高中物理论文：柳暗花明又一法——圆的切线在物理解题中应用

1、柳暗花明又一法圆的切线在物理解题中应用一、 问题提出高考第一轮第一章力复习时，我做到一个练习题，它费了我好些时间思考后才找到解题思路，得以求解。题目是这样的：一个重为g的物体被悬挂后，再对物体施加一个大小一定的作用力ffg，使物体在某一位置重新获得平衡，如图所示，若不计悬线质量，求悬线与竖直方向的最大夹角?我通过对题意的分析明确以下几点：力f大小已知，方向不确定，是一个变力；悬线与竖直方向夹角未知（即悬线拉力t方向未知）；物体受到的力g、t、f合力为零。从上述分析，无法应用平行四边形定则画出力g、t、f构成的平行四边形或三角形。此时，我觉得：山穷水复疑无路。二、问题探索过程我先画出重力g和t、

2、f的合力g，如图1所示，分析f的特点，以重心o为圆心，f的大小为半径画圆，此时，就有“柳暗花明又一村”的感觉。如图2所示，连接g的端点e与圆上任意一点，与圆o相切于a，相交于b。可知，切线ae与竖直方向的夹角最大，设最大夹角为，得：，则。解出此题后，我思索着：数学是学习物理的基础，应用数学的方法解物理题也是物理解题的基本方法之一，运用数学图形与物理矢量的之间关系，画出相应的图象，可能会使物理题得以巧解。下面举例说明圆的切线在物理解题中应用。三、问题延伸1、应用圆的切线求解最值问题圆的切线与圆的位置关系是有且仅有一个交点。如果物理量的变化可以用圆描述或者物体的运动轨迹是圆，求相关的最值问题，我们

3、可以考虑应用圆的切线解题。【例1】如图所示，有一工厂车间需要在安全隔离板ab的下方安装一个光滑斜槽，将ab上面的原料沿斜槽由静止开始送入水平地面上的加工入口c，欲使原料从送料口沿光滑的斜槽以最短的时间滑落到加工入口c，斜槽的安装位置应该：a 过c点作竖直线cd，沿cd方向安装斜槽b 过c点向ab作垂线段ce，沿ce方向安装斜槽c 考虑路程和速度因素，应在cd和ce之间某一适当位置安装斜槽d 上述三种方法原料滑落到加工入口c点所用的时间相等解析：由题意可知，滑落到c点的时间，构建一个等时圆o（圆上各点运动到c点时间相等），与水平地面相切于c点， 圆上的任意一点运动到c点的时间相等，若过b点作o的

4、切线ab与o相切于f，由图可知，直线 ab上的其它任意点运动到c的时间都大于沿fc运动的时间，而且f点在d、e之间，所以，可得出沿fc方向安装斜槽，可以使原料以最短的时间落到加工入口c。故选c。2、应用圆的切线求解矢量问题 物理题目中涉及许多矢量问题，这些物理量在题目中如果大小不变，方向改变。我们可以通过画圆找出矢量的变化规律，作圆的切线找到正确的解题思路。【例2】某人乘船横渡一条河，船在静水中的速度及水速一定，此人过河最短时间为t1，若船速小于水速，此船用最短的位移过河，则需时间t2，则船速与水速之比为 。解析：如图1所示，设河岸宽为d，船在静水中航行的速度为v1，当船垂直于对岸方向航行时，

5、时间最短为t1，则，以水的速度v2的端点c为圆心，v1的大小为半径画圆，如图2所示，过点o作圆的切线ob与圆相切于点d，可知，船沿ob方向航行位移最短。因为ocdboa，则：整理得：所以，=【例3】如图所示，ab是半径为r的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为e，方向一定，在圆周平面内，将一带正电q的小球从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时小球的动能最大。已知cab30，若不计重力和空气阻力，求电场方向与ac间的夹角为多大？ 解析：由于不计重力和空气阻力，带电小球自点抛出后，仅受电场力作用，则小球的动能变化等于电场力做功，即ek=

6、w=uq 。要使到达c点动能最大，电场力做正功且a、c两点间的电势差u最大。若过点c画任意一条直线mn，且直线上各点的电势相等，如图1，那么只有当直线mn与圆相切时，a、c两点间的电势差才最大。则过c点作该圆的切线pq，相切于点c，如图所示，过a点作直线pq的垂线交pq于d，ad方向即为所求的电场方向。由几何关系可知，cad=30，即夹角=30。 3、应用圆的切线求解磁场问题 带电粒子（重力不计）垂直射入匀强磁场中，它将在匀强磁场中作匀速圆周运动，受到向心力的方向与速度方向垂直，而且速度方向是圆上该点的切线方向。如果画出运动轨迹作出圆的切线，也许会使题目迎刃而解。【例4】一匀强磁场，磁场方向垂

7、直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以o为圆心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点o开始运动，初速度为v，方向沿x轴正方向。后来，粒子经过y轴上的p点，此时速度方向与y轴的夹角为30，p到o的距离为l，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感应强度b的大小和xy平面上磁场区域的半径r。解析：带电粒子在磁场中受到洛仑兹力力作用做匀速圆周运动。设其半径为，则图1由于v沿x轴正方向，圆心必定在y轴上，设圆心为o1，则oo1=r。如图1所示，以o1为圆心，r为半径画圆，可知粒子沿弧oa运动并从a点射出磁场，出磁场后沿直线ap作匀速直线运动，则ap与圆o1相切于点a，连接oa，oa即为圆形磁场区域的半径r。延长pa交x轴于q。由图中几何关系得：l=3r，则，将代入，得由几何关系可知，oq=r因为pao1poq，得所以，。四、问题总结1、如果题目中出现某一矢量（如力f、速度v、电场强度e、磁感应强度b等物理量）大小已知，方向不确定，则可以先确定圆心画出一个矢量圆，然后结合矢量合成方法即平行四边形定则或