两角和与差的公式学习资料

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos( a3 = cos acos 3+ sin sin 3 (C(厂 cos( a+3 = cos_ acos_ 3 sin_ ocsin3 (C(a+3) sin( a 3= sin_ ocos_ 3 cos_asin_ 3 (S(a-3) sin( a+ 3= sin_ ocos_ 3+ cos_asin_ 3 (S(a+3) tan a tan 3 十 tan(a 3 =:； (T( a3) 1 + tan atan 3 tan a+ tan 3 ,十 tan(a+ 3 = 1 tan atan 3a+3

2、) 2二倍角公式 sin 2 a= 2sin_ 久cos_ a; 2 222 cos 2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin2a; - 2ta n a tan 2 a=厂. 1 tan a 3 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形 用等如引可变形为 tan aan 3= tan( a(1 ?tan_ aan_, tan a+ tan 3 tan a tan 3 tan aan 3= 1 = “ tan a+ 3 tan a 3 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”) (1) 存在实数 a,

3、 3,使等式 sin( a+ 3)= sin a+ sin 3成立.( V ) 在锐角厶ABC中，sin As in B和cos Acos B大小不确定.(x ) (3)公式 tan(a+ 3)= tan a+ tan 3可以变形为 tan a+ tan 3= tan( a+ 3)(1 tan aan 3),且对任意 1 tan aan 3 角a, 3都成立.(X ) 存在实数 a,使tan 2 a= 2tan a( V ) 设 sin 2 a= sin a, a (j, n ,则 tan 2 a= .3.( V ) 只供学习与交流 33 B.4 C.4 答案 解析 sin a+ 2cos 1

4、0 a=, /si n2 25 4sin acos a+ 4cos a= ? 化简得：4sin 2 a= 3cos 2 a, tan 2a=平-3故选 C. cos 2 a 4 2 .若 sn sin a+ cos a 1. =2则tan 2 a等于( a COS a 44 -D - 3 D3 答案 解析 sin a+ cos a 1 由=1等式左边分子、 Sin a cos a 2 分母同除 tan a+ 11 cos a得，=：,解得 tan a= 3, tan a 12 3 4. 贝H tan 2 a= 2tan a 1 tan2 a 3. (2013课标全国n )设B为第二象限角, 若

5、 tan n 1 r 9+ 4 = 2 贝U sin 0+ cos 0= 答案 .10 5 解析 丄n tan 0+ 4 2, /tan 0= 3, 3sin 0= cos 即 sin2 0+ cos2 0= 1, 0， 且0为第二象限角, 解得 sin 0=0, cos 0= !0. sin 0+ cos 0一半 5 4. (2014 课标全国 n )函数 f(x)= sin(x+ 2妨一2sin (jcos(x+册的最大值为 答案 1 解析Tf(x) = sin(x+ 2 妨一2sin(j)cos(x+ =sin(x + 册 + 册2sin (jcos(x + 妨 =sin(x+ cos

6、0+ cos(x+ sin 2sin gos(x+ =sin(x+ cos cos(x+ sin =sin (x + = sin x, f(x)的最大值为1. 题型分类深度剖析 题型一三角函数公式的基本应用 tan（a+ B）的值为（） 例1（1）设tan a, tan B是方程x2 3x + 2= 0的两根, A 3B 1 C. 1D . 3 n nn1 右 0 a2， 2 B0 , COS(4 + a= 3 , cos（才=子，则 cos（ a+ f）等于（） A. C. 5 *3 答案(1)A(2)C 解析（1）由根与系数的关系可知 tan a+ tan B= 3, tan dan f=

7、 2. tan a+ tan B 3 tan( a+ B)= 3. 1 tan atan B 1 2 故选A. (2) cos( a+ 2) nn B =cos(4+ M (4 2) =cos(4 + acos(4 2)+ si n(4+ a)si n(4 2). n T0 a2, M , n n 3 n 贝y ； + a , 4 44 n2l2 sin(4+ a)= 3 . 口n 又一2 30 , 所以原式= 2卫a a a a 2cos 2+ 2sincos - cos sin 2a a 2cos? =(cos+ sin) (cos；-sin=cos1 2sin2= cos a (2)因为

8、三个内角 2 % A+ C n A + C A, B, C 成等差数列，且 A+ B+ C = n 所以 A+ C = 丁、一 = 3, tan - 所以 tan A+ tan 2 + 3ta n Atan C ,cos 3= 例3(1)已知a,3均为锐角，且sin 3 1 a= 5, tan(a 3= 3-则 sin( a 3 = （2）（2013课标全国n ）已知 2n sin 2 a= 3，贝V cos2 a+ 4 等于() A.1 6 m 1 J 2 B.3 C.2 d3 答案 -f0 50 10 (2)A 解析 n (1)a 3 (0,夕), n n 从而一2 a 32. 1 又 t

9、an( a 3) = 30, n a 30. Sin( a 3)=老，cos(a 3 = . 3 4 a为锐角，sin a=T,/cos a=. 55 /cos 3= cos a ( a =cos a;os(a + sin 久sin (a =4x 更 + 3X (血)=更 5 10 T 510 丿 50 - n 1 + cos2 a+ 7 2 n4 因为 cos2 a+ 4 =2 n 1 + cos 2 a+ 21 sin 2 a 2 = 2 ， 2 n 1 sin 2 a 131 所以 cos2 a+ =1，选 A. 4 226 思维升华1解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角

10、”表示.（1）当“已 知角”有两个时，“所求角” 一般表示为两个 “已知角”的和或差的形式； 当“已知角” “所 有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 求角”变成“已知角”. a+ 3 a 3a+ 3 a 3 2 .常见的配角技巧：2 a= ( a+ 3)+ ( a 3), a= ( a+ 3) 3, 3= 2 2 ， a= 2 + 2 ， = (a+ (扌+ 3 等. (X、 3等于() 跟踪训练3(1)设a、3都是锐角，且cos a=5, sin( a+ 3 = 3则cos 55 a.22F -n 已知 cos( a 6)+ sin 况= 5 .

11、3,贝y sin( a+ 7p 的值是 4 答案A (2)-4 解析依题意得sin a= 1 cos2 a= 5, cos( a+ 3 = 1 sin2 a+ 3 = 5. 又 a, 3 均为锐角，所以 0 acos( a+ 3) 因为冷-5, 4 所以 cos( a+ =：. 5 是 cos 3= cos( a+ 3) a =cos( a+ cos a+ sin( a+ sin a 答色3X沁=沁 5 5 十 55 = 25 . (2) /cos( a 6)+ sin a= 5.3, /223cos a+ 2sin a= 3 , .3(cos a+ s in a)= 5* 3, ,3sin(

12、f+ a = 4 3, n 4 .si n(6+ a=5, .sin( a+ n4 =sin(6+ a = 5. 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 高频小考点 高考中的三角函数求值、化简问题 2e 2cos； sin e- 1 典例： 若 tan 2e= 2 2, n e2n,则 2sin n e+4 n (2)(2014 课标全国 I )设 a (0, ), tan a=则() cos B 2 a n C . 3 a+ 3= 2 2 a+ =-.2， 只供学习与交流 （2012大纲全国）已知a为第二象限角, 3 sin a+ cos a=亏，则 COS 2 a 等于() /n e

13、2 n e n .an 1 fl 並 r 並厂业 亚 A. 3B. 9 C6 D.亍 cos 17 (4)(2012 重庆严 47 ? cos 30 等于( A. -2 B. C.1 D.- 思维点拨（1）注意和差公式的逆用及变形. （2） “切化弦”利用和差公式、诱导公式找 a与 sin acos a的联系. 可以利用sin解得 tan e= 或 tan e= . 2. a+ cos2 a= 1寻求sin acos 利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化. cos e sin e 1 tan e 解析 (1)原式=, sin e+ cos e 1 + tan e 又 tan 2 e= 2

14、2，即 2tan2 e tan 2 = 0, 1 tan2 e 故原式= 丄 = 3 + 2 2. 1 2 此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 1 + sin 匚 sin a 1 + sin B (2)由 tan a= -cosy 得 cos-;= COST， 即 sin acos B= cos a+ cos asin T . n sin( a T= cos a= sin(2一 ； nn a (0 , 2),氏(0 , 2), n n nn a氏(2，2)，2 a(0，2)， nn 由 sin( a T = sin(? a)，得 a B= 2 a, 小n 2 a B=

15、 2* 方法 2 1 -sin a+ cos a= 3 , (sin a+ cos a) = 3, 2 2sin acos a= 3，即 sin 2 a= 2 3. 又Ta为第二象限角且sin a+ cos n3 2k n+ 2 a2kn+ 4 7k Z), 3 4k n+ n a0, cos a0, sin cc- COS a= Sin a cos a 2 1 2sin acos a= .15 3 sin a+ COS a= 心+再 sin a= 6 ， sin cc- COS a= 15 0, cos a sin a= 0,ta n a= 1. ,；3ta n 12 3 8. 4cos21

16、2。一 2 sin 12 答案 4,3 解析原式= 3 cos 12 2 2cos212。 1 sin 12 2 .3 如n 12 23cos 12 o cos 12 2cos 24 sin 12 2 , 3sin 48 2cos 24 sin 12 c6s 12 =sin 24 cbs 24 2.： 3sin 48 =43. sin 48 9 .已知 1 + sin a 1 sin a 1sina = 2tan a,试确定使等式成立的 1 + sin a a的取值集合. |1 + sin a |1 sin a| icos a icos a 1 + sin a 1 + sin a |cos a

17、 2sin a |cos a， 2sin a2sin a 所以一一2tan a. |COs aCOs a 所以 sin a 0 或|cos a= cos a0. n3 n 故 a 的取值集合为 a a k n或 2 k n+ ? a2k tH- n 或 2k n+ na2k n+ 三,k Z. ,.n口 . a ,a v6 10.已知 a ， n,且 sin + cos 亍. (1)求cos a的值； 3n、 右 sin( a 5, 3 2， n，求 cos 3 的值. 解因为sin a cos a=中， 两边同时平方，得sin a 2. n 又2 a n,所以 cos a nn 因为 2 a

18、n, 2 3n, nnn 所以一n仟，故一2 a 3. 又 sin( a 3- 5，得 cos( a 4 cos 3 cos a ( a cos acos( a + sin 久sin (a 3) / X 4+b 25H 2 4 .3+ 3 10 B组专项能力提升 （时间：25分钟） ,.n1口n 11.已知 tan(a+ 4) 2,且2 a0， 2 2sin a+ sin 2 a 则寺于( n cos a / 4 鉱 3伍 裁 10 C.10 D. 5 答案 A ,n tan a+11 解析由 tan( a+ 4)=话；=1 得 tan a=- 1 3. n 又一2 a0,所以 血 sin a

19、= 10 . 2sin2a+sin 2 a 故 n cos a T 4 2sin a sin a+ COS a 2= 2 2血 sin a+ cos a 12 .若 a 0, 1 且 sin2a+ cos 2a=-，贝y tan 4 的值等于（） 答案 解析 I a C. ,2 D. 一3 0, 口21 且 sin a+ cos 2a= 4, 2 /sin 2 a+ COS2 .2 a sin2 1 a= 4, /cos2 a= 1, 4 -COS 1 1 a= 或一只舍去）, n厂 / a= 3，-ta n a= , 3. 1 13.若 tan 0= 2， 0 (， nn 4)，贝y sin

20、(2 0+ 4)= 答案 7 ,2 10 解析 因为 0cos 0 2ta n 04 5, sin 2 0=輕 sin2 0+ cos2 0 tan2 0+1 又由 7t n/口n 4),得 2 0 (0, ), 所以 cos 2 0=1 sin22 0=；, 所以 n sin(2 0+ 4) =sin 2 9cos；+ cos 2 0sin：= 5x R. 7 n3 n 14.已知函数 f(x) = sin x+ + cos x 4 , x (1)求f(x)的最小正周期和最小值； 44n 已知 cos(3- a=5， cos(B+a= 5， 芦2，求证：f(2= . 7 nn n (1)解 -f(x)= sin x + 2 n + cos x 4 2 =sin x n + sin x n = 2sin x n , 444 T= 2 n f(x)的最小值为一2. (2)证明 由已知得 cos 3os a+ sin 滋in 4 a= 5， cos 伍os a sin 3sin a= 5 两式相加得2cos 3cos a= 0, nn Ov a 3W 2， 3= 2， 22 n 3) 2 2=