203考研数三真题及解析

1、统一考试 2 0 1 3 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 项符合题目要求 数学三试题 、选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中， 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 1）当 x 0时，用 o（x）表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ 23 A) x o(x2) o(x3) 23 B) o(x) o(x2 ) o(x3) C) o(x2) o(x2) o(x2) D) o(x) o(x2) o(x2) 2） 函数 f (x) |x|x 1 x(x 1)ln |x| 的可去间断点的个数为 （A）0 （B）1 （C）2 x)dxd

2、y k 1,2,3,4 ， （D）3 （3）设 Dk是圆域 D （x,y）|x2 y2 1位于第 k象限的部分，记 Ik（y Dk 则（ ） A) I1 0 B) I2 0 C) I3 0 D) I4 0 4）设 an 为正项数列，下列选项正确的是（） A) 若 an an 1, 则 ( 1)n 1an 收敛 n1 B) 若 ( 1)n 1an 收敛，则 an an 1 n1 C） 若 an 收敛，则存在常数 P 1, 使 lim nPan 存在 n 1 n D）若存在常数 P 1，使 lim nPan 存在，则an 收敛 n1 5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若 AB C,则 B可

3、逆，则 A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 1a1 2 6）矩阵 aba 与 0 1a1 0 A 的行向量组等价 A 的列向量组等价 B 的行向量组等价 B 的列向量组等价 00 b 0 相似的充分必要条件为 00 A）a 0,b 2 B）a 0, b为任意常数 C）a 2,b 0 D）a 2, b为任意常数 22 7)设 X 1， X 2， X 3是随机变量，且 X1N(0,1) ， X2N( 0,2 2)， X3 N (5,3 2) , Pj P 2 X j 2( j 1,2,3), 则( ) A)

4、 P1 P2 P3 B) P2 P1 P3 C) P3 P1 P2 D） P1 P3 P2 8）设随机变量 X和 Y 相互独立，则 X和 Y的概率分布分别为， 则 PX Y 2 ( ) A） B） C） D） 1 12 1 8 1 6 1 2 二、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 . 9)设曲线 y f(x) 和 y x2 x 在点 （0,1） 处有公共的切线，则 lim nf n n n2 10) 设函数 z z（x,y） 由方程 (z y)x xy 确定，则 z x (1,2) 11) ln x 2dx 求 1 (1 x) 12) 1 微

5、分方程 y y y 0 通解为 y 4 13） 设 A （aij） 是 三 阶 非 零 矩 阵 ， | A |为 A 的 行 列 式 ， Aij 为 aij 的 代 数 余 子 式 ， 若 aij Aij 0（i, j 1,2,3）,则 A （14）设随机变量 X服从标准正态分布 X N（0,1） ,则 E（Xe2X ）= 。 三、解答题： 1523小题，共 94分.请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 . （ 15 ）（本题满分 10 分） 当 x 0时， 1 cosx cos2x cos3x与 axn为等价无穷小，求 n与 a的值。 （ 16 ）（本题

6、满分 10 分） 1 设 D是由曲线 y x3，直线 x a（a 0）及 x轴所围成的平面图形， Vx ,V y分别是 D绕 x轴， y轴旋转一 周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx ，求 a 的值。 （ 17 ）（本题满分 10 分） 设平面内区域 D由直线 x 3y, y 3x及 x y 8围成 .计算 x2dxdy 。 D （18）（本题满分 10 分） 设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/ 件，价格函数为 P 60 Q ，（P 是单价，单 1000 位：元， Q是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。 （2）当 P=50 时的边际利

7、润，并解释其经济意义。 （ 3）使得利润最大的定价 P。 （ 19 ）（本题满分 10 分） 设函数 f（x）在0, 上可导， f（0） 0且 lim f（x） 2，证明 x （1）存在 a 0，使得 f（a） 1 1 2）对（ 1）中的 a，存在（0, a）,使得 f （ ） . a 20）（本题满分 11 分） 设A a a0 ,B 当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 AC CA B ，并求所有矩阵 C 。 21）（本题满分 11 分） 22 fx1,x2,x32a1x1a2x2a3x3b1x1b2x2b3x3，记 a1 a2 , b1 b2 a3 b3 设二次型 I ）证明二次型

8、f 对应的矩阵为 2 T T II ）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 2y12 y22 。 22）（本题满分 11 分） 设 X,Y 是二维随机变量， X 的边缘概率密度为 3x2, 0 x 1, fX x 0,其他. ，在给定 条件下， Y 的条件概率密度 fY X y x 3y2 x3 0, 0 y x, 其他. 1） 求 X,Y 的概率密度 f x,y ； 2） Y 的边缘概率密度 fY y 23) 本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f x 2 3e x 0, x 0, 其中 为未知参数且大于零， X1,X2， XN 为来自总体 其

9、它. 2013年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 、选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 1)当 x 0时，用 o(x)表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是( ) 23 A) x o(x2) o(x3) 23 B) o(x) o(x2 ) o(x3) C) o(x2) o(x2) o(x2) D) o(x) o(x2) o(x2) 答案】 D 解析】 o(x) o(x2) o(x)，故 D错误。 2) 函数 f (x) |x|x 1 x(x 1)ln |x| 的可去

10、间断点的个数为 A)0 B) 1 C) 2 D) 3 答案】 C 解析】由题意可知 f (x) 的间断点为 0, 1 。又 lim f (x) x0 x x1 lim x0 xln x e1 lim x 0 x(x 1)ln x x 0 x(x 1)ln x lim xln x x 0 x(x 1)ln x lim f (x) x0 x xln( x) ( x) 1 e 1 xln( x) lim lim lim x 0 x(x 1)ln( x) x 0 x(x 1)ln( x) x 0 x(x 1)ln( x) lxim1 f(x) lim x x1 x 1 x(x 1)ln x xln x

11、 e1 x(x 1)ln x lim xln x x 1 x(x 1)ln x xlim1 f (x) lim ( x)x 1 x 1 x(x 1)ln( x) xln( x) e1 lim x 1 x(x 1)ln( x) lim xln( x) x 1 x(x 1)ln( x) 故 f (x) 的可去间断点有 2 个。 22 （3）设 Dk是圆域 D （x,y）|x2 y2 1位于第 k象限的部分，记 Ik （y x）dxdy k 1,2,3,4 ， Dk 则（ ） （ A） I1 0 （B） I2 0 （C） I3 0 （D） I4 0 【答案】 B 解析】令 x r cos ,y rs

12、in ，则有 Ik(y x)dxdy rdr (r sin Dk 1 rcos )d (cos sin ) 故当 k 2 时， , ，此时有 I 2 0.故正确答案选 B。 4） 设 an 为正项数列，下列选项正确的是 A) 若 an an 1,则 ( 1)n 1an 收敛 n1 B) 若 ( 1)n 1an 收敛，则 an an 1 n1 C） 若 an 收敛，则存在常数 n1 P 1, 使 lim n nPan 存在 D）若存在常数 P 1 ，使 lim n n Pan存在，则an 收敛 n1 答案】 D 解析】根据正项级数的比较判别法，当 P 1时， n 1 n1p收敛，且lnim nP

13、an存在，则 n1an与n1n1p同 敛散，故an收敛 . n1 （5）设矩阵 A,B,C 均为 n阶矩阵，若 AB C，且 C可逆，则（ ） （A）矩阵 C的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价 （B）矩阵 C的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 C) 矩阵 C的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价 D) 矩阵 C的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价 答案】(B) 解析】由 C AB 可知 C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆， 故有 A CB 1 ，从而 A C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为 B)。 1 a 1 2 0 0 6)矩阵 a b a 与 0

14、 b 0 1 a 1 0 0 0 的列向量组也可以由 相似的充分必要条件为 A) 0,b 2 a B) 0, b为任意常数 C) 2,b 0 D) 2, b为任意常数 答案】 (B) 解析】 1a1 1a1 200 aba 为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而 aba 与 0b0 1a1 1a1 000 由于 1 相似的 a1 充分必要条件为 ba a1 的特征值为 2,b,0 。 又EA ( b)( 2) 2a2 ，从而 a 0,b为任意常数 。 a1 ba a1 22 7)设 X 1， X 2， X 3是随机变量，且 X1N(0,1) ， X2N( 0,2 2)， X3 N (5,3

15、2) , Pj P 2 X j 2( j 1,2,3), 则( ) A) P1 P2 P3 B) P2 P1 P3 C) P3 P1 P2 D) P1 P3 P2 答案】(A) 解析】由 X1 N 0,1 ,X2 N 0,22 ,X3 N 5,32 知， p1P 2X12PX12 2 21 ， p2P 2X22PX22 2 11，故 p1p2 . 由根据 X3 N 5,32 及概率密度的对称性知， p1 p2 p3 ，故选( A) (8)设随机变量 X和 Y 相互独立，则 X和 Y的概率分布分别为， 则 PX Y 2 ( ) A) B) C) D) 1 12 1 8 1 6 1 2 答案】(C

16、) 解析】P X Y 2 P X 1,Y 1 P X 2,Y 0 P X 3,Y 1 ，又根据题意 X,Y 独立， 1 P X Y 2 P X 1 P Y 1 P X 2 P Y 0 P X 3 P Y 1，选(C) 6 、填空题： 9 14 小题，每小题 4 分，共 24分，请将答案写在答题纸指定位置上 . 9)设曲线 y f(x)和 y x2 x在点 (0,1)处有公共的切线，则 【答案】 2 2 【解析】 y x2 x在(1,0)处的导数是 y(1) 1，故 f (1) 1, f(1) 0， n f(1 n22) f(1) 2n lim nf( ) lim n 2 f (1) ( 2)

17、2 n n 2 n 2 n 2 n2 xz (10)设函数 z z(x,y)由方程 (z y)x xy 确定，则 (1,2) 答案】 2 2ln 2 解析】原式为 ex ln( z y) xy,左右两边求导得： xyln( z y) x zx y,令x 1,y 2 zy 得 z 0,zx 2(1 ln 2) 11)求 ln x 1 (1lnxx)2dx 答案】 ln 2 解析】 ln x ln x x 2 dx lim (1 x)2x +ln 1x ln 1 x 1 x xx +ln 1x ln 2 x1 12)微分方程 y y 1 y 0 通解为 y 4 答案】 1 x e2 C1x C2

18、解析】 特征方程为 2 1 0,1(二重根 ) ，所以通解为 y e2 C1x C2 42 13) 设 A (aij) 是三阶非零矩阵，|A |为 A 的行列式， Aij 为aij 的代数余子式，若 aijA ij 0(i,j 1,2,3),则 A 1 ln x x dx +ln 1 x x(1 x) 1 x 1 x ln x 2 dx ln xd( 1 ) ln x + (1 x)21 x 答案】 解析】 由 aij Aij 0可知， AA Aai1Ai1 ai2Ai2ai3Ai3a1jA1ja2jA2ja3j A3j 33 ai2jai2j0 j 1 i1 从而有 A AT A* A2,故

19、 A =-1. 14)设随机变量 X服从标准正态分布 X N(0,1) ,则 E(Xe2X)= 答案】 2e2 解析】由 X N 0,1 及随机变量函数的期望公式知 2X 2x 1 1 E Xe2Xxe2xe 2 dx 22 2X xe 12 x22 4dx 2e2. 三、解答题： 1523小题，共 94分.请将解答写在答题纸 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 . （ 15 ）（本题满分 10 分） 当 x 0时， 1 cosx cos2x cos3x与 axn为等价无穷小，求 n与 a的值。 解析】因为当 x 0时， 1 cosx cos2x cos3x与 axn为等

20、价无穷小 1 cosx cos2x cos3x 所以 lim 1 x0 又因为： n ax 1 cosx cos2x cos3x 1 cosx cosx cosx cos2x cosx cos2x cosx cos2x cos3x 1 cosx cosx(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x) 1 cosx cos2x cos3x 1 cosx cos x(1 cos2x) cosx cos 2 x(1 cos3 x) 即 lim nlim x 0axnx 0 n ax n ax 1 cosx cos x(1 cos2x) cosx cos2x(1 cos3x) lxim0(

21、n n n ) x 0 ax ax ax 12 lim( 2 x0 n ax 2 2 1 2 2 1 2 2 x2 o(x2) 1(2x)2 o(x2) 1(3x)2 o(x2) 2 2 ) nn ax ax n ax 14 且 1 4 2a 2a （ 16 ）（本题满分 10 分） 1 设 D 是由曲线 y x3 ， 所以 n 2 9 1 a 7 2a 直线 x a（a 0）及x轴所围成的平面图形， Vx ,V y分别是 D绕x轴， y轴旋转 周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx ，求 a 的值。 解析】由题意可得： Vx 0 (x3)2dx 3 a 05 a Vy 2 0 x x3dx

22、7 6 73 a3 7 因为： 75 Vy 10Vx 所以67 a3 10 53 a3 a 7 7 17）（本题满分 10 分） x2dxdy 。 D 设平面内区域 D由直线 x 3y,y 3x及 x y 8围成.计算 2 2 2 解析】x2dxdyx2dxdyx2dxdy 2 3x DD1D2 2 2 3x 6 2 8 x 0 x2dx x dy 2 x2dx x dy 0 3 2 3 416 3 18）（本题满分 10 分） 设生产某产品的固定成本为 6000 元，可变成本为 20 元/ 件， 价格函数为 P 60 Q ，（P 是单价，单 1000 该商品的边际利润。 当 P=50 时的边

23、际利润，并解释其经济意义。 使得利润最大的定价 P。 位：元， Q是销量，单位：件） ，已知产销平衡，求： （1） （2） （3） 解析】 I )设利润为 l，则 l PQ (20Q 6000) 40Q Q2 6000 1000 边际利润 l 40 Q 500 P 50 时，边际利润为 20， （ II ）当 经济意义为：当 P 50时，销量每增加一个，利润增加 （III） 令l 0,得Q 20000 ，此时 P 60 Q 40 1000 20 19）（本题满分 10 分） 设函数 f(x)在0, 上可导， f(0) 0且 lim f (x) 2， x 证明 1）存在 a 0，使得 f（a）

24、1 1 2）对（ 1）中的 a，存在（0, a）,使得 f （ ） 1. a 3 答案】（ I ）证明： lim f（x） 2, X,当x X时，有 f（x） ， f （x）在0, X 上连续，根据连续函数介值定理，存在a 0,X ，使得f （a） 1 II ） f（x）在0, a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理， f (a) f (0) f ( )a 1, (0,a) ， 1 故(0,a)，使得 f ( ) 1 a ( 20 )(本题满分 11 分) 1 a0 1 设A ,B，当a,b为何值时，存在矩阵 C使得 AC CA B ，并求所有矩阵 C。 1 01 b 【解析】 由题意可知矩阵

25、C 为 2 阶矩阵，故可设 x1 2 ，则由 AC CA B 可得线性方程组： x4 x2 ax3 0 ax1 x2 ax4 1 1 2 4（ 1） x1 x3 x4 1 x2 ax3 b 01 a 0 0 1 0 a 1 0 a 1 a1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 a 0 b 0 1 1 0 1 1 1 0 1 a 0 1a 0 0 0 0 1a 0 0 0 0 b1a 由于方程组 11 1 1 0 1 1 1 0 a 1 0 1 a 0 1a a 0 0 0 1 a 0 0 a 0 b 0 1 a 0 b 01 a 0 0 1 0 1 1 1 x1 k1 k2 1 a 1 0 a

26、 1 0 1 1 0 0 x2 k1 ，故有 2 1 ,其中 k1、k2任意 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 x3 k1 0 1 a 0 b 0 0 0 0 0 x4 k2 k1 k2 1 k1 从而有 C k1 k2 （21）（ 本题满分 11 分） 1）有解，故有 1 a 0,b 1 a 0 ，即 a 1,b 0,从而有 设二次型 a1 b1 22 f x1,x2,x3 2 a1x1 a2x2 a3x3b1x1 b2x2 b3x3 ，记 a2 , b2 a3 b3 I ）证明二次型 f 对应的矩阵为 2 T T ； II ）若 , 正交且均为单位向量，证明二次型 f 在正交变化下的标准形为二次型 2y12 y22 。 答案】 （1） 22 2 2 2 2 22 2 f (2a1b1 )x1(2a2b2 )x2(2a3b3)x3(4a1a22b1b2 )x1x2 (4a1a3 b1b3)x1x3 (4a2a3 2b2b3)x2x3 2a12 b12 2a1a2 b1b2 2a1a3 b1b3 2 a1 a1a2 a1a3 b12 b1b2 b1b3 则f 的矩阵为 2a1a2 b1b