材料力学第五版课后题答案孙训芳0001

1、材料力学第五版课后答案 (孙训芳编 )习题 2-2 一打入基地内的木桩如图所示， 杆轴单位长度的摩擦力 f=kx*2 ，试做木桩的后力 图。解：由题意可得：l 1 3 3fdx F,有 kl3 F,k 3F /l 3 03FN (x1)3Fx2 /l3dx F(x1 /l)3习题 2-3 石砌桥墩的墩身高 l 10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载 F 1000kN ，材 料的密度2.35kg / m3 ，试求墩身底部横截面上的压应力。解：墩身底面的轴力为：N (F G) F Al g2-3 图1000 (3 2 3.14 12 ) 10 2.35 9.8 3104.942(kN )墩身底面积

2、：A (3 2 3.14 12) 9.14(m2 )因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。N 3104.942kN2A9.14m2339.71kPa 0.34MPa 习题 2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。解：取长度为 dx 截离体（微元体） 。则微元体的伸长量为：r r1r2 r1x，r ll2d1r1d2 d1d1x，2l 2A(x)d2d1x2l2u2，d(d22ld1xdud2 d12ldxdx 2l du， dxd2 d1 A(x)2ld2 d12u(d12ld2) ( duu2)因此，l FF l dxdx0 EA(x)E 0 A(x)2Fll ( d

3、u)2E(d1 d2) 0 u2FdxlFFl dxd( l) ， ldxEA(x)0 EA(x)E0 A(x)ll2Fl 1 2Fl 1E(d1 d2 ) u 0E(d1 d2) d2 d1d1x2l 2 02Fl 1 1 E(d1 d2 ) d2 d1 d1 d1 l2l 2 22Fl 2 2 E(d1 d2 ) d2 d14FlEd1d2E, ，试习题 2-10 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为求 C 与 D 两点间的距离改变量CD 。解：F /A FEEA式中，(a )2(a ) 24a，故：F4EaF，4EaaaF4E4FE ， CD(32 a)2 (

4、34 a)2145a12CD(32a)2(34a)211245 a(CD)CDCD145 (a a)1214512F4E1.003 F4E 习题 2-11 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，材料相同，其弹性模量E 210GPa ，已知 l1m，2A1 A2 100mm ， A3150mm 2 ，F 20kN 。试求 C点的水平位移和铅垂位移。2-11 图 解：（1）求各杆的轴力 以 AB 杆为研究对象，其受力图如图所示。 因为 AB 平衡，所以X 0， N3 cos45o 0， N3 0由对称性可知， CH 0，N1 N 2 0.5F 0.5 20 10(kN )2）求 C 点的水

5、平位移与铅垂位移。A 点的铅垂位移：N1l10000N 1000mm0.476mml11 EA122210000N /mm2 100mm2B 点的铅垂位移：N2ll210000N 1000mm0.476mml2EA2210000N /mm2 100mm21、2、3 杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3 杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到 AB 为刚性杆，可以得到C 点的水平位移：CHAHBHl1 tan 45o 0.476(mm)C 点的铅垂位移：l1 0.476(mm) 习题 2-12 图示实心圆杆AB 和 AC 在 A 点以铰相连接，在A 点作用有铅垂向下的力F 35kN 。已知

6、杆 AB 和 AC 的直径分别为 d1 12mm和 d2 15mm ，钢的弹性模量E 210GPa 。试求 A 点在铅垂方向的位移。 解：（1）求 AB 、AC 杆的轴力以节 点 A 为 研究对 象， 其受力 图如图 所示 。由平衡条件得出：NAC2N AB (a)X 0 ：N AC sin 30o NAB sin 45 o 0Y 0：NAC cos30o N AB cos 45o 35 03NAC2N AB 70 (b)(a) (b)联立解得：N AB N1 18.117kN ；N AC N2 25.621kN2）由变形能原理求 A 点的铅垂方向的位移式中，故：12FN12l1N22l22E

7、A12EA2N12l1F EA1N22l2EA2l1 1000 / sin 45oA10.25 3.141414(mm) ；l2 800 / sin 30o 1600(mm)22122 113mm2 ； A2 0.25223.14 152 177mm21 (181172 1414 256212 1600) 35000 ( 210000 113 210000 177 )1.366(mm)图示 A 和 B 两点之间原有水平方向的一根直径 d0.0035，其材料的弹性模量 E 210GPa ， 习题 2-13C 加一竖向荷载 F。已知钢丝产生的线应变为1mm的钢丝，在钢丝的中点钢丝的自重不计。试求：

8、钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）1）钢丝在 C 点下降的距离 ； 荷载 F 的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力2）3）210000 0.0035 735(MPa)2）求钢丝在l NlEAC 点下降的距离l20007357(mm) 。其中， AC 和 BC 各 3.5mm。E2100001000cos 0.9965122071003.51000 o arccos( ) 4.7867339o 1003.51000 tan 4.7867339 o 83.7(mm)3）求荷载 F 的值以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：Y 0： 2N sina P 0P 2N

9、sina 2 Asin202 735 0.25 3.14 12 sin 4.787096.239(N )习题 2-15 水平刚性杆 AB 由三根 BC,BD 和 ED 支撑，如图，在杆的 A 端承受铅垂荷载 F=20KN, 三根钢杆的横截面积分别为 A1=12 平方毫米， A2=6 平方毫米， A,3=9 平方毫米， 杆的弹性模量 E=210Gpa，求：（1） 端点 A 的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点 A 的铅垂位移。解：（1）l 1 3fdx F ,有 kl3 F033k 3F / l3FN（x1）3Fx2 /l3dx F（x1 /l）3FN3 cos45o 0F N1 F 2

10、 F N 3 sin 45 F 0F 0.45 FN 1 0.15 0F160KN , F1401KN ,F10KN,由胡克定理，FN1l60107 0.153.87l1EA1210109 12 10 6FN 2l40107 0.154.76l2EA2210109 12 10 6从而得，Axl2 4.76，Ayl22 l13 20.2（3 ）2）VFAy F1l1+F2 l 20Ay 20.33（ ） 习题 2-17 简单桁架及其受力如图所示，水平杆 BC 的长度 l 保持不变，斜杆 AB 的长度 可随夹角 的变化而改变。 两杆由同一种材料制造， 且材料的许用拉应力和许用压应力相等。 要求两杆

11、内的应力同时达到许用应力， 且结构的总重量为最小时， 试求：（1）两杆的夹角；（2）两杆横截面面积的比值。解：（ 1）求轴力取节点 B 为研究对象， 由其平衡条件得：Y0N AB sinF 0N ABsinX0N AB cosN BC 0N BCN AB coscos F cot sin2-172）求工作应力N ABABAABFAAB sinN BC F cotBC ABCABC3）求杆系的总重量3W V（ AABl AB ABClBC） 。 是重力密度（简称重度，单位：kN /m3）。(AAB coscosABC )ABCl)4）代入题设条件求两杆的夹角条件： ABN ABAABFAAB s

12、inAABF sinBCN BCABCF cotABC，F cot条件： W 的总重量为最小。1Wl （AAB 1cosABC )l(AABcosABC )l( FsincosF cot ) )Fl ( 1 cos ) sin cos sinFl 1 cos2sin2Fl 12 cos sin 2从 W 的表达式可知，W是角的一元函数。当W 的一阶导数等于零时， W 取得最小值。dW 2Fl2cossinsin 2 (12cos ) cos2 20cosdsin 2 2sin2 23 cos2cos222022sin 2 3cos2 cos 2 03cos2 1 ， cos2 0.33332

13、arccos( 0.3333) 109.47o ，54.74o 54o445）求两杆横截面面积的比值 sinF cotAABF11 sinABCF cotsin cotcos因为：3cos21， 2cos2121 ， cos31 cos 3，13，cos3， ABC13所以：AABABC习题 2-18 一桁架如图所示。各杆都由两 个等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa ，试选择 AC 和 CD 的角钢型号。解：（ 1）求支座反力由对称性可知，RA RB 220kN（ ）（ 2）求 AC 杆和 CD 杆的轴力以 A 节点为研究对象，由其平 衡条件得：Y0RA N AC cos02-18

14、NACRA220 366.667(kN)sin 3/5以 C 节点为研究对象，由其平衡条件得：NCDNCDN AC cosNAC cos3）由强度条件确定AC 杆：N AC选用 2 80CD 杆：ACDNCD选用 2 752204/5 293.333(kN)3/5AC、CD 杆的角钢型号366667 N 2 2156.86mm2 21.569cm2170N /mm7(面积 2 10.86 21.72cm2 )。293333N 2 1725.488mm2 17.255cm2170N /mm26 (面积 2 8.797217.594cm2 )。 习题 2-19 一结构受力如图所示，杆件AB 、CD

15、、EF、 GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力 170MPa ，材料的弹性模量E 210GPa ，杆 AC 及 EG 可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A 处的铅垂位移D、C、A。解：（1）求各杆的轴力3.240.8N AB300240(kN)NCD30060(kN)2-19NGH3001.5 60 1.2 0NGH(45072) 174(kN)Y0N EF174 60 300 03）求点 D 、N EF 186( kN )2）由强度条件确定 AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆：AN ABAAB 240000N221411.765mm 2 14.12cm217

16、0N / mm2选用 2 9056 5（面积 227.212 14.424cm2 )。CD 杆：AN CDACD 60000N22352.941mm2 3.529cm2170N / mm2选用 2 4025 3 （面积 221.89 3.78cm 2)。EF 杆：AN EFAEF 186000N1094.118mm 2 10.412cm22170N / mm选用 2 7045 5（面积 225.609 11.218cm2 )。GH 杆：AN GHAGH 174000 N221023.529mm 2 10.353cm2170N /mm2选用 2 7045 5（面积 225.609 11.218c

17、m2 )。N AB l AB2400003400ABEAAB2100001442.4NCDl CD600001200CDEACD210000378N EFl EF1860002000EFEAEF2100001121.8C、 A 处的铅垂位移l2.694 2.7(mm)l0.907(mm)l1.580(mm)GHNGH lGHEAGH174000 2000210000 1121.81.477(mm)EG 杆的变形协调图如图所示。D lGH1.8l EF lGH3D 1.477 1.81.580 1.477 3D 1.54(mm)CD lCD 1.54 0.907 2.45(mm)AlAB 2.7

18、(mm) 习题 2-21 （1）刚性梁AB 用两根钢杆 AC、 BD 悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆 AC和 BD 的直径分别为 d125mm和d2 18mm ，钢的许用应力 170MPa ，弹性模量210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形l AC 、 lBD 及 A 、B 两点的竖向位A、B 。解：1）校核钢杆的强度求轴力3NAC1004.51.5NBC100计算工作应力66.667(kN)33.333(kN)ACN ACAAC66667 N220.25 3.14 252mm2135.882MPaBDN BD 33333N22ABD0.25 3.14 182 mm22-21131.

19、057MPa因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ，即 AC ；BD ，所以 AC 及 BD 杆的强度足够，不会发生破坏。2）计算 lAC 、 lBDl ACN AClACEAAC66667 2500210000 490.6251.618(mm)l BDN BDlBDEABD33333 2500210000 254.341.560(mm)3）计算 A、B 两点的竖向位移AlAC 1.618(mm) ， Bl BD 1.560(mm)习题 3-2 实心圆轴的直径 d 100mm，长 l1m ，其两端所受外力偶矩 M e 14kN m，材料的切变模量 G 80GPa 。试求：1）最大

20、切应力及两端面间的相对转角；（ 2）图示截面上 A、B、C 三点处切应力的数值及方向；（3）C 点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角maxTWpWp13式中，Wp 116 d31 3.14159 1003 196349(mm3 ) 。163-2故：maxMeWp14 106 N mm196349mm371.302MPaTlGI p式中，Ip1 d 4321 4 43.14159 1004 9817469( mm4 ) 。故：32TlGI p14000 N m 1m9 2 12 480 109 N / m2 9817469 10 12 m40.0178254(rad ) 1

21、.02o2）求图示截面上 A、 B、C 三点处切应力的数值及方向max71.302MPa ， 由横截面上切应力分布规律可知：0.5 71.302 35.66MPa ， A、B、C 三点的切应力方向如图所示。3）计算 C 点处的切应变35.66MPa380 103 MPa4.457510 40.446 10 习题 3-3 空心钢轴的外径 D 100mm，内径 d 50mm。已知间距为 l 2.7m的两横截面的相对扭转角1.8o ，材料的切变模量 G 80GPa 。试求：（1）轴内的最大切应力；（ 2）当轴以 n 80r /min 的速度旋转时，轴所传递的功率。 解；（ 1）计算轴内的最大切应力I

22、p132D4(14)132443.14159 1004 (1 0.54 )9203877(mm4)Wp116D3(14)1163.14159 1003(10.54)184078(mm3)式中，d/D。Tl，GIp，TGI p1.83.14159 / 180 80000N /mm29203877mm4l2700mm8563014.45N mm 8.563(kN m)T 8563014.45N mmmax3 46.518MPaWp184078mm32）当轴以 n 80r /min 的速度旋转时，轴所传递的功率NkN kT M e 9.549 k 9.549 k 8.563（kN m）n80Nk 8

23、.563 80 / 9.549 71.74（kW ）习题 3-5 图示绞车由两人同时操作， 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0.2kN ， 已知轴材料的许用切应力 40MPa ，试求：（ 1）AB 轴的直径； （2）绞车所能吊起的最大重量。解：（ 1）计算 AB 轴的直径AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等：M e左M e右 0.2 0.4 0.08(kN m)M e 主动轮2M e右0.16(kN m)3-5扭矩图如图所示。由 AB 轴的强度条件得：maxM e右Wp16Me右d3d316M e右 3 16 80000N mm3.14159 40N / mm2

24、21.7mm2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：M e主动轮M e从动轮0.20.35 ，M e从动轮0.350.200.16 0.28( kN m)由卷扬机转筒的平衡条件得：P 0.25 M e从动轮 ， P 0. 250.28P 0.28 /0.25 1.12( kN) 习题 3-6 已知钻探机钻杆（参看题 3-2 图）的外径 D 60mm，内径 d 50mm，功率P 7.355kW ，转速 n 180r / min ，钻杆入土深度 l 40m ，钻杆材料的 G 80GMPa ，许用切应力 40MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的， 试求：m；（1）单

25、位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度（ 2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； （3）两端截面的相对扭转角。解：（1）求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度M e 9.549 N k n9.549 7.3551800.390(kN m)设钻杆轴为 x 轴，则：M x0，ml M e ，M e 0.390 0.00975(kN / m) l 402）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图T(x) mx 0.39x400.00975x 。 x 0,40T (0) 0 ； T ( 40)Me0.390(kN m)扭矩图如图所示。强度校核，maxMeWp式中，Wp116 D3(14)1 3.141591660

26、3150(5600)4 21958(mm3)maxMeWp390000N mm21958mm317.761MPa因为max17.761MPa ， 40 MPa ，即max ，所以轴的强度足够，不会发生破坏。3)计算两端截面的相对扭转角40 T(x)dx0 GI p1 式中， I p 312D4 (14)1 35600)4 658752(mm4)40|T(x) |dx0GI p1GI p400.00975xdx02x240080 106kN/m2 658752 10 12m4 2 00.009750.148(rad )8.50T M e 6kN m 。 d，则 s ，2

27、中， 习题 3-8 直径 d50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶M e 6kN m ，而在圆杆表面上的 A 点将移动到 A1 点，如图所示。已知 s AA1 3mm ，圆杆材料的弹性模 量 E 210GPa ，试求泊松比 (提示：各向同性材料的三个弹性常数E 、 G、 间存在如 下关系： G 。2(1 )解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：设 O,O1 两截面之间的相对对转角为2 s T l 2 sGI PIp132d41 4 43.14159 504 613592(mm4 )3-8Tl2I p s6 106 N mm 1000mm 50mm4613592mm4 3mm81487.372M

28、Pa 81.4874GPa由 GE2(1）得：210E11 2G 2 81.48740.289 习题 3-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为 d0，且 d 0 0.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力max ），扭矩 T 相等时的重量比和刚度比。解：（ 1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。maxTWp式 中 ， Wp116D3 (14)故：16Tmax, 空 3 4D3 (1 0.84 )27.1TD3D3 27.1T3-101）求实心圆轴的最大切应力maxTWp ，式中，Wp

29、16d3，故：16T 16T max,实3 3 ddd316T ， ， 16T27.1T1.69375 ，D 1.192 d3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空 0.25 (D 2 d02) l20.25 d 2 lW实2 (1 0.82 ) 0.36( D ) 2 0.36 1.1922 0.512 d4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比I p空312 D4(1 0.84 )0.01845 D4，I p实1 d4320.03125 d4GI p空GI p实0.01845 D 40.03125 d 40.5904( D )4 d0.5904 1.19241.192习题 3-11 全长为 l ，两端

30、面直径分别为 d1,d2 的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩 ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体dx ，则其两端面之间的扭转角为：M edxGI P式中，Ip32d4r r1 x r2 r1 lrr2 r1 x r1d2 d1d1x2l 22rd 2 d1d1d2 d1( 2 1 xd1)32Mell duG(d2 d1) 0 u4d2 d1ldu dx ， dx du ld2 d1故l Medx M e l dx Me l 32dx 32M e l 1 l4 4 du0 GI p G 0 Ip G 0 d4G 0 u4 d2 d132M ell duG(d2 d1

31、) 0 u 432M el 1 lG(d2 d1) 3u3032Mel3 G(d2 d1)1d2 d1xl3d132M el1 13 G(d2 d1 ) d23 d1332M el3G(d1 d2 )33d1 d233d1 d2232M el d123Gd1d2 d22d13d23 习题 3-12 已知实心圆轴的转速300r /min ，传递的功率p 330kW ，轴材料的许用切应力 60MPa ，切变模量80GPa 。若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过 1o，试求该轴的直径。解：TlGI PMelGI p1 180式中， M e9.549nNk 9.549 330 10.504(kN m

32、)； Ip 1 d4。故：300 p 32Ip180M el3232 180M el42G取 d 111.3mm 。d4180M el64 32 180 10.504 106 N mm 2000mm 111.292mm223.142 80000N / mm2 习题 3-16 一端固定的圆截面杆 AB，承受集度为 m 的均布外 力偶作用， 变模量为如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切 G。解： dV2T 2 (x)dx2GIm2x2dxG 1 d4322216m 2 x 2 dxd4G3-1616m2d4Gx2dx016m2l33 d 4G23ml146d 4G32m2l36GI pF

33、如图，簧丝直径 d 10mm，材料的许 习题 3-18 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力用切应力 500MPa ，切变模量为 G，弹簧的有效圈数为 n 。试求：1）弹簧的许可切应力；2）证明弹簧的伸长1G6dF4n (R1 R2)(R21 R22)。解：（ 1）求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧 杆横截面上：剪力 QF 扭矩 T FR最大扭矩：TmaxFR2max4F2W pd2Tmax16FR2d316FdR32(14dR2) ，Fd 3 d)33.14 10316R2(1 4R2mm3 500N /mm210mm16 100mm(1 )4

34、 100mm957.3N因为 D/d 200/10所产生的剪应力可以忽略不计。此时d 3 d）20 10，所以上式中小括号里的第二项， 即由 QF3.14 103 mm3 500N/ mm216R2(1 4R216 100mm981.25N2）证明弹簧的伸长1G6dF4n(R1R2)(R21 R22 )1外力功： W 1 F2dU2T 2(R d )2GIpU022 n (FR)2 (R dF24GIp2GIpF22GIp2nR3dF22GIp2n0 R1R2 R12n3dR24R2R14R1W U ， 1F2F2n4GIpR24 R14R2 R1F n R242GIpR2 R14R14 16

35、F n 24 (R1 G d 4 12R22 )(R1 R2 ) 习题 3-19 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶G 80GPa ，试求：开口：Mem ax,开口It3It 13 2 r0r01）杆内最大切应力的大小、位置和方向；2）横截面短边中点处的切应力；3）杆的单位长度扭转角。解：（1）求杆内最大切应力的大小、位置和方向， ， ， 由表得 ，长边中点处的切应力，在上面，由外指向里2）计算横截面短边中点处的切应力MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上（3）求单位长度的转角单位长度的转角 习题 3-23 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面，其壁厚及管壁中线的周长均相同。 两杆的长度和材料也

36、相同， 当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时， 试求：（ 1） 最大切应力之比；（ 2） 相对扭转角之比。解：（1）求最大切应力之比依题意： 2 r0 4a ，故：1I t 3 2 r04a 33MeMe3M闭口：MeM e ，max,开口3Me2a23amax,闭口max,闭口2 A02，2a2max,闭口4a 2Me23）求相对扭转角之比开口：I t 1 2 r033233 r04a 3开口TMe3Me3GItGIt4Ga 3闭口： TsMesM e 4 aMe闭口 2闭口 4GA0224GA0244Ga4Ga3max,开口It4 a 34a2开 口3M e Ga33a2闭口4Ga M e

37、44-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩a（ 5） =h（ 4）FRAFRBq022aq0aFS1 1q0a1q0 aa3q0a22411a11M 1 1q0aq0 aq0a22312 00,M 2 22a 12S2 2q0aq0 2a2a43q0ab（ 5）=f （4）4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程， 并作剪力图和弯矩图a（ 5） =a（ 4）b（5）=b（4）f （5）=f （4）4-3 试利用载荷集度，剪力和弯矩间的微分关系做下列各梁的弯矩图和剪力e 和 f 题)f)h)4-4 试做下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。4-4b）4-54-5 根据弯矩、剪力与荷载集度之间的关系指出下列玩具和剪力图的错误之处，并改正。4-6 已知简支梁的剪力图如图所示，试做梁的弯矩图和荷载图，梁上五集中力偶作用。4-6（a）4-7（ a）4-7 根据图示梁的弯矩图做出剪力图和荷载图。4-8 用叠加法做梁的弯矩图。4-8 （ b）4-84-9 选择合适的方法，做弯矩图和剪力图。4-9（ b）4-9c）if0 =0=/Z (器巧m 论二b:(W) fil)匕6二严w購(l)谓梆円紳側浦刑徂观叭w谊必溺蒯囲“倾咖為卿丁珮珊14 加or4-184-14