向量法求二面角的大小[教学文书]

1、向量法求二面角的大小向量法求二面角的大小 北京市房山区教师进修学校北京市房山区教师进修学校 卢寒芳卢寒芳 1 四、教学过程的设计与实施四、教学过程的设计与实施 一、教学背景的分析一、教学背景的分析 二、教学目标的确定二、教学目标的确定 三、教学方法的选择三、教学方法的选择 五、教学效果评价与反思五、教学效果评价与反思 2 一、教学背景的分析一、教学背景的分析 u本节课教学内容选自人教高中数学本节课教学内容选自人教高中数学B版选修版选修21第第 三章第三章第2.4节节“二面角及其度量二面角及其度量”的第的第2课时课时 u二面角是立体几何的重要概念之一它是学生在二面角是立体几何的重要概念之一它是学

2、生在 学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之学习异面直线所成的角，直线与平面所成的角之 后，又重点研究的一种空间角后，又重点研究的一种空间角 u课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问课标要求：能用向量方法解决面面夹角的计算问 题，体会向量方法在研究几何问题中的作用题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 3 一、教学背景的分析一、教学背景的分析 u利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化利用向量方法求解立体几何问题是将逻辑推理转化 为向量的代数运算为向量的代数运算. . 三步曲：空间向量表示几何元素三步曲：空间向量表示几何元素利用向量运算研利用向量运算研 究几何元素间的关系究几何元素

3、间的关系把运算结果转化成相应的几把运算结果转化成相应的几 何结论何结论. . u用到数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助用到数形结合、类比转化等数学思想和方法，有助 于提高学生的思维能力于提高学生的思维能力 4 一、教学背景的分析一、教学背景的分析 已学习：二面角及二面角的平面角的概念二面角及二面角的平面角的概念 会：建立空间直角坐标系 进行向量坐标运算 求平面的法向量求平面的法向量 已掌握：用向量求解线线角、线面角的方法用向量求解线线角、线面角的方法 5 二二、教学目标的确定教学目标的确定 1 通过类比异面直线通过类比异面直线 所成的角、直线与所成的角、直线与 平面所成角的解决平面所成角

4、的解决 方法，得到用向量方法，得到用向量 求二面角大小的方求二面角大小的方 法，并能用之解决法，并能用之解决 有关问题，体会向有关问题，体会向 量方法在研究几何量方法在研究几何 问题中的作用问题中的作用 3 通过经历向量法求通过经历向量法求 二面角大小的推导二面角大小的推导 过程，培养大胆探过程，培养大胆探 索精神，提高学习索精神，提高学习 立体几何的兴趣立体几何的兴趣 2 在探究用向量法求二在探究用向量法求二 面角大小的过程中，面角大小的过程中， 体会数形结合、类比体会数形结合、类比 转化的数学思想，进转化的数学思想，进 一步提高空间想象能一步提高空间想象能 力、分析问题和解决力、分析问题和

5、解决 问题的能力问题的能力 6 重点和难点重点和难点 重点重点:用法向量夹角求二面角的方用法向量夹角求二面角的方 法的探究及应用法的探究及应用 难点难点:二面角与两个半平面的法向二面角与两个半平面的法向 量夹角的关系量夹角的关系 二、教学目标的确定二、教学目标的确定 7 多媒体辅助多媒体辅助 三三、教学方法的选择教学方法的选择 教师启发引导教师启发引导 学生自主探究学生自主探究 8 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 2探究方法探究方法 1 温故知新温故知新 3 实践操作实践操作 4 归纳总结归纳总结 1 温故知新温故知新 9 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 l A

6、 B O 如何度量二面角如何度量二面角l的大小的大小 温故知新温故知新 10 温故知新温故知新 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 异面直线所成的角异面直线所成的角 | 1 v 2 v 21,v v 2 v 1 v 21,v v 11 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 温故知新温故知新 直线与平面所成的角直线与平面所成的角 n B a na, 2 2 , na a n a n 直线的方向向量为直线的方向向量为 ，平面的法向量为，平面的法向量为 12 通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线通过复习二面角平面角的知识，类比线线角、线 面角的解决方法，自然引出用向量探究

7、二面角的面角的解决方法，自然引出用向量探究二面角的 大小大小. 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 温故知新温故知新 设计意图设计意图 13 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 2探究方法探究方法 1温故知新温故知新 3 实践操作实践操作 4 归纳总结归纳总结 2探究方法探究方法 14 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 l A O B OBOA,二面角 OBOAAOB, 问题问题1： 二面角的平面角二面角的平面角 能否转化成向量的夹角？能否转化成向量的夹角？ AOB 15 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法

8、12 ,n n 二面角 16 从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由从平面角出发，引导学生发现二面角的求解可由 向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题向量的夹角来确定，从而调动学生探究这一问题 的积极性的积极性. 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 设计意图设计意图 17 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 问题问题2： 求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与求直线和平面所成的角可转化成直线的方向向量与 平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半平面的法向量的夹角，那么二面角的大小与两个半 平面的法向量有没有关系？平面

9、的法向量有没有关系？ a n l 1 n 2 n 18 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系思考：法向量的夹角与二面角平面角的关系 19 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 20 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 21,n n 12 12 12 coscos, nn n n n n 21 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 21,n n 12 12 12 coscos, nn n n n n 根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调

10、动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性. .根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性根据教师引导，由学生发现该二面角的求解可由向量的夹角来确定，调动学生探究这一问题的主动性和积极性. . 22 通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空通过教师引导和学生的交流讨论，培养学生的空 间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神；间想象能力、逻辑思维能力和乐于探索的精神； 通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生通过实物教具、板书画图、课件演示，帮助学生

11、理解法向量夹角与二面角大小的关系理解法向量夹角与二面角大小的关系 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 设计意图设计意图 23 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 问题问题3： 法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么法向量的夹角与二面角的大小什么时候相等，什么 时候互补？时候互补？ 再次演示课件再次演示课件 24 探究方法探究方法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 25 进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系，进一步探究法向量的夹角与二面角大小的关系， 结合规律加深学生对这一难点内容的理解结合规律加深学生对这一难点

12、内容的理解 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 探究方法探究方法 设计意图设计意图 26 2探究方法探究方法 1 温故知新温故知新 3 实践操作实践操作 4 归纳总结归纳总结 3 实践操作实践操作 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 27 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 实践操作实践操作 已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90, SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 2 1 AD 28 本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不本题的特点是图中没有出现两

13、个平面的交线，不 能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量能直接利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量 的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量的夹角解决，利用法向量的夹角解决体现了向量 求解立体几何问题的优越性求解立体几何问题的优越性 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 实践操作实践操作 设计意图设计意图 29 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 实践操作实践操作 已知已知ABCD 是直角梯形是直角梯形,DAB=ABC=90, SA平面平面ABCD，SA=AB=BC=1， ， 求平面求平面SAB与与SCD 所成二面角的余弦值所成二面角的余弦值 2 1 AD 30 实

14、践操作实践操作 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 31 实践操作实践操作 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 32 通过对无棱二面角问题的解决，使学生经历从建立通过对无棱二面角问题的解决，使学生经历从建立 坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较坐标系到探究法向量的坐标及角的取值的过程，较 好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方好地掌握如何利用法向量的夹角求二面角大小的方 法法 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 实践操作实践操作 设计意图设计意图 33 实践操作实践操作 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 总结出利用法向量求二面角大

15、小的一般步骤：总结出利用法向量求二面角大小的一般步骤： 1）建立坐标系，写出点与向量的坐标；）建立坐标系，写出点与向量的坐标； 2）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的）求出平面的法向量，进行向量运算求出法向量的 夹角；夹角； 3）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或）通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或 钝角，得出问题的结果钝角，得出问题的结果 34 明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的明确向量法的解题步骤，培养学生概括、总结的 能力和意识能力和意识 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 实践操作实践操作 设计意图设计意图 35 实践操作实践操作 四四、教学

16、过程的设计与实施教学过程的设计与实施 正方体正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为2，点，点Q是是BC 的中点，求二面角的中点，求二面角ADQA1的余弦值的余弦值 巩固练习：巩固练习： 36 2探究方法探究方法 1 温故知新温故知新 3 实践操作实践操作 4归纳总结归纳总结4归纳总结归纳总结 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 37 归纳总结归纳总结 数形结合数形结合 类比转化类比转化 两个思想两个思想 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 一个步骤一个步骤 两种方法两种方法 半平面内分别垂直于棱的向量的夹角半平面内分别垂直于棱的向量的夹角 两个平面的法向量的夹角

17、求解两个平面的法向量的夹角求解 用法向量求二面角大小的步骤用法向量求二面角大小的步骤 38 引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结，引导学生对所学的数学知识、思想方法进行小结， 有利于学生对已有的知识结构加深理解。有利于学生对已有的知识结构加深理解。 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 归纳总结归纳总结 设计意图设计意图 39 归纳总结归纳总结 1、如图所示、如图所示，正方体正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为棱长为1 ， 试用多种方法求二面角试用多种方法求二面角A1BDC1的余弦值的余弦值 2、P111练习练习A第第3题题，练习练习B第第2题题 四四、教学过程的设计与实施教

18、学过程的设计与实施 40 四四、教学过程的设计与实施教学过程的设计与实施 41 五、教学效果的评价与反思五、教学效果的评价与反思 学习效果评价设计学习效果评价设计 项目项目A A（优秀）（优秀）B B（良好）（良好）C C（合格）（合格） 个人个人 评价评价 同学同学 评价评价 教师教师 评价评价 旧知识掌握情况旧知识掌握情况牢固牢固比较牢固比较牢固一般一般 课前预习情况课前预习情况自己主动完成自己主动完成依照同学才完成依照同学才完成不能完成不能完成 独立思考积极程度独立思考积极程度积极积极较积极较积极一般一般 交流讨论情况交流讨论情况有交流讨论有交流讨论有交流有交流没有交流没有交流 参与学习的积极性参与学习的积极性很高很高比较高比较高一般一般 本节课的掌握情况本节课的掌握情况好好较好较好不好不好 课后作业完成情况课后作业完成情况