优品课件之角的平分线的性质

1、优品课件 角的平分线的性质 12.3角的平分线的性质 1.角的平分线的性质（1）内容 角的平分线上的点到角的两边的距离 相等.（2）书写格式 如图所示，点P在/ AOB勺角平分线上， PDL OA PEL OB 二P PE.谈重点角平分线的性质的理解和应用 （1）使用角的平分线的性质有两个条件：点在角的平分线上；过 这一点作角的两边的 垂线段.结论是：这点到角的两边的距离相等， 即两条垂线段相等.（2）角的平分线的性质是证明两线段相等的方法 之一，而且不用再证明两个三角形全等.（3）如果已知一个点在角的 平分线上，常作出该点到角两边的垂线段，运用性质得到两线段相 等.【例1】 如图，在 ABC

2、中，/ C= 90,/ ABC的平分线BD 交AC于点D.若CD= 2 cm则点D到直线AB的距离是cm. 解析：因为点D在/ ABC的角平分线上，所以点D到直线AB的距离 等于点D到直线BC的距离，即点D到直线AB的距离等于CD的长.答 案: 2 2.角的平分线的判定（1）内容 角的内部到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上.（2）书写格式 如图所示，v PDLOAPE!OB PD= PE 二点P在/ AOB勺角平分线上.（3）作用 运用角的平分线 的判定，可以证明两个角相等和一条射线是角的平分线.警误区 角 的平分线的性质和判定适用的条件在运用角的平分线的性质和判 定时，往往错误地将一线

3、段当作“距离”，主要原因是不能正确理解 角平分线的性质和判定，因此在运用角的平分线的性质和判定时， 一 定要注意“距离”必须有垂直的条件.【例2如图所示，BE= CF, BFL AC于点F,CEL AB于点E, BF和CE交于点D,求证：AD平分/ BAC. 证明：v BFL AC AB1 CEDEB=Z DFC= 90 .在厶 BDE 和厶 CDF 中， v/ DEB=Z DFC / BDE=Z CDF BE= CF, BDEA CDF（AAS） /. DE= DF.又 v BFL AC AB!CE 二 AD平 分/ BAC角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线 上）.3 .运用角的平

4、分线的性质解决 实际问题 运用角的平分线的 性质的前提条件是已知角的平分线以及角平分线上的点到角两边的 距离.在运用角的平分线的性质解决实际问题时，题目中常常出现 求到某个角的两边距离相等的点的位置，只要作出角的平分线即 可.运用角平分线的性质解决实际问题时，一定要把实际问题中道 路、河流等抽象成数学图形直线，并且要求的点是到两线的距离相等， 常常确定两线夹角 的平分线上的点，这个过程就是建立数学模型的 过程，这是在解决实际问题中常用的方法.4 .运用角的平分线的判 定解决实际问题在实际问题中，如果出现了某个地点到某些线的距 离相等，常先把实际问题转化为 数学问题，即建立数学模型（角的平 分线

5、）.然后根据已知某点到角两边的距离相等，则常常联想到用角 的平分线的判定得到角的平分线来解决问题.解技巧 巧用角的平分 线的性质和判定解决问题能根据已知条件联想到角的平分线的性 质或判定是解决问题的关键.找到解决问题的切入点就是已知条件中 有点到直线的距离相等或要找到到两条直线的距离相等的点.5 .综 合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题角的平分线的性质和 判定的关系如下： 对于角的平分线的性质和判定，一方面要正确理 解和明确其条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的互 换，在应用时不要混淆，性质是证两条线段相等的依据，判定是证明 两角相等的依据.析规律 构造角的平分线的模型证明线

6、段相等当 有角平分线 时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线，根据角平 分线的性质得线段相等.同样，欲证明某射线为角平分线时，只需过 其上一点向角的两边作垂线，再证线段相等即可.【例3】 如图， 某考古队为进行研究，寻找一座古城遗址.根据资料记载，该城在森 林附近，到两条河岸的距离相等，到古塔的距离是 3 000 m .根据这 些资料，考古队很快找到了这座古城的遗址. 你能运用学过的知识在 图中合理地标出古城遗址的位置吗？请你试一试.（比例尺为1 ： 100 000）解：如图. 作法：（1）以点C为圆 心，以任意长为半径画弧， 交两河岸于A, B两点，分别以A, B为圆心，以大于12AB长为半

7、径 画弧，两弧交于点Q过C, O作射线CO. （2 ）按比例尺计算得古塔 与P的图上距离为3 cm以古塔为圆心，以3 cm长为半径画弧交CQ 于点P,则点P即为所求.【例4】如图所示，有一名民警在值班， 他位于到平行的大街两侧以及过街天桥 AB的距离相等的点P处.此 时，这位民警发现有一可疑分子从天桥 A处走向B处，请问民警在注 视可疑分子从A处走到B处时，他的视线转过了多大角度？解：连 接PAPB. 点P到BEAF,AB的距离相等， PAPB分别是/ FAB / EBA的角平分线,即/PBA= 12/ EBA / PAB= 12/ FAB. v BE/ AF, / EBAZ FAB= 180

8、 .PBAZ PAB= 12（ / EBAZ FAB）= 90 .APB= 180 （ Z PBAZ PAB）= 180 90= 90,即卩 民警的视线转过的角度为90.【例5】如图，AP, CP分别是 ABC 的外角Z MAC与Z NCA的平分线，它 们相交于点P, PDL BM于点D, PF丄BN于点F,求证：BP为Z MBN勺平分线. 分析：要证BP为Z MBN 的平分线，只需证PD= PF,而AP, CP为外角平分线，故可过点P作 PEI AC于点E,根据角平分线的性质有 PD= PE PF= PE所以PF= PD.因此BP为Z MBN勺平分线.证明：过点P作PEI AC于点E. v

9、AP, CP分别是Z MAC与Z NCA的平分线，PDL BM于点D, PF丄BN于点F , PD- PE PF= PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）. PD- PF. 又v PDL BM于点D, PFL BN于点F , 点P在Z MBN的平分线上（角 的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）. BP为 ZMBN勺平分线.6 .运用角的平分线的性质和判定解决探究型问题 在实际问题中，确定 位置（如建货物中转站、建集市、建水库等）的 问题，常常用到角的平分线的性质来解决. 尤其是涉及作图探究的题 目，性质“角的内部到 角两边的距离相等的点在这个角的平分线上” 的应用是寻找角的平分

10、线的一种比较简单的方法.三角形有三条角 平分线交于三角形内部一点，并且交点到该三角形三边的距离都相等， 其实只要作出其中两条角平分线的交点，第三条角平分线一定过此 交点.三角形两个外角的平分线也交于一点，这点到该三角形三边 所在的直线距离相等.三角形外角平分线共有三条，所以到三角形 三边所在直线距离相等的点共有 4个.【例6】如下图所示，三条 公路11 , 12 ,13两两相交于A, B, C三点，现计划修建一个商品超 市，要求这个超市到三条公路的距离相等， 可供选择的地方有多少处？ 你能在图中找出来吗？解：三角形的三条角平分线的交点到该三角 形三条边的距离相等；Z ACB Z ABC的外角平分线交于一点，利用 角的平分线的性质和判定定理，可以得到此点也在Z CAB的平分线上， 且到公路11 , 12 , l3的距离相等；同理还有Z BAC Z BCA的外角平 分线的交点；Z BAC Z CBA的外角平分线的交点，因此满足条件的 点共有4个.作法：(1)如右图