第28课数列的极限

1、第 28 课 数列的极限 考试目标 主词填空 1. 数列极限的定义可叙述为如果当项数n 无限增大时，无穷数列 an 的项 an无限地趋近于某个常 数 a，那么就说数列 an 以 a 为极限 . 2. 数列极限的运算法则 . 设 lim an=A， lim bn=B，则 lim (an bn)= A B. n n n lim (anbn)=A B. n lim anA ，B 0. nbnB 3. 数列极限的常见类型 lim f ( n) 型，其中 f(n)与 g( n)都是关于 n 的多项式 . n g (n) 可有理化型：当分子或分母含有根式时，通过有理化后求极限 lim qn 型， (q 为

2、常数 )其极限存在的充要条件是 q 1,1 . n 4. 数列极限的直接应用 . (1)求无穷数列的和； ( 2)计算数列的极限 . 5. 两个结论： ( 1)单调有界的数列必有极限 2) lim 1 1 n=e=2.718281828. nn 题型示例 【例 1】 点津归纳 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a3=5，S3=9，又设 bn=anqn(nN)，其中常数 q 2 n 3 * * 满足 lim (1+q+q 【解前点津】 2+qn)= ，试求数列 bn 的前 n项和 S*及 lim S*. 由条件，先确定 an的表达式及 q值，再确定 bn的表达式 . 规范解答】 设

3、an 的公差为 d，则由 a3 a1 2d 5 32 S3 3a1 322 d a1 1 d2 an=a1+(n-1) d=2n-1， 2 又因 lim (1+ q+q + n n 1 q +q )= lim n 1 q 知 |q|0).求 lim xn. n 解前点津】 由条件可知 xn+1= a xn 既然 xn 的极限存在， 则必有 lim xn= lim xn+1= lim xn+2= n n n =lim xn+m(且 m是常数 )，等式两边取极限即可求得 n 规范解答】 设 lim xn=A，则 lim xn+1=A，又因 xn+1= a xn ，故有 lim xn+1= lim

4、a xn n n n n a lim xn n 2 2 1 1 4a ， A= a AA2=a+A，A2-A-a=0.而 A0 故此一元二次方程正根 A= 2 解后归纳】 若数列 an的极限存在，则极限值必然是惟一的，且lnim an=lniman+1=lnima2n 对应训练 一、基础夯实 分阶提升 3n3 2004n 1 1. lnim (n 1)(n 2)(n 3) 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 1 3 5n2 4n2 3n 2 2.lnim 1 43n2 5 3n 2n 的值为 A.1 1 B. 2 1 C. 3 1 D. 4 2 222 12 2232n2 3.lim 的值

5、为 n2n(1 23n) 1 B. 2 4.lim cos( n2 n 1- n2 n 1)的值为 n A.1 C.1 3 1 D. 4 A.-1 B.1 C.0 D.1 n 2 an 5.若a是大于 1的常数，则lim 1 a 的值为 A.1 B.0 C.a D.-a 1aaa 6. 等比数列 an 的公比q=- ，则 mli12n的值为 3 na2a4a2n A.1 B.-2 C.-4 D.- 2 7.数列 an 和bn 都是公差不为 0 的等差数列，且 lnim bann =3，则： a2 2nbn an 值为 3 D. 4 1 A.0 B.3 C. 3 123n 8.lim123n的值

6、等于 n2!3!4!(n 1)! A.-1 B.0 C.1 1 D. 2 ax2 x 1 2 bx2 2x =2004，则动点 M（a，b）描绘的图形是 A. 直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 10.当 n 充分大时， 下面大小关系正确的是 n 2004 A.2 n n 2004 C.2n=n2004 D.以上都不是 11.若 lim n2 1 an b =0 ，则 a= ，b= 12.数列的通项公式为 an=(3-5 x)n， 若 lim an 存在，则 x 的取值范围是 n 13. lim 1 12 n22 1 12 32 1 412 112 = n2 14.若 f(n)=1+2+3

7、+ +n(n N*),则： lim f (n2)2 n f (n)2 三、能力提高 15.(1)已知 an=1+2+4+ +2n，求 lim na C1nCn2 n an Cn Cn an n a n (a0). n a (2) lnim n n an a 1 16. an是首项为 1，公比为 sin(00) 的等比数列的前 n 项的和为 Sn，又设 Tn= Sn Sn 1 (n=1，2，),求lim Tn. n 18.数列 an，bn满足 lim (2an+bn)=1 ， lim (an-2bn)=1，求 lim (an bn)的值 . 1.C 2.D 只须观察分子、 分子 =n2. 第 7

8、 课 数列的极限习题解答 分母的首项 . 3.C 分子的首项是 1 1 n3，分母的首项是 3 1 n3 2=n3 2 4.C 因 n2 n 1n2 n 1= 1 n 0. n 2 n 1n2 n 1 1 a n a a 5.D a1，原式 =lim a = a =-a. n 2 1 1 n1 a 6.B a1+a2+an= 1 1n a1 1 3 1 a2 ，a2+a4+a6+ +a2n= ，a2+a4+a6+a2n=1 1 9 1n 9 7.D a1+a2+an= a1ann 原式= lima1an=13=3 2 n22bn 4 4 8.C (n 1)! n! (n 1)! ，原式 = l

9、im 1 9.A 10.A =1. (n 1)! a =2004， a-2004b=0 表示一条直线 . b 当n充分大时， 2n， n2004都是递增的，且 n2004比2n增的快些 . 2 (1 a)n 2 (an b)n (1 b) 11.原式= lim,令 1-a=0，a+b=0 a=1 ， b=-1. n n1 12.由|3-5x|12x 4,又 3-5x=1 时x= 2,故 2 x1 时，原式 =lim 2n a1 2n = lim n a 2n 1 n 1 2n a =1；当 a=1 时，原式 =0，当 0a1 时，原式 =-1 ，故： 1 12n 2n a nn aa lnim an a n 1 =0 (a 1) (a 1) (0 a 1) 16.bn=(1 sin sin sin 1 ) n =(sin ) n1 2 =( sin)n-1 lim Sn=1 n 1 sin 1 sin 1 sin 17.当 0q1 时， Tn = 1q lim Tn= lim nn nn1 q (0 q 1) ( q 1) 1 lim T n= 1 n q 18.根据极限运算法则得 2 lim