(完整word)七年级数学思维拓展训练校本教材

1、七年级上数学思维拓展训练第一章兴趣数学七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛a与河的左岸b、右岸c各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地d与a、b、c各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从a、b、c、d中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、

2、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条

3、线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。图2中的a点与5条线相连结，b、c、d各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。一笔画：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)练习：你能笔尖不离纸，一笔画出

4、下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1图例2图例3图例43、-3等于（）a、3b、3c、d、-第二章绝对值知识回顾：绝对值的意义（1）代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.（2）几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。1、绝对值的常用性质：非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|0.双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|aa0则xa.|a|a|a|a(|a|)|a|aaa|ab|a|b|=b0bb解题技巧：解答绝对值问题，常用的思维方法有：1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，

5、需要对字母取值加以讨论。2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。3、零点分段法：多个绝对值化简时常用。教学过程：【基础知识检测：】1、有理数的绝对值一定是（）a、正数b、整数c、正数或零d、自然数2、绝对值等于它本身的数有（）a、0个b、1个c、2个d、无数个11334、若a与2互为相反数，则|a2|等于()a、0b、2c、2d、45、|x|=2,则这个数是（）a.2b.2和2c.2d.以上都错6、|a|=a，则a一定是（）7、a.负数b.正数c.非正数d.非负数7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（）a.mb.mc.md.2m8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反

6、数，那么这个数是（）a.正数b.负数c.正数、零d.负数、零9、-4的的相反数是_,-4的倒数是_,-4的绝对值是_,-4倒数的相反数是_,-4倒数的绝对值是_,-4倒数的相反数的绝对值是_10、当a0时，a_，当a3，则a-3_，3-a_.【典例解析：】一.求未知数例1：若a=5，则a=。若a=0，则a=思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？变式1:若x=-9，则x=；若x=-(-2.8)，则x=；若-x=-2，则x=；变式2：若x-2=5，则x=若2x-1=3.5，则x=。二.非负数的性质应用例2：若a+3+b-2=0，则a+b=。思考提示：两个最小是0的数加

7、在一起等于0说明什么呢？变式：1：非负数类型玩花样：若(a-1)2+b+2=0，则(a+b)2009=。变式：2：变量个数不断增加：若x+3+y+1+z+5=0，则x-y-z=。总结：若干非负数之和为0，。三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点a,b所表示的数为a,b，则a,b两点间的距离为a-b（例3距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_.（2）若数轴上的点a表示的数为x，点b表示的数为1，则a与b两点间的距离可以表示为_.（3）结合数轴求得x-2+x+3的最小

8、值为，取得最小值时x的取值范围为_.（4）满足x+1+x+43的x的取值范围为_.（5）若x-1+x-2+x-3+l+x-2008的值为常数，试求x的取值范围四.绝对值的最值问题例4.（1）当x取何值时，x-3有最小值？这个最小值是多少？（2）当x取何值时，5-x+2有最大值？这个最大值是多少？（3）求x-4+x-5的最小值。（4）求x-7+x-8+x-9的最小值。（2）当b为_时，5-2b-1有最大值，最大值是_当a为_时，1|a+3|有最小值是_.（3）已知x1,y1，设m=x+y+y+1+2y-x-4，求m的最大值与最小值（4）利用数轴分析x-2+x+3，可以看出，这个式子表示的是x到2

9、的距离与x到-3的距离之和，它表示两条线段相加：当x时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大；当x时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；当x时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况下的值都小。因此，总结，x-2+x+3有最小值，即等于到的距离（5）利用数轴分析x+7-x-1，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差它表示两条线段相减：当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；当x时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值；当x0)(x=0)，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，(x0)如化简代数式x+1+x-2时，可令x+1

10、=0和x-2=0，分别求得x=-1,x=2（称-1,2分别为x+1与x-2的零点值）。在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）当x-1时，原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;（2）当-1x2时，原式=x+1-(x-2)=3；（3）当x2时，原式=x+1+x-2=2x-1。综上讨论，原式=32x-1-2x+1(x-1)(-1xm1,则m_1;3若实数x、y满足2002(x一1)2=-2013x-12y+1，则x2+y2=4.若a+b+1与(a-b+1)2互为相反数，则a与b的大小关系是()aabba=bcabdab5.若|a+b+1|与

11、(a-b+1)2互为相反数，求3a+2b-1的值。6.先求零点值，再化简3x+1+2x-17.当a为_时，3|2a1|有最小值是_；当b为_时，1-|2b|有最大值是_.8.x+1+x-1的最小值是（）a2b0c1d-19.求当x取何值时，x-1+x-2+x-3+l+x-2013有最小值，最小值是多少。求当x取何值时，x-1+x-2+x-3+l+x-2012有最小值，最小值是多少。第三章整式的加减【典型例题】类型一：整体代入法例1、若代数式2y2+3y+7的值是2，求代数式4y2+6y-9的值。例2、设m和n均不为零,3x2y3和-5x2+2m+ny3是同类项,求3m3-m2n+3mn2+9n

12、35m3+3m2n-6mn2+9n3=_.例3、当x=-5时，代数式ax4+bx2+c的值是3，求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值.例4、设f(x)=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f(-7)=7，求f(7)的值.a例4、已知多项式x3+ax2+bx+c中，,b,c为常数，当x=1时，多项式的值是1；当x=2时。多项式的值是2.若x是8和-5时，多项式的值分别是m、n,求m-n的值。类型二：降次法例5、（1999年北京竞赛题）若3x3-x=1，求代数式9x4+12x3-3x2-7x+1999的值。1、如果代数式x2-x+1的值为2，求代数式2x2-3x-3的值。变式

13、练习、若x2+3x-1=0,则x3+5x2+5x+18=_。例6、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0，求代数式1+a+a2+a3+a4+a1995的值.2322、已知x2+x-1=0，求代数式(2x-3)(x+5)+1的值。3、（16届希望杯数学竞赛题）已知x2+2x=3,求代数式x4+7x3+8x2-13x+15的值。4、如果x2+x-1=0,求代数式-x3+2x-7的值。5、已知代数式ax3+bx+c，当x=0时的值为2；当x=3时的值为1，求当x=-3时，代数式的值。6、当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值是多少？7、

14、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p=1-2x+1-3x+1-4x+l+1-9x+1-10x的值恒为一个常数。请求出这个常数。第四章动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1已知点a在数轴上对应的数为a，点b对应的数为b，且|2b6|+（a+1）2=0，a、b之间的距离记作ab，定义：ab=|ab|（1）求线段ab的长（2）设点p在数轴上对应的数x，当papb=2时，求x的值（3）m、n分别是pa、pb的中点，当

15、p移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：pmpn的值不变，|pmpn|的值不变2如图1，已知数轴上两点a、b对应的数分别为1、3，点p为数轴上的一动点，其对应的数为x（1）pa=_；pb=_（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点p，使pa+pb=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由（3）如图2，点p以1个单位/s的速度从点d向右运动，同时点a以5个单位/s的速度向左运动，点b以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，m、n分别是ap、ob的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由3如图1，直线ab上有一点p，点m、n分别为线段pa、pb的中点，ab=14

16、（1）若点p在线段ab上，且ap=8，求线段mn的长度；（2）若点p在直线ab上运动，试说明线段mn的长度与点p在直线ab上的位置无关；（3）如图2，若点c为线段ab的中点，点p在线段ab的延长线上，下列结论：的值不变；的值不变，请选择一个正确的结论并求其值4如图，p是定长线段ab上一点，c、d两点分别从p、b出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线ab向左运动（c在线段ap上，d在线段bp上）（1）若c、d运动到任一时刻时，总有pd=2ac，请说明p点在线段ab上的位置：（2）在（1）的条件下，q是直线ab上一点，且aqbq=pq，求的值（3）在（1）的条件下，若c、d运动5秒后，恰好有，此

17、时c点停止运动，d点继续运动（d点在线段pb上），m、n分别是cd、pd的中点，下列结论：pmpn的值不变；并求值的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论5如图1，已知数轴上有三点a、b、c，ab=ac，点c对应的数是200（1）若bc=300，求点a对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点p、q分别从a、c两点同时出发向左运动，同时动点r从a点出发向右运动，点p、q、r的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点m为线段pr的中点，点n为线段rq的中点，多少秒时恰好满足mr=4rn（不考虑点r与点q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下

18、，若点e、d对应的数分别为800、0，动点p、q分别从e、d两点同时出发向左运动，点p、q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点m为线段pq的中点，点q在从是点d运动到点a的过程中，qcam的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由6如图1，已知点a、c、f、e、b为直线l上的点，且ab=12，ce=6，f为ae的中点（1）如图1，若cf=2，则be=_，若cf=m，be与cf的数量关系是（2）当点e沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中be与cf的数量关系是否仍然成立？请说明理由（3）如图3，在（2）的条件下，在线段be上，是否存在点d，使得bd=7，且df=3de？若

19、存在，请求出值；若不存在，请说明理由7已知：如图1，m是定长线段ab上一定点，c、d两点分别从m、b出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线ba向左运动，运动方向如箭头所示（c在线段am上，d在线段bm上）（1）若ab=10cm，当点c、d运动了2s，求ac+md的值（2）若点c、d运动时，总有md=3ac，直接填空：am=_ab（3）在（2）的条件下，n是直线ab上一点，且anbn=mn，求的值8已知数轴上三点m，o，n对应的数分别为3，0，1，点p为数轴上任意一点，其对应的数为x（1）如果点p到点m，点n的距离相等，那么x的值是_；（2）数轴上是否存在点p，使点p到点m，点n的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由（3）如果点p以每分钟3个单