极限概念与数列的极限

1、2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 极限概念与数列的极限极限概念与数列的极限 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法。他把圆周的方法。他把圆周 分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分 这样继这样继 续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。 割之弥细，割之弥细， 所失弥少，割所失弥少，割 之又割，以至之又割，以至 于不可割，则于不可割，则 与圆合体而无与圆合体而无 所失矣。所失矣。 2021年年5月月24日日 1

2、4 时时 4 3 分分 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 项号项号项项这一项与这一项与0的差的绝对值的差的绝对值 1 2 3 4 5 6 7 8 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 5.0|0 2 1 | 25.0|0 4 1 | 125.0|0 8 1 | 0625.0|0 16 1 | 03125.0|0 32 1 | 015625.0|0 64 1 | 0078125.0|0 128 1 | 00390625.0|0 256 1 | 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 项号

3、项号 边数边数内接多边形周长内接多边形周长 24 12 6 3 2.598076211353 3.000000000000 3.105828541230 3.132628613281 48 3.139350203047 96 3.141031950891 192 3.141452472285 384 3.141557607912 n nc 0 180 sin 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 1 x 2 2 1 3 4 4 3 5 6 一般地，对于数列一般地，对于数列 an，如果存在，如果存在 一个常数一个常数a，无论预先指定多么小的正，无论预先指定多么小的正 数数，都能

4、在数列中找到一项，都能在数列中找到一项 a n ，使，使 得这一项后面的所有项与得这一项后面的所有项与a的差的绝对的差的绝对 值都小于值都小于（ 即当即当 nn 时，时，|an-a|n时，不等式时，不等式 |an-a| 恒成立，才能表明数恒成立，才能表明数 列列an无限趋近于无限趋近于a。 （2）就极限的全过程的某一瞬）就极限的全过程的某一瞬 间来说，间来说，又是具体给定的。又是具体给定的。 随着随着取值的越来越小，表明数列取值的越来越小，表明数列an不断趋近于不断趋近于a的无限过程。的无限过程。 （3）数列）数列an的极限是的极限是a。an可能比可能比a小，无限趋近于小，无限趋近于a； 无限

5、趋近于无限趋近于a； ； a n也可能时而小于 也可能时而小于a时而大于时而大于a，无限趋近于，无限趋近于a. an也可能比也可能比a大，大， 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多

6、么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的极限是的极限是a。( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即来决定，即一一旦旦取定取定 ，n就只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数。.( ) (6)若数列的极限是若数列的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的

7、极限仍为的极限仍为a。.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项。）内一定有该数列的无穷多项。.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限。的极限。.( ) (2)

8、对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限。的极限。. ( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的极限是的极限是a。( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即一旦来决定，即一旦取定取定 ，n就只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数。.( ) (6)若数列的极限是若数列

9、的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的极限仍为的极限仍为a。.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项。）内一定有该数列的无穷多项。.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差

10、的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的极限是的极限是a.( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即一旦来决定，即一旦取定取定 ，n就

11、只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数.( ) (6)若数列的极限是若数列的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的极限仍为的极限仍为a.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项）内一定有该数列的无穷多项.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中

12、找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的极限是的极限是a.( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定

13、义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即一旦来决定，即一旦取定取定 ，n就只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数.( ) (6)若数列的极限是若数列的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的极限仍为的极限仍为a.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项）内一定有该数列的无穷多项.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等

14、于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列

15、数列an的极限是的极限是a.( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即一旦来决定，即一旦取定取定 ，n就只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数.( ) (6)若数列的极限是若数列的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的极限仍为的极限仍为a.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项）内一定有该数列的无穷多项.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3

16、分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.(

17、 ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的极限是的极限是a.( ) (4)在数列极限的在数列极限的“ n”定义中，定义中，n的取值由的取值由来决定，即一旦来决定，即一旦取定取定 ，n就只能是某一固定的自然数就只能是某一固定的自然数.( ) (6)若数列的极限是若数列的极限是a，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列，则任意去掉或改变其中的有限项后，新数列 的极限仍为的极限仍为a.( ) (5) 如果如果数列数列 an的极限是的极限是a,那么对于预先给定的小正数那么对于预先给定的小正数，在区间（，在区间（ a-，a+）内一定有该数列的无穷多项）内一定有

18、该数列的无穷多项.( ) 2021年年5月月24日日 1 4 时时 4 3 分分 (1)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,当正数当正数等于等于0.1,0.01,0.001时，都能时，都能 在数列中找到一项在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项与，使得这一项后面的所有项与a的差的绝对值的差的绝对值 都小于都小于 ，则，则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (2)对于数列对于数列an,如果存在常数如果存在常数a,无论预先给定多么小的正数无论预先给定多么小的正数，都，都 能在数列中找到一项能在数列中找到一项 a n ，使得这一项后面的所有项都属于开，使得这一项后面的所有项都属于开区间区间 （a-，a+）,则则a是是数列数列an的极限的极限.( ) (3) 如果如果数列数列 an的每一项都是的每一项都是a,那么那么数列数列an的