系统频率特性

1、V( ) A( )sin ()第三章 系统频率特性系统的时域分析 是分析系统的 直接方法 ，比较直观，但离开 计算机仿真， 分析高阶系统是困难的。 系统频域分析 是工程广为 应用的系统分析和综合的 间接方法 。频率分析不仅可以了解系统 频率特性，如截止频率、谐振频率等，而且可以间接了解系统时 域特性，如快速性，稳定性等，为分析和设计系统提供更简便更 可靠的方法。本章首先阐明频率响应的特点，给出计算频率响应的方法， 接着介绍 Nyquist 图和 Bode 图的绘制方法、系统的稳定裕度及 系统时域性能指标计算。3.1 频率响应和频率特性3.1.1 一般概念频率响应 是指系统对正弦输入的稳态响应。

2、考虑传递函数为G(s)的线性系统，若输入正弦信号xi (t) Xi sin t (3.1-1)根据微分方程解的理论， 系统的稳态输出仍然为与输入信号 同频率的正弦信号， 只是其幅值和相位发生了变化 。输出幅值正 比于输入的幅值 Xi ，而且是输入正弦频率的函数。输出的相位与 X i 无关，只与输入信号产生一个相位差，且也是输入信号频率 的函数。即 线性系统的稳态输出 为由此可知，输出信号与输入信号的幅值比是的函数，称为系统的幅频特性，记为A()。输出信号与输入信号相位差也是的函数，称为系统的相频特性，记为幅频特性:A()Xo()Xi()(3.1-3)相频特性:()o( ) i( )(3.1-4

3、)频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比 对频率的关系特性，可表示为：G(j )册 S-5)频率特性G(j )是传递函数G(s)的一种特殊形式。任何线性连 续时间系统的频率特性都可由系统传递函数中的S以j代替而求得。G(j )有三种表示方法：G(j ) A( )ej ( )(3.1 -6)G(j ) U( ) jV( ) (3.1-7)G(j ) A( )cos( ) jA( )sin ( ) (3.1-8)式中，实频特性：U( ) A( )cos ()虚频特性:A( ) U2( ) V2()()arctanV()U()一般在分析系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，频域分析比

4、时域分析要容易些。根据频率特性，可以较方便地 判别系统的稳定性和稳定裕度，并可通过频率特性 选择系统参数或对 系统进行校正，使系统性能达到预期的性能指标。同时，由频率 特性易于选择系统工作频率范围，或根据工作频率要求，设计具 有合适的频率特性的系统。频率特性物理意义明确并且可以用实验的方法测定出来。控制系统的频率特性与其动态特性和静态性能之间存在着定性和 定量的关系，因此，可以利用图表、曲线和经验公式作为辅助工 具来分析和设计系统。3.1.2频率响应的计算、连续时间系统频率响应 的计算boao(3.1-9)G(s)鵲恥；bm1叮u (S) anSan is则系统的频率响应可以由:boG(j )

5、 bm(j)； bm1(j-(3.1-10)an (j )an 1(J )a0直接求出。又设已知系统的状态方程模型为:X AX BUY CX DU(3.1 -11)则系统的频率响应可以由下式直接求出：G(j ) C(j I A) 1B D (3.1-12)二、离散时间系统频率响应的计算若离散系统的状态空间模型为(F,GC,D)，则此系统的频率响应为：G(j T) C(e j TI F) 1G D (3.1-13)如离散系统以传递函数模型表示，将 z ej T代入，则系统的 频率响应为：j T mj T m 1j T(3.2-14)，而系统的频G( j t) d(e )b2(e)bmebm 1G

6、(e )i T ni T n 1a1(ej )b2(ej )bnejbn 1式中，T为采样周期。应注意，离散时间系统的采样频率率范围应在。扌之间三、频率响应计算函数MATLAB控制工具箱中，函数 FREQRESP用于计算LTI系 统的频率响应，它既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统；既适用于SISO系统，也适用于 MIMO系统。函数调用格式 为：H freqresp (sys,)其中，sys为系统模型；为指定的实频率向量，单位为rad/s;返回值H是系统的频率响应。它是一个三维数组。例如，SISO系统，H(1,1,5)表示频率点(5)所对应响应值；对于 MIMO系统，H(1,2,5)表示

7、第1个输出和第2个输入之间在 频率点的 响应值。频率响应H为复变量。为了说明函数FREQRESP所采用的计算方法，下面程序用两 种方法计算一个离散的频率响应：1采用变换z ej T ； 2.直接用函数 FREQRESPo例3-1已知离散系统传递函数为：G(z) 0.047眈0.0464，采 z21.81z0.9048样周期Ts 0.1s，试计算它的频率响应并绘制其幅频图和相频图,amp301m(qs昙三 pghl图3-1系统的频率响应3.2频率特性图示法在经典控制论中，常用图示法来描述系统的频率特性，它们是：(1)幅相频特性 一Nyquist图， 由0表示极坐标上的G(j )的幅值和相角关系。

8、(2) 对数幅相特性一Bode图，它由两个图组成：对数幅频特性图和对数相频特性图。纵坐标分别是：幅值L( ) 20lgA()，以dB表示；相角()，以度表示。横坐标为频率，采用对数分度。(3) 对数幅相特性一Nichols图，它是以 为参变量来表示 对数幅值和相角关系图。MATLAB控制工具箱中，有专用的函数可方便地实现这三个 图形的绘制。3.2.1 Nyfquist 图的绘制频率特性G(j )是频率 的复变函数，可以在复平面上用一个 矢量来表示。该矢量的幅值 A( ) G(j )，相角()G(j )。当 频率 从0变化时，G(j )矢端的轨迹即为频率特性。因此，把频率特性在复平面上用极坐标表

9、示的几何图形，称 为频率特性的极坐标图，或称为 Nyquist图。Nyquist图不便于分析频率特性中某个环节对频率特性的影 响。MATLAB控制工具箱中有绘制 Nyquist图的函数NY QUIST，调用格式为：nyq uist(sys)nyq uist(sys,)nyquist(sys1, sys2, , sysN)nyquist(sys1, sys2, , sysN,)Re, Im, ) nyquist(sys)其中，sys为系统模型；频率向量；Re为频率响应实部；Im频率响应虚部MATLAB中，频率范围 可由两个函数给定：logspace( 1, 2,N) 产生频率在1和2之间N个对数

10、分布频率点；Iinspace( 1, 2,N)产 生频率在i和2之间N个线性分布的频率点；N可以缺省。函数NY QUIST用于计算LTI系统的Nyquist频率响应。调用 时，若不包含左边输出变量，函数NY QUIST绘制系统的Nyquist 图；调用时，若包含左边输出变量，贝V不绘图，只输出变量的向 量，这常用于分析系统频率特性。同时，MATLAB 控制工具箱中还有绘制Nichols图的函数NICHOLS，其调用格式为：nichols (sys)nichols (sys,)nichols (sys1,sys2, , sysN)nichols (sys1,sys2, , sysN,)mag,

11、phase, nichols(sys)函数nichols(sys)用来计算LTI系统的频率响应并绘制 Nichols 图，分析系统的开环和闭环特性。2例3-2绘制系统Gk(s)今 邑的Nyquist图和Nichols图，amp302mElt.5O.0 胃x-FIln-05氐呵Afjs图 3-2 Nyquist 图由图3.2可见，该系统的开环 Nyquist曲线不包围（i,jo） 点，故闭环是稳定的。3.2.2 Bode图的绘制Bode图是由两幅图组成，分别称为对数幅频特性和对数相频 特性。它在频率响应法中应用最为广泛。它的横坐标是频率（rad /s），对数幅频特性的纵坐标是幅值 20lgG（j

12、 ），单位dB ；对 数相频特性的纵坐标为（），单位deg。Bode图便于对系统中不同环节的作用以及整个系统进行分 析。MATLAB 控制系统工具箱中，用于Bode图绘制的函数是BODE。函数BODE用于计算线性时不变系统（LTI ）的频率响应、 幅值和相位，绘制 Bode图，调用方式为:bode(sys)bode(sys,)bode(sys1, sys2, , sysN)bode(sys1, sys2, ,sysN,)mag, phase, bode(sys)其中，sys为系统模型；mag为幅值；phase为相位；频率范围。函数BODE可用于任意LTI系统，即单输入单输出(SISO)系 统，

13、多输入多输出(MIMO)系统，连续时间系统，离散时间系统。用函数bode(sys)绘制系统的Bode图时，频率范围将根据系统 零极点自动确定。bode(sys,)是根据给定的频率范围绘制系统sys的频率特性曲线。bode(sys1, sys2, ,sysN,)是根据给定的频率范围绘制多个系统的频率特性曲线。当函数调用带有左边输出变量时，函数将返回频率响应的幅值 mag，相位 phase和频率值 。例3-3例3-1系统，试绘制其 Bode图，amp303.m。ZU_o_Dlwrri芒，mWoA-_oi电-mftzd50JI2图 3-3 Bode 图比较图3-3和图3-1可知，在MATLAB中，可

14、用不同方法求 得系统的频率响应特性，函数BODE完成例3-1程序的所有计算。3.3稳定裕度由Nyquist稳定判据可知，若系统开环的Nyquist轨迹不包围 (1,j0)点，闭环系统是稳定的。当系统开环Nyquist轨迹离点(1,j0)越远，闭环系统的稳定程度越高；开环 Nyquist轨迹离点 (1, j0)越近，则其闭环系统的稳定程度越低。这称为系统的相对 稳定性。它通过系统开环传递函数Gk(j )对点(1, j0)的靠近程度来表征，定量表示为稳定裕度：幅值裕度kg和相位裕度。一、幅值裕度kg的求取在Nyquist图上，当 为相位交界频率g时，开环幅频特性G(j )H(j )的倒数，称为系统

15、的幅值kg，即kg1G(j )H(j )|(3.3-1)显然，在Nyquist图上，Nyquist轨迹与负实轴的交点至原点 的距离即为1/kg。对于稳定系统，有1/ kg 1 ；对于不稳定系统， 有1/kg 1。在Bode图上，幅值裕度改以分贝(dB)表示:20lg kg20lg1g(j g)H(j g)20lgG(j g)H(j g)(3.3-2)对于稳定系统，kg(dB)必在0dB线以下，kg(dB) 0，此时称为正幅值裕度；对于不稳定系统，kg(dB)必在0dB线以上，kg(dB) 0，此时称为负幅值裕度。二、相位裕度 的求取当 为增益交界频率 c 时，相频特性距 180 线的相位差值

16、为相位裕度。180 ( c) (3.3-3)式中， ( c) 一般为负值。在 Nyquist 图上， 为 Nyquist 轨迹和单位圆的交点对负实轴 的相位差值。对于稳定系统， 必在 Nyquist 图负实轴以下， 为正相位裕 度；对于不稳定系统， 必在 Nyquist 负实轴以上， 为负相位裕 度。在 Bode 图上，对稳定系统， 必在 Bode 图 180 相线以上， 此时称 为正相位裕度；对于不稳定系统，必在Bode图180相线以下，此时称 为负相位裕度。综上所述，若开环系统是稳定的， G( j )H(j )具有正幅值裕 度及正相位裕度时，其闭环系统是稳定的； G(j )H( j )具有

17、负幅 值裕度或负相位裕度时， 其闭环系统是不稳定的。 为确定系统的 相对稳定性，必须同时考虑幅值裕度 kg 和相位袍度 两个指标。从控制工程实践来讲，为使系统具有满意的稳定裕量，一般 使：30 60kg(dB) 6dB,即kg 2(3.3-4)在 MATLAB 控制工具箱中，函数 MARGIN 用来计算相对稳定性的幅值裕度(或称增益裕度)和相位裕度及对应的交界频率(或称穿越频率)，调用格式为：m arg in( sys)Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(sys)Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(mag, phase,)marg in (sys)用于绘制Bode图并在图中标出

18、幅值裕度和相位裕 度。Gm,Pm,Wcg,Wcp margin(sys)，用于计算单输入单输出系统的增 益裕度Gm和相应的相位交界频率 Wcg，相位裕度Pm和相应的幅值 交界频率Wcp。根据定义，相位交界频率Wcg是指Bode图的相频曲线穿越180时的频率；而幅值交界频率 Wcp是指Bode图的幅 频曲线穿越0分贝时的频率。Gm, Pm,Wcg,Wcp margin(mag, phase,)则根据给定的频率响应数 据幅值向量mag、相频向量phase和对应的频率向量计算系统的增益裕度G，相位裕度Pm和相应的交界频率 Wcp和Wcg。例3-4已知单位反馈系统开环传递函数为:Gk(s)64(s 2

19、)2s(s 0.5)(s6.4s 256.1)求系统的幅值裕度、相位裕度和相应的交界频率，amp304.m。書 w_uEmE图3-4例3-4的Bode图绘制的标有相对稳定性的波德图如图3-4所示。因该系统幅值裕度和相位裕度均为正值，故系统稳定，且相对稳定性较好。3.4系统时域频域一般性能指标的计算分析系统特性时，通常要研究系统的时域特性和频域特性。 可用MATLAB编程方法分析和计算系统时域和频域的常用的一 些性能。3.4.1系统瞬态性能指标系统瞬态性能用系统的阶跃响应特征来定义。常用来描述系 统瞬态性能指标的参数有：（1）上升时间tr响应曲线从稳态值的10%上升至稳态值的90%所要的时间（2

20、）峰值时间tp响应曲线第一次达最大峰值所需要的时间。（3）最大超调量MpMp %0(3 Xo( ) !00%X()（4）调整时间ts瞬态响应曲线进入并永远保持在允许误差范围内的最小时间。通常， 取稳态值的2%或5%。系统上述瞬态性能指标计算可用 MATLAB编程完成。例3-5已知系统G（s）（S 1杯1 3i），试计算系统瞬态性能指标（稳态允许误差，amp305.m 2%。3.4.2系统稳定性和相对稳定性对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半平面，则该系统是稳定的。对于离散时间系统，如果系统全部极点都位 于单位圆内，则此系统可以被认为是稳定的。若连续系统零极点 都在S平面左半平面，或若

21、离散系统全部零极点均在单位圆内， 则该系统为最小相位系统。由于用数学方法直接求解特征方程是不容易的，一些稳定判 据（如Routh判据、Nyquist判据等）长期应用于系统稳定性分 析中，这些方法日均是间接判别稳定性的方法。MATLAB语言可以用数值计算方法直接求特征方程的根，且已编制专门求解函数。MATLAB函数中有许多函数可用来分析系统零点和极点的 分布情况。函数POLE可直接用于计算系统极点。函数EIG用来计算矩阵特征值的根，函数 ROOTS用来求一个多项式的根。利 用系统零极点形式模型函数 ZPK直接给出系统的零点和极点， 函数PZMAP用来绘制系统的零极点图和计算系统的零点和极 点，判

22、断系统的稳定性及是否是最小相位系统。5(s 2)2 ，s(s 2)(s 1)试判断该闭环系统是否稳定，是否是最小相位系统，amp306.m。例3-6已知单位反馈系统开环传递函数G(s)程序运行结果说明：闭环系统有两个正极点，不稳定，且也 不是最小相位系统。关于系统相对稳定性分析，可用函数MARGIN3.4.3闭环系统频率特性在分析系统动态特性中，闭环频率特性性能指标计算是十分重要的，这些指标包括：幅频宽3dB、相频宽90、谐振频率r、 谐振峰值M、幅值穿越频率八相位穿越频率g等。关于c和g 计算可用MATLAB函数MARGIN，其余的频率域性能指标可以 用MATLAB编程方法计算。程序中用到M

23、ATLAB库函数INTERP1 o函数INTERP1用于一维数据插值，调用格式为：yi int erp1(x, y, xi, method)其中，x,y为数据列向量；xi为x中某元素的值；函数返回值 yi 是用插值法求得y中和xi对应的值。mothed插值计算所采用的 方法；near为线性插值；spline为三次样条插值；cublic 为三次插值该函数要求是单调的。例3-7已知单位反馈系统，开环传递函为：G(s)，求s(s 2)该系统闭环的幅值穿越频率c、谐振峰频率r、谐振峰值皿八幅频宽 3dB、相频宽 90，amp307.m。glide DIV*TiEs10IQ1Ffsqijsrcv10图3

24、-5闭环系统Bode图(例3-7)闭环系统Bode图如图3-5所示。344稳态性能计算一、稳态误差%图3-6误差计算系统方框图(3.4-1)对于图3-6所示系统，由输入Xs)引起的系统误差eSS!叫S H(s)(1 Gi(s)G2(s)H(s) Xi(S)由干扰N(s)引起的系统稳态误差:ess2lsm s H (s)(1琵叽N(s)(342)系统总的稳态误差为:ess ess1 ess2上面两个计算式可由 MATLAB编程实现。例3-8已知单位反馈系统:5G(s)0.2s 12G2(S)s(s 1)H(s) 1其中，输入信号Xi (t) t，扰动信号n(t) 1，试确定系统稳态误差。这是一个

25、单位反馈系统，H(s) 1输入信号Xi(t) t，即Xi (s) g。s干扰信号n(t) 1，即N(t) 1。s由(341)和(342)可知系统稳态误差为:一 一 1 1 ess1lim s2s 0 1 G1(s)G2(s)H (s) s2ess2 lims 1s 0 1 G(s)G2(s)H(s) s 用 MATLAB 计算系统总误差程序， amp308.m。 二、稳态响应值例 3-5 的程序中， 已介绍了一种系统阶跃响应稳态值的计算 方法。MATLAB 控制工具箱中，函数 DCGAIN 是用来计算 LTI 系 统的稳态增益。可利用该函数直接求得系统阶跃响应的稳态值。 函数调用格式为：K dcgain (sys)其中，sys为LTI模型；K为稳态增益。例 3-9用函数 DCGAIN 求例 3-5 系统单位阶跃响应的稳态值， amp309.m。计算结果与例 3-5 完全