13.1命题、定理与证明

1、13 1 命题、定理与证明 13 1.1 命题 1了解命题的概念 ， 理解命题的结构 2 会识别命题的真假 ，会说明一个命题是假命题 重点 命题的结构 ， 真命题与假命题的识别 难点 识别命题的真假 【一】创设情境 情境：小亮和小刚正在津津有味地阅读?我们爱科学 ? 小亮：哈！这个黑客终于被逮住了 小刚：”是的，现在网络广泛运用于我们的生活中，给我们带来了方便，但 坐在旁边的两个人一边听着他的谈话 ， 一边也在悄悄地议论着 ， 这个黑客是个小偷 吗？ 可能是喜欢穿黑衣服的贼 你听完这那么片段故事 ，有何想法？ 同学们各抒己见后 ，教师给予同学的各种回答评价后 ，发表自己的看法： 在日常生活中

2、我们会遇到许多概念 ，以致无法进行正常的交流 同样，在数学学习中 ，要进行严格的论证 也必须首先对所涉及的概念下定义本节课我们就一起来学习命题 【二】探究新知 1提出问题 我们已经学过一些图形的特性例如： (1) 三角形的内角和等于180； (2) 如果两个角是对顶角 ， 那么这两个角相等； (3) 两直线平行 ， 同位角相等； (4) 直角都相等 引导学生观察、分析它们的共性 ， 得出命题的概念 即它们都是判断某一件事情的语句 ，像这样表示判断的语句叫做命题 2练习 以下句子哪些是命题？ 动物都需要水； 猴子是动物的一种； 玫瑰花是动物； 美丽的天空； 负数都小于零； 你的作业做完了吗？ 所

3、有的质数都是奇数； 过直线外一点作 l 的平行线； 如果ab, ac,那么b= c. 3观察以下命题 ， 你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同学交流 (1) 如果两个角是对顶角 ， 那么这两个角相等； (2) 如果一个三角形是等腰三角形， 那么这个三角形的两个底角相等； 如果a2= b2,那么a= b. 总结：在数学中，许多命题是由条件和结论两部分组成的条件是事项，结论是由事项 推出的事项这种命题常可写成”如果，那么的形式. 其中，用”如果开始的 部分是条件，用”那么开始的部分是结论例如，在命题(1)中，”两个角是对顶角是 条件，”这两个角相等是结论. 例 把命题”三个角都相等的三角形是

4、等边三角形改写成”如果，那么的 形式，并分别指出命题的条件与结论. 解：这个命题可以写成：”如果在一个三角形中有三个角相等，那么这个三角形是等边 三角形这里的条件是”在一个三角形中有三个角相等，结论是”这个三角形是等边三 角形 4.真、假命题 思考：试判断以下句子是否正确. (1) 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 三角形的内角和是 180; (3) 同位角相等； 同角的余角相等； (5) 一个锐角与一个钝角的和等于180 . 根据已有的知识可以判断出句子(1)、(2)、(4)是正确的，句子(3)、(5)是错误的从而引 导学生概括出真、假命题的定义. 即条件成立，结论一定成立的命题，称为

5、真命题. 条件成立，不能保证结论总是成立的命题，称为假命题. 【三】练习巩固 1指出以下命题的条件和结论，并判断命题的真假，如果是假命题请举一个反例说明. (1) 经过一点有且只有一条直线与直线垂直； (2) 两个无理数之和仍是无理数. 2 命题一个角的补角一定大于这个角的条件是,结论是 ,它是一个,反例为 【四】小结与作业 小结 这节课你学到了什么？你有什么收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结. 作业 教材第58页习题13.1第1 , 2, 3题. 本节内容较少，比较简单，但命题的概念比较抽象，应从形式到内容帮助学生分析命 题的条件与结论是辨别命题真假的关键，又

6、是后面学习逆命题的基础 ，应掌握.针对学习情 况对理解不深刻的同学给予单独的辅导. 13. 1.2 定理与证明 1. 理解已学的5个基本事实，理解定理的概念. 2. 理解证明的概念，体会证明的必要性. 重点 证明的过程与步骤. 难点 证明的必要性. 【一】回顾 1. 什么是命题？命题的结构是什么？ 2命题如何分类？如何证明一个命题是假命题？ 3今天我们将学习说明一个命题是真命题的方法 【二】探究新知 (一) 基本事实 教师讲解 ， 并板书： (1)两点确定一条直线； (2)两点之间 ，线段最短； (3) 过一点有且只有一条直线与直线垂直； (4) 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；

7、(5) 两条直线被第三条直线所截 ，如果同位角相等 ，那么这两条直线平行 上述五个命题是被公认的真命题 ，我们将它们当作基本事实 ，是我们用来判断其他命题 真假的原始依据 ， 即出发点 (二) 定理与证明 教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的 从而说明证明的重 要性 1教师讲解：请大家看下面的例子： 当 n = 1 时，(n2 5n + 5)2= 1； 当 n = 2 时，(n2 5n + 5)2= 1; 当 n = 3 时，(n2 5n + 5)2= 1. 我们能不能就此下这样的结论：对于任意的正整数(n2 5n+ 5)2的值都是1呢？实际上 我们的猜测是错误的，因为当

8、n= 5时，(n25n+ 5)2= 25. 2. 教师再提出一个问题让学生回答：如果a= b,那么a2= b2.由此我们猜想：当 ab 时，a2b2.这个命题是真命题. 答案：上面的说法不正确，举一个反例来看，因为3 5,但32v( 5)2. 教师总结：在前面的学习过程中 ，我们用观察、验证、归纳、类比等方法 ，发现了很多 几何图形的性质. 但由前面两题我们又知道 ，这些方法得到的结论有时不具有一般性. 也就 是说 ， 由这些方法得到的命题可能是真命题 ， 也可能是假命题. 教师讲解： 数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且 可以进一步作为推断其他命题真假的依据 ，

9、 这样的真命题叫做定理. (三) 定理的证明 直角三角形两锐角互余. 教师引导： 将文字语言转化为几何语言 ，注意推理步步有据 ，并在后面的括号里写上每 步的依据. 教师讲解：此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据 ， 因此我们把它也作为定理. 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性 ，而且可以作为进一步确认其他命题 真假的依据. 【三】练习巩固 1. 请你说出学过的知识中 ， 哪些是公理 ，哪组说得又多又准就是获胜者. 如： (1) 两点确定一条直线； (2) 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等 ，那么这两条直线平行. 2. 试证明：如果两条平行线被第三条直线所截， 那么同旁内角的角平分线互相垂直. 3. 如图，AD / BC , / A = Z C.求证：AB / CD. 【四】小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流， 在学生交流发言的基础上 教师归纳总结 作业 教材第 58 页练习第 1，2 题 本节课从同学们已学的五个性质