数学必修四知识点总结[中小学堂]

1、三角函数总复习 1课堂特制 xAysin 知识网络结构 2课堂特制 1. 1.角的概念的推广角的概念的推广 （1）正角，负角和零角正角，负角和零角. .用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含 角在内）的集合为.Zkk,360 （4）角在“到”范围内，指. 3600 （2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边

2、与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. 3课堂特制 一、任意角的三角函数 1、角的概念的推广角的概念的推广 正角正角 负角负角 ox y 的终边 的终边 ),( 零角零角 4课堂特制 二、象限角： 注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。 三、所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合： |360 ,SkkZ |2,kkZ （角度制） （弧度制） 例1、求在 到 （ ）范围内，与下列各角终边相同的角0 36002到 195012 2 （）、 19 （ ）、 3 48 129 1 3 原点原点 x轴的非负半轴轴的非负半轴 一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 重

3、合，角的始边 与 重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这 个角是第几象限角。 5课堂特制 1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别 Zkkk2 ,2 x y O x y O x y O x y O 3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相互相 垂直的两条直线上垂直的两条直线上”的一般表示式的一般表示式 Zkk2Zkk Zk k 2

4、三、终边相同的角 6课堂特制 (1)与与 角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合: 1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法 | =2k + , k Z. (2)象限角、象限界角象限角、象限界角( (轴线角轴线角) ) 象限角象限角 第一象限角第一象限角: (2k 2k + , k Z) 2 第二象限角第二象限角: (2k + 2k + , k Z) 2 第三象限角第三象限角: (2k + 2k + , k Z) 2 3 第四象限角第四象限角: 2 (2k + 2k +2 , k Z 或 或 2k - - 2k , k Z ) 2 3 一、角的基本概念一、角的基本概念 7课堂特制 轴线角

5、轴线角 x 轴的非负半轴轴的非负半轴: =k 360(2k )(k Z); x 轴的非正半轴轴的非正半轴: =k 360+180(2k + )(k Z); y 轴的非负半轴 轴的非负半轴: =k 360+90(2k + )(k Z); 2 y 轴的非正半轴 轴的非正半轴: =k 360+270(2k + ) 或或 =k 360- -90(2k - - )(k Z); 2 3 2 x 轴轴: =k 180(k )(k Z); y 轴 轴: =k 180+90(k + )(k Z); 2 坐标轴坐标轴: =k 90( )(k Z). 2 k 8课堂特制 例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合： （

6、2）、终边落在y轴上的角度集合： （3）、终边落在象限平分线上的角度集合： |,kkZ |, 2 kkZ |, 42 k kZ 9课堂特制 例例1. 1.若若是第三象限的角，问是第三象限的角，问/2/2是哪个象限的是哪个象限的 角角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角? ? 10课堂特制 .D;.C ;.B;.A)( 2 2 cos 2 cos )90( 1 第四象限第四象限第三象限第三象限 第二象限第二象限第象限第象限角属于角属于 则则 ， 角是第二象限且满足角是第二象限且满足设设 年，上海年，上海例例 C 点评点评: 本题先由本题先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的

7、的 余弦符号确定结论余弦符号确定结论. 11课堂特制 例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度： 解：分针所转过的角度 480360 60 20 1 例例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） （2）2 3 评析：评析： 在解选择题或填空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断. 12课堂特制 四、什么是1弧度的角？ 长度等于半径长的弧所对的圆心角。 O A B r r 2r O A B r 13课堂特制 （3）角度与弧度的换算.只要记住，就可 以方便地进行换算. 应熟记一些特殊角的 度数和弧度数. 在书写时注意不要同时 混用角度制

8、和弧度制 rad 1180180rad 180 1 30.57 180 1 rad （4）弧长公式和扇形面积公式. rl r n r n l 180 2 360 rlrrS 2 1 2 1 2 22 22 360360 r n r n S 14课堂特制 度 弧度 0 0 30 6 45 4 3 60 2 120 3 2 135 4 3 150 6 5 270 2 3 180360 2 90 2、角度与弧度的互化角度与弧度的互化 3602 180 180 1 185730.57) 180 (1 , 弧度 特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表 15课堂特制 略解：解： 例3

9、已知角和满足 求角的范围. 43 ,0 7 , 44312 解： .,. 33 例例4 4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？ .625)25(50)2100( 2 1 2 1 22 rrrrrlrS )(2,50,25rad r l lr扇形面积最大值为625. 16课堂特制 例例7.7.已知一扇形中心角是已知一扇形中心角是，所在圆的半径是，所在圆的半径是R. R. 若若6060，R R10cm10cm，求扇形的弧长及该弧，求扇形的弧长及该弧 所在的弓形面积所在的弓形面积. . 若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C C( (C

10、 C0)0)，当，当为多少为多少 弧度时，该扇形的面积有最大值弧度时，该扇形的面积有最大值? ?并求出这一最大并求出这一最大 值值? ? 17课堂特制 解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓 弓。 。 10 60,10,() 33 Rlcm 22 11013 1010sin6050) 23232 SSScm 弓扇 （）（ （2）扇形周长扇形周长C=2R+l=2R+R rrclrs)2( 2 1 2 1 2 0 c r 18课堂特制 注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 19课堂特制 三角函数三角函数三角函数

11、线三角函数线 正弦函数正弦函数 余弦函数余弦函数 正切函数正切函数 正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 y x x O -1 P MA(1,0) T sin =MP cos =OM tan =AT 注意：注意：三角三角 函数线是函数线是有有 向线段向线段！ 余弦线余弦线OM 正切线正切线AT 20课堂特制 为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 21课堂特制 10）函数函数y=lg sinx+ 的定义域是的定义域是 （A） （A）x|2kx2k+ (kZ) （B）x|2kx2k+ (kZ)

12、（C）x|2kx2k+ (kZ) （D）x|2kx2k+ (kZ) 2 1 cosx 3 3 2 3 22课堂特制 三角函数线的应用三角函数线的应用 一、三角式的证明一、三角式的证明 0 4 2、已知：角 为锐角， 试证： 2 sincos 2 1、已知：角 为锐角， 试证：（1） sintan (2)1sincos2 23课堂特制 4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形 圆心角是多少？扇形的的面积是多少？ 答：圆心角为-2，面积是 2 )2( 2 1 r 5、用单位圆证明sian tan.(00 0,0) y=Asin(x+)(A0,0) 的图象的对称中心的图象的对称中心

13、和对称轴方程和对称轴方程 72课堂特制 )sin(xAy xysin 0 0 | )sin(xy 1 101 )sin(xy )sin(xAy xysin 101 1 xysin 0 0 | )sin(xy )sin(xAy 73课堂特制 ) )的的简简图图. .A As si in n( (x x1 1. .五五点点法法作作函函数数y y 的的思思想想. .看看图图说说话话3 3. . ) )的的图图象象. .A As si in n( (x x函函数数y y2 2. .通通过过图图象象变变换换得得到到 时 的的思思想想. .代代点点看看趋趋4 4. . 势势求求解解析析式式注注意意 sin

14、()yAxB 函数系列要求： sin()yAxB 74课堂特制 例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小。的大小。 解：900135013802700 又 y=tanx在x（900，2700）上是增函数 tan13500,|0,0)的一个周期内的图 象如图，则有( ) )sin(xAy ) 3 2sin(3 ) 6 2sin(3 ) 3 sin(3 ) 6 sin(3 xy xy xy xy(A) (B) (C) (D) 91课堂特制 y x0 3 - 3 12 12 7 y x 0 2-2 - 4 92课堂特制 y x 0 -4 2 3 4 9 4 3

15、 4 3 4 如图：根据函数如图：根据函数图象图象 求它的解析式求它的解析式 93课堂特制 y x 0 4 4 3 2 -2 如图：根据函数如图：根据函数图象图象 求它的解析式求它的解析式 94课堂特制 y x 0 1 12 11 2 如图：根据函数如图：根据函数图象图象 求它的解析式求它的解析式 95课堂特制 y x 0 1 12 11 2 如图：根据函数如图：根据函数图象图象 求它的解析式求它的解析式 3 96课堂特制 y x 根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括

16、锐角包括锐角 ax sin)11( a 4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 2 , 2 )11(sin aax aarcsinaxarcsin 2 , 2 x xasin aarcsin 的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围是 aarcsin 2 , 2 arcsin a )11( a aa )sin(arcsin 97课堂特制 4.11 已知三角函数值求角已知三角函

17、数值求角 练习：练习： （1） 表示什么意思？表示什么意思？ 2 1 arcsin 表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ， 2 , 2 2 1 6 2 1 arcsin 62 1 arcsin 故故 （2）若）若 2 , 2 , 2 3 sin xx，则，则x= 3 ) 2 3 arcsin( （3）若）若 2 , 2 , 7 . 0sin xx ，则，则x=7 . 0arcsin 98课堂特制 4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角 aarccos的意义：的意义： 首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角的余弦值为a ，即，即 角的范围是角的范围

18、是 aarccos , 0arccos a )11( a aa )cos(arccos 根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且有且只有一个，而且 包括锐角包括锐角 ax cos)11( a y x 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做 实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ， 且且 , 0 )11(cos aax aarccosaxarccos , 0 x xacos 99课堂特制 4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角 y=si

19、nx , 的反函数 y=arcsinx , 2 , 2 x 1 , 1x y=cosx, 的反函数y=arccosx, , 0 x 1 , 1x y=tanx, 的反函数y=arctanx,) 2 , 2 ( xRx 已知角已知角x ( )的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤2 , 0 x 先确定x是第几象限角 若x 的三角函数值为正的，求出对应的锐角 ；若x的三角函数 值为负的，求出与其绝对值对应的锐角 根据x是第几象限角，求出x 若x为第二象限角，即得x= ；若x为第三象限角，即得 x= ；若x为第四象限角，即得x= 若 ，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。 1 x 1 x

20、 1 x 1 x 1 2x Rx 反三角函数反三角函数 100课堂特制 已知三角函数值求角 已知三角函数值求角x（仅限于0，2 ）的解题步骤： 1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0； 如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的 锐角x0 ； 2、由函数值的符号决定角x可能的象限角； 3、根据角x的可能的象限角得出0，2 内对应的角： 如果x是第二象限角，那么可以表示为 x0 如果x是第三象限角，那么可以表示为 x0 如果x是第四象限角，那么可以表示为2 x0 101课堂特制 . 写出结果写出结果. . （三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本步骤的基本步骤 1、基本步骤、

21、基本步骤 102课堂特制 当当 sinsinx xa a( (1 1a a1)1)且且x x 2 ， 2 ，则 ，则x xarcsinarcsina a 这时这时sin(arcsina)=a 当当 coscosx xa a( (1 1a a1)1)且且x x0 0， ，则 ，则x xarcarccoscosa a 这时这时cos(arccosa)=a 当当 tatan nx xa a( (1 1a a1)1)且且x x( ( 2 ， 2 ) )，则，则x xarcarctatan na a 这时这时tan(arctana)=a 103课堂特制 三、两角和与差的三角函数 1 1、预备知识：两点间

22、距离公式、预备知识：两点间距离公式 x y o ),( 111 yxp ),( 222 yxp 2 21 2 2121 )()(|yyxxpp ),( 21 yxQ 2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数 sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( tantan tantan )tan( 1 注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形的应用及变形的应用 )tantan)(tan(tantan 1 公式变形公式变形 104课堂特制 3 3、倍角公式、倍角公式 2sinsinsin2 sincoscos2 22 2sin112coscos2 22 1sincos

23、22 tan1 2tan tan2 2 2 cos21 cos 2 2 cos21 sin 2 105课堂特制 二、知识点二、知识点 （一）（一） 两角和与两角和与 差公式差公式 sincoscossinsin sinsincoscoscos tantan1 tantan tan （二）（二） 倍角倍角 公式公式 cossin22sin 2 2 22 sin21 1cos2 sincos2cos 2 tan1 tan2 2tan 公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 tan+tan=tan(+)(1-tantan) tan-tan=

24、tan(-)(1+tantan) 注意1、公式的变形如： 注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）. C： S ： C2： S 2： T2： T： 2 sin 106课堂特制 3、倍角公式、倍角公式 cossin22sin 22 sincos2cos 22 sin211cos2 1sincos 22 2 tan1 tan2 2tan 注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 2 2cos1 cos 2 2 2cos1 sin 2 返回 和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形 cos,sin )sin(cossin

25、 2222 22 ba a ba b xbaxbxa 其中 107课堂特制 其其 它它 公公 式式(1) cos1 cos1 2 tan, 2 cos1 2 cos, 2 cos1 2 sin 222 1、半角公式 cos1 cos1 2 tan, 2 cos1 2 cos, 2 cos1 2 sin sin cos1 cos1 sin 2 tan 2 tan1 2 tan2 tan, 2 tan1 2 tan1 cos, 2 tan1 2 tan2 sin 22 2 2 2、万能公式 108课堂特制 十二、两角和与差的正弦、余弦、正切： () :S () :S () :C () :C ()

26、T () :T sin()sincoscossin sin()sincoscossin cos()coscossinsin cos()coscossinsin tantan tan() 1tantan tantan tan() 1tantan 注意： 、 的以及运用和差公式时要会 () T () T 如： (),2()() 2()(),2() 36 与互余， + 与互余 44 109课堂特制 22 sincossin()abab 十三、一个化同角同函数名的常用方法： 22 cos()ab 如：sin3cos2sin()2cos() 36 sincos2sin()2cos() 44 例7、求 的

27、值 1tan15 1tan15 十四、二倍角公式： 2 :S 2 :C 2 :T sin22sincos 22 cos2cossin 2 2cos1 2 12sin 2 2tan tan2 1tan 110课堂特制 2 1 cos cos 22 2 1 cos sin 22 2 1 cos2 sin 2 2 1 cos2 cos 2 降幂（扩角）公式降幂（扩角）公式 升幂（缩角）公式升幂（缩角）公式 和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式： 1 sincossin()sin() 2 1 cossinsin()sin() 2 1 coscoscos()cos() 2 1 sins

28、incos()cos() 2 sinsin2sincos 22 coscos2sinsin 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 111课堂特制 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法1：从“角”入手，“复角”化为“单 角”，利用“升幂公式”。 ) 1cos2)(1cos2( 2 1 coscossinsin 222222 原式 2 1 coscoscoscossinsin 222222 2 1 cossincossinsin 22222 2 1 cossin 22 2 1 112课堂特制 例例4化简：化简：

29、2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式” 。 2cos2cos 2 1 )2cos1)(2cos1 ( 4 1 )2cos1)(2cos1 ( 4 1 原式 2cos2cos 2 1 )2cos2cos1 ( 2 1 2 1 113课堂特制 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法3：从“名”入手，“异名化同名”。 2cos2cos 2 1 cos)sin1 (sinsin 2222 原式 2cos2cos 2 1 2cossincos 22 )2cos 2 1 (sin2coscos 2

30、2 ) 2 2cos 2 2cos1 (2cos)2cos1 ( 2 1 2 1 114课堂特制 例例4化简：化简： 2cos2cos 2 1 coscossinsin 2222 解法4：从“形”入手，利用“配方法”。 2cos2cos 2 1 coscossinsin2)coscossin(sin 2 原式 2cos2cos 2 1 2sin2sin 2 1 )(cos 2 )22cos( 2 1 )(cos 2 2 1 115课堂特制 三角解题常规三角解题常规 宏观思路宏观思路 分析差异分析差异 寻找联系寻找联系 促进转化促进转化 指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异 利用

31、有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系 活用公式，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一 116课堂特制 微观直觉微观直觉 1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化； 2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切； 3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差； 4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简； 5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂； 6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos； 7、见、见sincos或或 9、见、见coscoscos，

32、先运用，先运用 sin+sin=p cos+cos=q 8、见、见a sin+b cos，想化为，想化为 的形式的形式 若不行，则化和差若不行，则化和差 10、见、见cos+cos(+)+cos(+2 )， 想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积 )sin( 22 ba sin2 2sin cos 2 sin2 2 sin2 117课堂特制 总结： 多种名称想切化弦；遇高次就降次消元； asinA+bcosA提系数转换； 多角凑和差倍半可算； 难的问题隐含要显现； 任意变元可试特值算； 求值问题缩角是关键； 字母问题讨论想优先； 非特殊角问题想特角算； 周期问题化三个一再算； 适时

33、联想联想是关键！ 118课堂特制 【解题回顾解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间找出非特殊角和特殊角之间 的关系的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，这种技巧在化简求值中经常用到， 并且三角式变形有规律即坚持并且三角式变形有规律即坚持“四化四化”： 多角同角化多角同角化 异名同名化异名同名化 切割弦化切割弦化 特值特角互化特值特角互化 119课堂特制 公式体系的推导：公式体系的推导： 首先利用两点间的距离公式推导首先利用两点间的距离公式推导 ， () C 然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心为中心 推导公式体系。推导公式体系。 () C () C ()

34、 C () S () S () T () T 2 S 2 C 2 T 用 替换 用替换 用 替换 用替换 用 替换用替换 相 除相 除相除 120课堂特制 sin+cos=1 22 2 2 22 22 2 22 2222 sin cos cossin sin1 cos 2cos cossin1 t sincos cos1 sin (cossin ) sincos1 cossin sinsincoscos coscossin sin ( 2 1- 2 1- （同位素）1-；， （1-）（1+）= （异构体） （1-）（1+）= （=tan ） （形变） 2 2 an 2 1 tan tan()

35、4 121课堂特制 cossin1 sin2cos2 1 cossin21 sin2cos2 cossin1 sin2cos2 1 cossin421 sin2cos24 tan ()tan ; tan()()tan() 1- 1+ （合分比） 异构 异构 二二【述评述评】 1 1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、 三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数 表达式的变换（综合）

36、等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以 太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的 习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。 2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算） 寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧） 分析综合（由因导果或执果索因）分析综合（由因导果或执果索

37、因） 实现转化。实现转化。 122课堂特制 1、值域与最值问题 1sin 2sin )2();tan(sin) 1 ( x x yxy求求函函数数的的值值域域： 利用有界性 ，求其值域，求其值域其中其中 已知函数已知函数 0 cossin2siny 化二次函数型 的的值值域域求求函函数数xxycos3sin 2 运用合一变换 的的值值域域求求函函数数xxxxy 22 cos3cossin2sin 换元 123课堂特制 十七、： 主要是将式子化成的形式，再利用正弦 函数与余弦函数的求解。 例10、求函数 的值域 2 cossin cosyxxx 有时还要运用到 的关系sincossincosxx

38、xx与 124课堂特制 2、对称性问题 3、奇偶性与周期性问题 xxy xy xy cossin3 sin2 2 4 tan1 ）（ ）（ ）（ 求下列函数的周期：求下列函数的周期： 注意绝对 值的影响 化为单一 三角函数 ., 8 2cos2sin)3( ., 2 1 sin)2( .) 3 2cos(5) 1 ( axxaxy xy xy 求求对对称称图图像像关关于于直直线线如如果果函函数数 的的一一个个值值写写出出是是偶偶函函数数函函数数 称称轴轴方方程程的的图图像像的的对对称称中中心心和和对对求求函函数数 125课堂特制 4、单调性与单调区间 3 2sin)2( tan) 1 ( :

39、xy xy 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间 复后函数 单调性 注意负号 的处理 . 3 2sinlog 2 . 0 性性、周周期期性性、奇奇偶偶性性的的定定义义域域、值值域域、单单调调 求求函函数数 xy 126课堂特制 5、图像变换问题 相位变换、周期变换、振幅变换 ).(,cos , 2 1 , 8 )()2( . ) 3 2sin(sin) 1 ( xfxy xxfy xyxy 求函数的图像恰好得到 横坐标缩短为原来的再把所得图像上各点的 个单位轴向右平移的图像沿把函数 的两种方法 的图像的图像变换为指出 求函数解析式 . ), 0, 0()sin( 达式达式的图象如图，求函数

40、表的图象如图，求函数表 AxAy 127课堂特制 例例4:已知函数已知函数 求：函数的最小正周期；函数的单增区间；求：函数的最小正周期；函数的单增区间； ,cos3cossin2sin 22 Rxxxxxy 解：解：xxxxxxy 222 cos22sin1cos3cossin2sin ) 4 2sin(2212cos2sin1 xxx 2 2 T 得由, 2 2 4 2 2 2 kxk Zkkxk, 88 3 )( 8 , 8 3 Zkkk 函数的单增区间为 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一个角同一个函数 128课堂特制 例例4:已知函数已知函数 求：求： 函数的最大值函数的最大值 及

41、相应的及相应的x的值；的值； 函数的图象可以由函数函数的图象可以由函数 的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到。样的变换得到。 ,cos3cossin2sin 22 Rxxxxxy Rxxy,2sin2 解：解： xxxxxxy 222 cos22sin1cos3cossin2sin ) 4 2sin(2212cos2sin1 xxx 22,)( 8 , 2 2 4 2 最大值 时即当yZkkxkx xy2sin2 图象向左平移图象向左平移 个单位个单位 8 ) 4 2sin(2 xy 图象向上平移图象向上平移2个单位个单位 ) 4 2sin(22 xy 应用应用：化同一个角同一个函数：化同一

42、个角同一个函数 129课堂特制 例例5：已知：已知 的值求 ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 ), 2 (2 ,222tan 2 解：解： ) 4 sin(2 sincos ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 2 1tan 32 2 1tan ,222tan 2 2 tan2tan22 tan1 tan2 2 或即 2tan) 2 , 4 (), 2 (2 sincos sincos 应用：应用：化简求值化简求值 130课堂特制 例1 cos40sin50 (13tan10 ) sin701 cos40 化简： 解: 3sin10 13tan101 cos10 2(cos60

43、 cos10sin60 sin10 ) cos10 2cos50 cos10 原式= 1 cos40 2sin50 cos50 cos40 cos10 2sin70 cos20 2 cos401 2cos 20 2 cos103sin10 cos10 2 2cos 20 2cos20 131课堂特制 20cos )10tan31 (40cos50sin 2 2 计算例 20cos )10tan31 (40cos40cos 2 原式解 20cos )10tan32(40cos 2 20coscos10 10cos)10sin310(cos40cos 2o 20coscos10 10cos)103

44、0sin(240cos 2o 132课堂特制 20coscos10 10cos40cos40sin240cos 2o 20coscos10 10cos40cos80sin 2o ) 2 40cos1 (10cos )40cos1 (10cos 2 133课堂特制 _ 212cos4 12csc)312tan3( 2 24cos12cos12sin2 12cos312sin3 24cos2 12csc)33( 12cos 12sin 34 48 4834 48 121234 2 3 2 1 sin sin sin )cscsin( 练习题练习题 134课堂特制 5 sin(),(0,) 4134

45、 xx 例2 (1)已知5sinsin(2)求证：2tan()3tan (2)已知求cos(),cos2 4 xx (1)证明：5sinsin(2) 5sin()sin() 化简得：2sin( )cos3cos()sin 2tan()3tan 5sin()cos5cos()sin sin()coscos()sin 135课堂特制 (2) 已知 5 sin(),(0,) 4134 xx 求cos( ),cos2 4 xx 解: ()() 442 xx cos() 4 x sin() 4 x (0,) 4 x ()(0,) 44 x 5 sin() 413 x 12 cos() 413 x cos

46、2x 120 169 5 13 cos() 24 x sin(2 ) 2 x sin2() 4 x 2sin()cos() 44 xx 136课堂特制 解： ) 4 sin(2 sincos ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 2 tan1 tan1 ,222tan 2 2 tan2tan22 tan1 tan2 2 或即 2tan) 2 , 4 (), 2 (2 sincos sincos 应用：化简求值应用：化简求值 322 例例5.5.已知已知 的值求 ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 ), 2 (2 ,222tan 2 137课堂特制 11 3sin2sin2,cos

47、2cos2, 23 例已知求tan( + ) 解：2（）（） 2（）-（） sin2sin2 sinsin （）（）（）-（ - ） 2sin()cos() cos2cos2 coscos （）（）（）-（ - ） 2cos()cos() 1 2 1 3 3 tan(+ )= 2 138课堂特制 2、解: 由 1 sinsin 4 两边平方得: 22 1 sin2sinsinsin 16 2 1 coscos 2 由 两边平方得: 22 1 cos2cos coscos 4 2 由2+2得: 5 22(coscossinsin) 16 即 5 2 2cos() 16 所以 27 cos() 3

48、2 由2 2得: 2222 3 cossin2(cos cossin sin ) cossin 16 3 cos22cos() cos2 16 3 cos() () 2cos() cos() () 16 3 2cos()cos() 2cos() 16 3 cos() 5 139课堂特制 cos 3 6 cos,sin2sin 1已知：例 sin2sin解：由已知得： cos 3 6 cos 得： 22 2222 cos 3 2 sin2cossin .0的值、），求，（、 140课堂特制 3cos2)cos1(6 3cos2sin6 22 22 4 3 cos 2 6 5 6 , 2 3 co

49、s 或 4 3 4 , 2 2 cos 或 141课堂特制 练习 已知 11 tan(),tan,(,0) 27 求 2 tan()tan 1tan()tan 解: tan tan()tan 1tan()tan 1 3 tan(2) tan() tan() 1 11 tan,tan, ,(,0) 37 3 , 4 0 4 5 22 4 7 2 4 T 0 A T 142课堂特制 .,20 0coscoscos, 0sinsinsin2 值值求求且且 、已知、已知 由由条条件件有有解解 : coscoscos sinsinsin :两两边边平平方方相相加加得得1)coscossin(sin22

50、2 1 )cos( ,20又又 3 4 3 2 或或 3 4 3 2 或或 同理同理 ,20但但 . 3 2 143课堂特制 例15. （06陕西理17）已知函数f(x) sin(2x )2sin2(x ) (xR) （1）求函数f(x)的最小正周期； （2）求使函数f(x)取最大值的x的集 合 6 12 3 144课堂特制 3 解：f(x) sin(2x ) 1 cos2(x ) sin(2x ) cos(2x ) 1 2 sin(2x ) 1 函数f(x)的最小正周期T . 使函数f(x)取最大值的x的集合为 x|x=k ,k Z 6 12 3 5 12 3 6 6 145课堂特制 5、已

51、知、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。 （1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式； （2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函数。为偶函数。 （3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-, 的的x的集合。的集合。 解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ) (2)当当= 时时 f(x)为偶函数。为偶函数。 (3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x= 2 2 2 33 3 2 3 6 6 2 1 6 6

52、5 146课堂特制 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a (aR,a常数常数)。 （1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期； （2）若）若x- , 时，时，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值。的值。 6 6 2 2 解：（解：（1）f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cosx+a = sinx+cosx+a =2sin(x+ )+a f(x)最小正周期最小正周期T=2 6 6 6 3 （2）x - , x+ - , f(x)大 大=2+a a=-1 6 2 2 3 3 2 147课堂特制 例例3、求函数、求函数 的值

53、域的值域. 2sin2cos 2 xxy 解：解：1sin2sin2sin2cos 22 xxxxy 2 ) 1(sinx 又-1sinx1 原函数的值域为：04， 变题：变题：已知函数已知函数 （a为常为常 数，且数，且a0），求该函数的最小值），求该函数的最小值. 2 1 sinsin 2 xaxy 当当-2 0时，时，a ; 2 1 4 2 min a y 当当 -2时，时，a . 2 1 min ay 148课堂特制 3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)： （1）求）求g(a)； （2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f

54、(x)的最大值的最大值。 2 1 解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1 2 a 2 a 2 a 2 a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小 小=- 2-a-1 当当 1 即即a2时时 f(x)小 小=f(1)=1-4a 2 a 2 a 当当 -1 即即a0函数函数y=-acos2x- asin2x+2a+b x0, ，若函数的值域为，若函数的值域为-5,1，求常数，求常数 a,b的值。的值。 3 2 解：解： 12 6 7 6 2 6 0 62 1 )sin(, xxa 3a+b=1 a=2 b=-5 b=-5 baxa baxxay 222 2

55、222 6 2 3 2 1 )sin( )sincos( 151课堂特制 3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)： （1）求）求g(a)； （2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。 2 1 解：（解：（1）f(x)=2(cosx- )2- 2-2a-1 2 a 2 a 2 a 2 a -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小 小=- 2-a-1 当当 1 即即a2时时 f(x)小 小=f(1)=1-4a 2 a 2 a 当当 -1 即即a-2时时 f(x)小小=f(-1)=1 ).( ).(

56、 ).( )( 21 241 2212 2 2 a aa aa a ag 152课堂特制 （2）a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+ )2+ f(x)大 大=5 2 1 2 1 3、函数函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)： （1）求）求g(a)； （2）若）若g(a)= ，求，求a及此时及此时f(x)的最大值的最大值。 2 1 153课堂特制 5、已知、已知f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )- 。 （1）化简）化简f(x)的解析式；的解析式； （2）若）若0，求，求，使函数，使函数f(x)为偶函数。为

57、偶函数。 （3）在（）在（2）成立的条件下，求满足）成立的条件下，求满足f(x)=1，x-, 的的x的集合。的集合。 解：解：(1)f(x)=sin(2x+)+ 2cos2(x+ )-1 =sin(2x+)+ cos(2x+)=2cos(2x+- ) (2)当当= 时时 f(x)为偶函数。为偶函数。 (3) 2cos2x=1 cos2x= x= 或或x= 2 2 2 33 3 2 3 6 6 2 1 6 6 5 154课堂特制 例12.（2006年天津文9）已知函数 f(x)asinxbcosx（a，b为常数， a0，xR） 在x 处取得最小值， 则函数yf( x)的对称中心坐标 是_ 4 3

58、 4 155课堂特制 解：由 (ab) 化简得ab 所以f(x) asin(x )，a0 从而f( x) asinx， 其对称中心坐标为(k，0)，kZ. 2 2 4 22 ab 2 3 4 2 156课堂特制 平平 面面 向向 量量 复复 习习 向量的三种表示向量的三种表示表示表示 运算运算 向量加向量加 法与减法法与减法 向量的相关概念向量的相关概念 实数与实数与 向量向量 的积的积 三三 角角 形形 法法 则则 平行四边形法则平行四边形法则 向量平行、向量平行、 垂直的条件垂直的条件 平面向量平面向量 的基本定理的基本定理 平平 面面 向向 量量 向量的数量积向量的数量积 向量的应用向量

59、的应用 157课堂特制 几何表示 : 有向线段有向线段 向量的表示 字母表示 : aAB 、等 坐标表示 : (x，y) 若若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则则 AB = (x2 x1 , y2 y1) 返回返回 158课堂特制 1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.单位向量: 5.平行向量: 6.相等向量: 7.共线向量: 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量 1.有向线段有向线段 2.字母字母 3.有向线段起点和终点字母有向线段起点和终点字母 长度为零的向量长度为零的向量(零向量与任意向量都平零向量与任意向量都平 行行 长度为长度为1个单位的向量个单位的向量

60、1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量 2.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量 平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量 159课堂特制 a 向量的模（长度）向量的模（长度） 1. 设设 = ( x , y ), 则则 2. 若表示向量若表示向量 (x1,y1)、B (x2,y2) ，则，则 ABa 22 yx 2 21 2 21 yyxx 返回返回 160课堂特制 1 1,; (2) 3, 4,; (5)/ , / ,/ abab ABCDABCD ab bcac ac bcab 例：判断下列各命题是否正确？ （）则 若两