2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)

1、 2019 年第三次全国大联考【新课标卷】理科数学全解全析12345678910c11a12cdabcbdbdb【答案】d1.2.【解析】由 a = x | x 2=x | - 2 x 2 ，b= x | y = x +1= x | x -1，得a b = x | -1 x 90% ，正确，故选 c150【答案】b5.6.22【解析】(x - 2)( + 1) 的展开式中的常数项为 x c 1 - 2 1 = 10 - 2 = 8 ，故选 b5445xx5【答案】d【解析】a，当 n为偶数时，n - 1 n + 1n - 1 n + 12222nn22,不是整数，所以n,不是勾股数；b，n +

2、 ( ) (2 2+ 1) ，2222222理科数学 第 1页（共 10页） n - 22n + 22n - 2 n + 22 22n n2所以 n, , +1不是勾股数；c， n + () (2) ，所以n,2,不是勾股数；d，当 n22 24444n2- 1,n2n2n2n2- 1,n2-1) = (为偶数时，n,【答案】b+ 1 都是整数，且n + (+1) ，所以n,+ 1 是勾股数，故选 d2224444447.【解析】模拟运行该程序：x=1，y=1，z=11，满足循环条件；x=1，y=11，z=21，满足循环条件；x=11，y=21，z=131，满足循环条件；x=21，y=131，

3、z=341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341，观察 a、b、c、d 四个选项，可知只有 b 选项符合题意，故选 b【答案】d8.【解析】由题意得 a = 1 a = a + 6 ，所以 a = 3 （负值舍去），所以 a = 3 + 2 = 5 ，因为数列214112a1b 2431, a , a , b , b , b ,l, b ,l 成等比数列，设其公比为 q ，则 q = = 3 ，所以b = 3 = 243 ，所以3=，51a2514123n3故选 d【答案】b9.3cc) ，代入双曲线 c 的方【解析】设双曲线c 的焦距为2c(c 0) ，则由opf 为等边三角形

4、，得 p( ,2 2c2 3c23e2程得-= 4 ，即e -= 4 ，解得e =+1（或 e =-1 ，舍去），故选 b233a2b2e - 12【答案】c10.【解析】解法一：如图，连接d a ， ac ， d c ，易证平面 acd p平面 efg ，因为 d p 与平面 efg1111没有公共点，所以直线d p 平面pefg，所以点 在直线pac上，所以当p 为 ac中点时，线段d p 的11长度最小，最小值为，故选 c6解法二：如图，连接d c ，ac ，因为直线d p 与平面 efg 没有公共点，所以直线d p 平面 efg延p111长 ef，与 dc 的延长线交于点 h，连接gh

5、 ，则 d c p gh ，ac p ef，所以点 p 在直线 ac 上，易得1理科数学 第 2页（共 10页） 当 p 为 ac 中点时，线段d p 的长度最小，最小值为 6 ，故选 c1【答案】a11.【解析】由 f (a) = 1, f (a + 2) = 0 得函数 f (x) 的图象关于直线 x a 对称，且关于点(a + 2, 0)对称，由存=在不相等的实数 x ,x (a,a + 2) 使得 f (x ) = f (x ) 成立，可得 f (x) 在 (a,a + 2) 上不单调，所以区间12123t3 23w(a, a + 2) 的长度不小于（其中t 为函数 f (x) 的最小

6、正周期），即 2 ，即 ，故选 aw444【答案】c12.【解析】由(a + 1)x - ln x + b - 2 0 ，得ln x (a + 1)x + b - 2 ，若存在唯一实数 x ，使得 f (x ) 0 ，则001直线 y = (a +1)x + b - 2 与曲线 y = ln x 相切，设切点为 p(t, ln t) ，则切线方程为 y - ln t = (x - t) ，即t1111t - 1y = x + ln t - 1 ，所以a + 1 = ， 2 ln 1 ，所以a + b = + ln t ，设g(t) = + ln t(t 0) ，则g(t) =b- = t -，

7、ttttt2所以 g(t) 在(0,1) 上单调递减，在(1,+) 上单调递增，所以g(t) g(1)= 1，所以a b 的取值范围是1,+) ，+故选 c13【答案】-1,5【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z = 2x - y +1得 y = 2x - z + 1，平移直线 y = 2x ，可知直线 y = 2x - z + 1过点 a(2, 0)时 z 取到最大值， z = 2 2 - 0 + 1= 5 ，过点 b(0, 2)时 zmax取到最小值， z = 0- 2+1= -1，所以 z = 2x - y +1的取值范围是-1,5min理科数学 第 3页（共 10

8、页） 114【答案】 -21【解析】由| a b |=| a | | b | 可知向量 a, b 共线，所以cosa 2 sina 0 ，所以tan = - a+=2115【答案】( , +)2 1, n为奇数111【解析】由 a =1且 a -= ，得 a = ， a = ,a = 1， ， a，因为数a - an= 22n222n2n+11341,n为偶数111lll列b 是递增数列，当 n 为奇数时，b - b = + 0 ， - ，当 n 为偶数时，b- b = - + 0，222nn+1nn+1n11ll ，综上，实数 的取值范围是)+ ( ,2216【答案】(4, 4)【解析】由题

9、意知直线 oa 的斜率为正，设直线 oa 的斜率为 k (k 0) ，则直线 oa 的方程为 y = kx ， y = 4x4 416 16 y = 4x22直线 mn 的方程为 y = k(x -1) ，联立，得 a( , ) ，所以|oa | =+；联立，2k4k2k ky = kx2y = k (x - 1)2k + 4422222消去 y ，整理得 k x - (2k + 4)x + k = 0，设 m(x , y ),n(x , y ) ，则 x +x =2+ ， x x = 1，kk21 2112212211| mf | |nf |= (1+ k ) |x -1| |x -1| =

10、 (1+ k ) |x x - (x + x ) +1| = 4(1+22) 因为成| mf |, | oa |,| nf |k22121 2121414等比数列，所以| mf | nf |= |oa| ，即4(1+，所以k =1，解得 k 1，故点 a 的坐标=) =k42k24k24为(4, 4) 17（本小题满分 12 分）【解析】解法一：（1）由 ab ac 可得 bac 2c ，= -=2 53 cosbac = -cos 2c = 2 sin c - 1 = 2 () - 1 = （2 分）2255 ab ac ae ec 5 2 7 ，= + =+ be = ab + ae -

11、2ab aecosbae = 49 + 25 - 42 = 32 ，222 be = 4 2 （6 分）（2）由（1）知， cos bae = ， sin bae = ，3455114= ab ae sinbae = 7 5 = 14 （12 分） s225abe解法二：（1）如图，取 bc 的中点 d，连接 ad ，交 be 于点 f 理科数学 第 4页（共 10页） 2 555由题意得 ad bc ， ac ae ec 5 2 7 ，sinc =，cosc =，=+= + =55 7 5=14 55， bc = 2cd =，（3 分 ）cd = ac cosc = 75519614 55

12、be = bc + ec - 2bc ec cosc =+ 2 - 2 2 = 32 ，2222555 be = 4 2 （6 分）（2）由（1）知 be = 4 2 ，ab + be -ae49 + 32- 252 7 4 22222cosabe =，（9 分）2 ab be22sinabe =，2112 s= ab be sinabe = 7 4 2 = 14 （12 分）222abe18（本小题满分 12 分）【解析】（1）如图，作 po ac 于 o，连接 bo，由 pa = ba ， pac=bac ， ao ao ，可得pao bao ，= 所以 aob= aop 90 ，所以ob

13、 ac ，（3 分）= 又 po bo = o ，所以 ac 平面 pbo ，因为 pb 平面 pbo，所以 pb ac （6 分）理科数学 第 5页（共 10页） （2）由 pa = ab = 2 ， pac= bac 60 ，可得op ob 2sin 60，oa 2 cos 60 1， = = = 3=又 pb，所以op2+ ob= pb 2 2，所以op ob ，所以oa,ob,op 两两垂直，= 6分别以oa,ob,op 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系o - xyz （如图），uuuruuurc(-3, 0,0)则 o(0, 0, 0),a(1, 0, 0)b,

14、(0，3, 0),， p(0, 0, 3) ，= - = - -ab ( 1, 3, 0) ， bc ( 3, 3, 0) ，uuurbp = (0,- 3, 3) ，uuur uuurn bp = 0 -3x - 3y = 0bc = 0n 设平面 bcp 的法向量为n= (x, y, z) ，则，即，- 3y + 3z = 0取 x = -1，则 y = 3, z = 3 ，所以 n= (-1, 3, 3) 是平面 bcp 的一个法向量，（10 分）设直线 ab 与平面 pbc 所成角为q，| ab n |4uuur则sin =| cos ab, n| -1 (-1) + 3 3 + 0

15、3 |2 77=q，|=uuur=2 7| ab | | n | (-1) + ( 3) + 0 (-1) + ( 3) + ( 3)2222222 77所以直线 ab 与平面 pbc 所成角的正弦值为19（本小题满分 12 分）（12 分）128+135【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为=131.5，乙校学生数学成绩的中2位数为128+129 =128.5，所以这40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的2中位数高（2 分）（2）由题意，作出 2 2 列联表如下：甲校10数学成绩优秀数学成绩不优秀合计10132320204040 (10 13 -10

16、 7)220 20 17 23计算得 k 的观测值k = 0.9207 2.706，2所以没有 90 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关（8 分）00ms144 = 12，（3）因为 x n(110,144)，所以 = 110， =理科数学 第 6页（共 10页） 1 - 0.9544所以 p(86 134) = 0.0228 ，2xx由题意可知 b(3, 0.0228) ，所以 e = 3 0.0228 = 0.0684 （12 分）20（本小题满分 12 分）11a - b= 1 -b2 = ，即 a223【解析】（1）由e = （其中e为椭圆c

17、的离心率）得= 4b ，22a2a222331 9在椭圆 c 上，得 +圆 x + y - 2x - 3y = 0的圆心为，由(1, )=1 ，22(1, )22a2 4b23a = 4b22联立a = 4，解得2， 19+ = 1b = 32a4b22x y22故椭圆 c 的标准方程为 + =1 （4 分）43y = mx + n（2）联立，消去 y ，整理得(3 + 4m )x + 8mnx + 4n -12 = 0 ， x y = 122222+ 43因为直线 y = mx + n 与椭圆 c 只有一个公共点 m，d所以 = 64m n - 4(3 + 4m )(4n -12) = 0

18、，即 n = 3 + 4m ，（6 分）2222224m34m 34mn= -, y = mx + n = ，即 m (-，（8 分）设点 m 的坐标为(x , y ) ，则 x= -3 +4m2, )mmmnnn nmm假设 x 轴上存在点 p (t, 0) ，使得以 mn 为直径的圆恒过点 p，uuuur因为 n(4, 4m + n) ，所以 pm = (-4m3uuur-t, ) ， pn = (4-t,4m + n) ，nnuuuur uuur4m34m则= (- t)(4 - t) + (4m + n) =t - 4t + 3 +(t - 1)= 0 恒成立，2pm pnnnnt =

19、 1所以，所以t = 1 ，t - 4t + 3 = 02即在 x 轴上存在点 p (1, 0) ，使得以 mn 为直径的圆恒过点 p（12 分）21（本小题满分 12 分）【解析】（1）若 a = 2 ，则 g(x) = x - 2xln x + 2+ xln x = x - xln x + 2，22所以 g(x) = 2x - lnx -1，（2 分）因为函数 g (x) 的图象在 x = t 处的切线的斜率 k = g (t) = 2t - ln t - 1 = 1 ，即 2t - ln t - 2 = 0 ，11jj设 (t) = 2t - ln t - 2(t ) ，则 (t) =

20、2 - 0 ，2t理科数学 第 7页（共 10页） 1jj所以 (t) 在( ，+) 上是增函数，又 (1)= 0 ，2所以 2t - ln t - 2 = 0 有唯一实数解t = 1 ，（2 分）因为 g(1)= 3 ，把 (1, 3)代入 y = x + b 得b = 2 （4 分）a + 1（2）x 1, e， f (x) -1 ，即 x - a ln x + 0 xa +1设h(x) = x - aln x +，则 h(x) 在1,e上的最小值h(x) 0 ，xmina a + 1 (x + 1)(x - a - 1)因为 h (x) = 1 - -=，（5 分）xx2x2当a +11

21、即 a 0时，在区间1, e 上，h(x) 0，所以h(x) 单调递增，所以h(x) = h(1)= 2 + a 0 ，所以-2 a 0（7 分）min当1 a + 1 e ，即0 a e - 1 时， x 1, a + 1 时 h(x) 0 ， h(x) 单调递减，x a + 1, e 时 h(x) 0 ， h(x) 单调递增，所以h(x) = h(a +1)= 2 + a - aln(a +1)，由1 a +1 e可得 0 aln(a +1) 2 0 ，满足题意（9 分）当 a + 1 e 即 a e - 1 时，在区间1, e 上， h(x) 0 ，所以 h(x) 单调递减，a + 1e

22、 + 1e + 122- a 0 ，解得a e-1，所以h(x) = h(e) = e +ee -1e -1mine + 12所以e -1 a （11 分）e -1e +12综上可得实数 a 的取值范围是(-2,) （12 分）e -122（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程r qrr2r q【解析】（1）将 cos = x ， = x + y 代入 - 2 | cos |= 3 ，222得曲线c 的直角坐标方程为 x + y - 2 | x |= 3 ，即(| x | -1) + y = 4 ，（3 分）2222所以曲线 c 表示圆弧(x -1) + y = 4(x 0) 及圆弧(x + 1) + y = 4(x 0) （5 分）2222x = a -2t消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x + y - a = 0 ，|1 + 0 - a |（2）由y = 2t当直线 l 与圆弧(x -1)