中考经典题型-阿氏园问题

1、 阿氏圆问题 C 6 即齿所找的点P 3 B 8 关键旱构造这丫母子型相饥将-PC化为PJW 美丽的图形会谢话（朋友语）！先呈上解决此题欣极辭如图2-1 同学旳河对瞞此图 先自行参悟（然后再听我鱷进耒！ 不 II即为所求最小值.O任P （阿氏ET问題）问題2 :如图2 ,已知点B （8,0） F C （0 P 6）半径为3的c 0上有一动 点P .求PBH/2叩C的最小值 V 简析：此题依然是一个两定一动型”最值问题，且动点P被”绑在” 了半径为3的00上运 动，动点P的本馬轄征也就是OC的本质待征，即到原点C的距爲始馋为3 ,解暫的关紳肯宇也 要抓磁个本质粽正； 此题让人望而却步的，还是在不

2、为1这个系数上,即T/2如何处理1/2成为了解题的 难点； 回顾上直的胡不归模型,里面也有不为1的系数，我们私用构造三角函数的联想机 制,成功将系数转化为1 ；具间之所以能喲造三角两数，是因为动点从一个走点出发先沿 看一条走直线运动,构造的关键也是抓住这条走直线及其上的这 Y走原.即过走直线上的走 点向这条走直线的某一侧（视具体情况而走）作一个锐角,使其正弦值等于要处理的系数,从 而将諭页利转化为1 ； 那么本題可不可以同样处理呢？显然不行,动点P在一个圍上运动,该怎么构造三角函数啊！ 看来此路不通，那就再作其他联想U巴！ 想啊.想啊.，想到目标是要处埋1/2叩C,与庶B无关，那就先撩去PB，

3、减少越日中 的干扰线条，如图22所示，将目光就聚焦注一点，即PC上； v. 第一步（连接半径，突岀本质）:刚刚说过r动点P被“绑在了半径为3的0 0上r中点P的 本质特征是具到京点009瓯离始终为走请3 ,转化“1/2FC的矢健肯走也要抓汪这个本质特 征； 如2-2 .连. 现越目的特姝性,即OP=3旦OC=6 ,这是本迪的巧合“.般 此种题型都具备这样的特冻性,同宁们要多玄试、多联艰； 我们更处理的系数是“丄”.而此处恰有这荒道仅仅是一个巧合嘛？还是说 2OC 2 是必然呢| ? 第二步（鉄想比例.构适相似）“数学人最神奇之处.就在干耳丰富的联理”（本 人妄语）！联想到“竺 二丄”及更处巡的

4、“IpcJ可以巧妙地构造岀大家耳热能详的 OC 22 “母亍型相似”荃本图形，如图23所示.在OC上取一点=丄.即OM=1.5此 0P 2 时舄AOMPCOAOPC.且相似比为 1 则由V目似三毎形的对应边成比例” XD OP 2 从而有3/P=-PC成功格系数化为了】即将如C转化为了 MP,则 PC 222 PB*-PC=PB-MP： X 关縫是处理PC, 图23 弟三步（两点之间.线段最短）这样原E题成功被转化为系数均为1的带规最值问 题.即只PB-MP*最小值，如图24所示，这是 f 常规的“两定一动型”最值间暫 利 用“两点之何，线段最短”.连犊DI与O O的交点即为所要寻栈的点P.此

5、时所求最小 值尊于BM为与 至此此越得堂主类解决！掰T妨冉回头看看Tk始的“终极團形.即2-1 ,冉次深別 反思，障令祈谓阿氏區T的解題匍6 : 图2J 解険后反禺：上述是两和不同去帝数不为1的呈值问題頁需决芍熬阳共通之处都总想办法处 理不为啲磁将其化为1;但转化的力武略有不同：40不廿 冋塑是霜化龙直域丄国迄 熬件疋角，曲个0的止血1斡于越中雄之比【小逸曼:大此1 , 口JJrfi將瘵教都址理 为1 ；而阿氏圖”是抓住动魚p的本质即到国心o的距裔尢半径,连接圆心。与冃馬巴販 圍呛0与M不為1相黄前瓯，走点C再僭貼I理目中践縮闊吗合性” r即別刚幫个逹趣 旳氏度N比恰尢賈辿理的乔数.恂适一迥母

6、子型”岡咲,咸功胃葢数化为L !凡事郃有净 同屁学们嬰去柜互粪比联炬汕较才能逛I应田色妇之功力！ 阿氏圆基本解法：构造相似 阿氏圆一般解题步骤： 第一步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与 圆心相连接），则连接OP、0D; 第二步：计算出所连接的这两条线段 OP、0D长度； 第三步：计算这两条线段长度的比； 第四步：在 0D上取点M，使得0E:0P=0P:0D 第五步：连接CM,与圆0交点即为点P.此时CM有最小值。 解法对比变式拓展反思提升 以阿波罗尼斯圆为背景的一类中考最值问题探究 朱宸林杨蜂 （无锯审佥星中学.江苏无錫214000；无镐市东林申甞.江芥无锡214000）

7、 扌商 要:以阿波罗尼斯圆为背景的几何问題近年来在中考故学中经常岀现刈于此类问题的 归纳和剖析显得非常車冬教师在教字中应多以目題为例从解決对比中寻求解决此类问題対逋 性通法并对其逬行改进与延伸通过不同用度和深度的挖掘男力呈现此类问题的全規和解决 方法井给出对于圆旳敎学的反思和改逬建议. 关犍词鰹法对比岌式拓展最值问題 一、问题与直履 众所周知，平面内至J两个疋点距海之比寻 于定值AUX）且人工）的动点的轨迹是圆 此 圆又被称为阿波罗尼肝圆近竺年，以阿氏圆 为背景的解桁几何问荻在高考中频翠出现近 期笔者岌现数学中考中也岀现了阿波罗尼斯 圆的影子本文主要从阿氏圆几何性质的视角 对这类中考问题进行解

8、析通过不間视角进行 对比审视，总结规律并进行变式的斫究和推 广以期解决中考中的此类问题 例题（2015年无锡市中宥一陨试题）如 图 1 JI UihAHC 中上AC4 90 jCfi=4 r.l=5 QG 半径为 2尸为凰上一动点,连结4P , RPtAP+l-fiP的屐小值为 图丨 【篦规思路分析每当遇到最小值问題過 竜将问題通过转化与“两点之间线段最短” 相联系.在此类问題中胡现最多的应该是将 军饮马”类问題但将军饮骂类问題动点P 是巨疑上的动点页此题稍加改动成为圆上的 动点.此时若次常現的轴对称旳方式解决经 过试验，发现圧这个问题中无法逬行下去S 此必须转化思路 继续观察预目曲于点卩是圆

9、上的一个动 点于是很自然地就会想到连结CP，得CX2 , 又因为朋4可以得到筹弓这与问題中 的小占M中的系放扌足一样的.直觉告诉 我们或许是解决这个问题的突破口再联 想到题中需要求解的问题是亠；的最小 偵，很自然地处会想到是否可以用一条线段来 代换于BP堆而解决这个问题. 这里为了解决问題的棗要提出一个数 学基本图形：如图2，在ZIP从;中点是BC 边上一点如異PCDsABCP,那么就能得 出帶二符二需这个基本图形是初中学生 在学习相似三角形时接触到的一个相似的基 本图形 逍常称为“子母5T.如果能在这个问 1 ffi5 闍6 於很題要，但经驶対积累同样必不可少，在这 两点的基砒二科加上牛鞍所

10、说rr不停地思 枚中輕0子母型这个敎学模型这个间顿臥 能够顺利得以解决如图3在CH上驭点D浚 CM f所以豁卸*，只因为血” 乙所以ra)氐bcp从而得吕保= / 足样就合有卡处用m代换了寺几 就把小于处转化为“讥观察图4发现. 点4 足定点点P足圆上的一个动点馬以， 当 ? 三点在同一直坟上时,ED有最 小 20simi , 卩（* 2cceu ） 143”“=20 16ca&j ,.1 少 -1-P= 29-2Dqhv 4 vS-4cn&r . Wlh；i7 到ixsi,田于式子中出yt 了为个戏诗向且辿有対 个变屋過到了庖颈加肯 很自然就会屯虑平方宾 试之后也不行.只能考总 几何老义但尝

11、试之后也无法进行*去 此时只能药拱思路，从尹-入手m河 波罗尼斯圆定理如图6，可设o D)，且満 足 P 在上 x):-4 .臬-2. i殳 P (a tO ,S FH2PD 知 PH2 4)苓丫BD3vU *&16=0 又因为 Kx Q为叶=4 上任一点JK立方程组離得加测仍尹P HPD所以，当P为线段与OC约交点 时八灿有is小值 1/l=V26* . 用不冋的方法解左 这一辽锁之后.不妨静 下来汇苏省 故学特级教师于斯华省 说过学习数学倉力固 b.灯必将有所成.而这里所说的经验就是 阿濃罗尼新IT的背歿毘里的思专就是与网 波罗尼斯圆背景建立关联.抉一种说法畝是， 禺二种解法貝冥已经足阿液

12、罗尼斯圆的变式 问毬了招当于已知圆与一个定点怎作另一 个动点这一虑 间使E飲字竞奏中，也是比较 难的一部分了相ttZT还足蚯子用型啜型 更龄際决这个间IB 二想法与改进 蓉立子母型模型必须发现异P这个 切入点井且翌対子母型这个墓本图影非期 熟练刀能芫或詠棺和解棕的过得如吴 在初中玫学百摟对这个问题逬行考孩 是时学生客求过高了但不幼对这个问毁的难 度进行分解将这个问题分为至少三个胡分： (1)冋題提出(2)去试能决左这郁分给出解 题的記昭，但留下最后几步，让学生完成X3) 自主探索.左闻後和思考前直解沐Z)基砒上, 给出一个同类型的问題这样干仅能让学生欣 営地发现一种动点在曲线二时的求量值的方

13、法乜能很好堆体规字生现炀阅读旳能力. 如图7 A Ji是走点定0上一动点 求川叫处（U芳J）的聂小（2其中A罟 #，易证.Pre 得吩寻AF,即有（|片严丹0* （兀诃）4仔含畜 吸式2：如图9JE万形M：I）的辺饮为 2T内切临。上有一动点几连錯门巴 则，円孚河）的虽小値为 潘題思路:在IH）上取点E .渥结Pt: ffi 鲁喘= 从而得0易证 HODP，得用上21/7儿即有 乂互“）衣O丹丹百 聂式3 ：如图10 在平面直角坐标系中. 5/（6 3）八（10 0）*（5 D）点为以 OA 为半 径的圆。上一动点八”旳最小值为 樓题思路连结M在0上取点 便 篇二黑詩从血得处吟 易证,）2 ，

14、）NP .得P=PV .即有（E“寺爪）鬲= 吏式4如图11菱形AHCI）的边长为2 . 锐角大小为aifih弓月C相切于点F在區 4上任取一点P束旳+乎“的軌備 解題思路:易得 A02.闻的半径养于 VT. APAC 在 4C 上収点几便帝=豊-= ra it 岁1,得小L，”s A IPC ,得/仁 .（PR+PC）*（PR7F）后R* 存 捋升对ifp（x=2L I 为皆層的亜式问逆？从亂宜的崽考中启然可 以想剥这个式问域斥存在旳 图12 ZU M星綁t直角三角形, /r=90o边相切尸是BE r上一动 点若fl c旳半径为2 JUJ z)/rp 的最小 2 提取 个系效/E从而可以健到

15、/m+vTm- VT(卫吾卩”皿)，从而就将这个问題转 化为烈訂匸川时竹旳聂小值从而这个问题 就线化为前面運立子母型弔似这个数学模 型. 变式6:如图13.己知扁形COD中 ACOD-90P C=6 /Zl=3 /=5 点是5 Cl) 上一百求2/M的彊小值. 斡題思路如臬共取仁, 前面的方案 2 W、PB) t 逞结 OP A| 后找们友现影* UKf) Ofi 5阳 13 卜此时絆二半竝于拦，仍更从，子田型八 Lv/15 这个S4E形入手述行建模即E-K Ml到 点E 使CE=6连结PE別有361Z AOPF. 得PE-2AP 可得2/M *PDPfPA序以目 P ”三点在一玄线上时取最小

16、值为13 四、反思与!奁 新课程标准对初中阶段旳2!章的内容 进行了丘新修订刘知识点进行了删祕对于 数学枚育工作者而我们应该州证览来暑待 这一咬娈 対知识内容的刪减并不亘味着对足 维能力娶求的卞啤.SSffiS的一点星从孜学 文化观角血言 屈的内容是丰耳多彩的作为 一个切人的肖集阳法罗尼WtS)丰査的几何性 质给了找们多变的命題视角而在初中阶段敎 师不一走妥让学生了解到隔氏圆的相关性质， &孑考 201&7 8 但却可以作为一种数学文化膜陶的有效途徉 让学生走进丰富多影旳圆的世养之Q /、断感 受几何学习戏限*衍史和无穷炉力.近年来. 吉地的敗学半考证題仕设何二已经矣很了固 定的巳知一我解西封

17、用模式而研究友展域 效的说冋方向半畐试題的说问形式成了命迥 的一个热点视角于是対经奂问題的不断挖 据和改支成为教学的新旳方向迄就要求学生 在解答上突破停留在朗确的、直侵的结论层 面 堆加了问題的幵放性和孩化性这样的设 计 離比较客观、全面地测学生观察、实验、 猜想、归纳、艾比等黒维活动的水平，寸于激发 学生探索精神、求昇创新思维爹有着积极的息 义用M 5?讨妆师也按岀了更高的要求间关 注几何性质教学的同吋込靈龔不新按寻几何 问敦的內注三外壯，力求埠腋问穎的采龙去 脉可见对于毎一位故学枚K工作耆，平时在 按融了穴鬣的数学範Z后 不仅竝该対題型进 行野珪更編妾对鬼型进行追根稠源的研冤 知道这个題m的产生、逗计釣肖景了館出题 者的考直色金去发现当去除掉题目的背景干 扰后隐鬲旳解决问題的矽学棣型从而有針对 性地使用同时栽学加强基本图形约学习， 做好连模广解模-釣堀弄対学生数学思址 的培养也是大有帮旳的只有这样乃能使 更*的充港数宁味道釣餌活问题为提升宁生 的数学累养服势.a 阿氏圆定国(全称:呵波罗尼斯圆左理)具体的描述： 一动点P到两定点A、B広涯离之比等于走比m ： n .