0,0, ()0()0 if mf if mmfif br brrbr 若 ， 1. 若纯因子组合不是市场组合，则若纯因子组合不是市场组合，则apt与与 capm不一定一致，不一定一致，capm仅仅是仅仅是apt的的 特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时，特例。当且仅当纯因子组合是市场组合时， capm与与apt等价。等价。 2. 在在capm中，市场组合居于不可或缺的地中，市场组合居于不可或缺的地 位（若无此，则其理论瓦解），但位（若无此，则其理论瓦解），但apt即即 使在没有市场组合条件下仍成立。使在没有市场组合

40、条件下仍成立。 apt模型可以得到与模型可以得到与capm类似的期望回报类似的期望回报- b b直线关系，但并不要求组合一定是市场组合，直线关系，但并不要求组合一定是市场组合， 可以是任何风险分散良好的组合可以是任何风险分散良好的组合 capm与与apt的区别的区别 1 () () ifif ifimf rrbr rrrr 注意二者并注意二者并 不一致不一致 由于市场组合在实际中是无法得到的，因此，由于市场组合在实际中是无法得到的，因此， 在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可在实际应用中，只要指数基金等组合，其即可 满足满足apt。所以。所以apt的适用性更强！的适用性更强！ 3.capm

41、属于单一时期模型，但属于单一时期模型，但apt并不受到单并不受到单 一时期的限制。一时期的限制。 4.apt的推导以无套利为核心，的推导以无套利为核心，capm则以均值则以均值 方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假方差模型为核心，隐含投资者风险厌恶的假 设，但设，但apt无此假设。无此假设。 5.在在capm中，证券的风险只与市场组合的中，证券的风险只与市场组合的相关，相关， 它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来它只给出了市场风险大小，而没有表明风险来 自何处。自何处。apt承认有多种因素影响证券价格，承认有多种因素影响证券价格， 从而扩大了资产定价的思考范围（从而扩大了资产定价的思考范围（capm认为认为 资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险资产定价仅有一个因素），也为识别证券风险 的来源提供了分析工具。的来源提供了分析工具。 apt对资产组合的指导意义对资产组合的指导意义 apt对系统风险进行了细分，使得投资者能对系统风险进行了细分，使得投资者能 够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因 而可以使得投资组合的选择更准确。例如，而可以使得投资组合的选择更准确。例如