有理数加减乘除乘方

1、有理数基础知识正数和负数正数和负数的概念负数 比 0 小的数；正数 比 0 大的数0 既不是正数，也不是负数 字母 a可以表示任意数，当 a表示正数时， -a 是负数；当 a表示负数 时，-a 是正数；当 a 表示 0时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数 是正数， 带负号的数是负数， 这种说法是错误的， 例如 +a,-a 就不能做出简单 判断） 正数有时也可以在前面加“ +”，有时“ +”省略不写。所以省略“ +” 的正数的符号是正号。2. 具有相反意义的量若正数表示某种意义的量， 则负数可以表示具有与该正数相反意义的量， 比如：零上 8表示为： +8；零下 8表示为： -8 3.

2、0 表示的意义0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数有理数1. 有理数的概念正整数、 0、负整数统称为整数（ 0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的 数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像 -2,-4,-6,-8 也 是偶数， -1,-3,-5 也是奇数。2. 有理数的分类总结： 正整

3、数、 0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、 0 统称为非正整数 正有理数、 0 统称为非负有理数 负有理数、 0 统称为非正有理数四对定义： 正负数 负数 比 0小的数；正数 比 0大的数； 0既不是正数，也不是负数0 是偶奇偶数 整数中，能表示成 2 的整数倍的数，都是偶数；否则就是奇数。注意： 数 非正数、非负数非正数 就是 0 和 所有负数 的合称。 非负数 就是 0 和 所有正数 的合称 有理数、无理数有理数：有理数分为正有理数，负有理数， 0。有理数都可以化为小数，其中 整数可以看作小数点后面是零的小数，只要是无限循环小数的都叫有理数 无理数：无限不循环小数。1. 正负数例 1

4、：按要求选择下列各数：8 ，3 ，0 ，-1.5 ，14 ，-0.037 ，+0.62 ，-3 ，98 ，+2，-7属于整数集合的有 _ 属于分数集合的有 属于正数集合的有 属于负数集合的有 属于正整数集合的有 属于负整数集合的有 正分数集合的有 属于负分数集合的有 属于非整数集合的有 属于非负数集合的有 属于非负整数集合的有 属于非正整数集合的有 例 2 主动学习网饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有 “60030（mL）字样，请问“ 30mL”是 什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603mL，611mL，589mL，573mL， 627mL，问抽查产品的容量是否合格？ 练

5、习：1. 若密云水库的水位比标准水位高出 3cm 记为 3cm，某月的水位记录中显 示， 1日水位为 5cm，2日水位为 1cm，3日水位为 4cm，则（）A. 1 日与 2 日水位相差 6cmB. 1 日与 3 日水位相差 1cmC. 2 日与 3 日水位相差 5cmD. 均不正确2. 篮球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负 数，检查的结果如下表：篮球编号12345与标准质量的差（克）+4+7-3-8+9最接近标准质量的是 号篮球；质量最大的篮球比质量最小的篮球重克.3. 判断： 1）最小的自然数是 1；2）最小的整数是 1；3）一个有理数的倒数 等于它本身，则这个

6、数是 1；数轴数轴的概念规定了 原点，正方向，单位长度 的直线 叫做数轴。 注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2. 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示 ，正有理数可用原点 右边 的 点表示，负有理数可用原点 左边的点表示， 0 用原点表示。数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于

7、负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数最小的正整数是 1，无最大的正整数最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数5. a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a0；a0表示 a是负数；反之， a 是负数，则 a0a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0，则 a=06. 数轴上点的移动规律根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。2. 数 轴例 3 在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“0 时， -a0 （正数的相反数是负数）当 a0

8、 （负数的相反数是正数）当 a=0时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0）6. 多重符号的化简多重符号 的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果， 可以直接省略 ； “- ”号的个数决定最后化简结果；即： “ - ”的个数是奇数时，结果为 负， “- ”的个数是偶数时，结果为 正。4. 相反数例5（1）3与互为相反数； 0的相反数是 .（2） m 的相反数是 ， m 1的相反数是 ， m 1的相反数 是 .（3）已知 a 9,那么 a 的相反数是 . 已知 a9 ，则 a 的相反数是 .例 6 如果 a 0 ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数（1） （ a） （2） （ a）（

9、3）（ a） （4）（ a）例 7 一个数的相反数的倒数是 -4, 这个数是 如果 a 与 -3 互为相反数, 那么 a 等于（ ）绝对值绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的 距离叫做 a 的绝对值，记作 |a| 。2. 绝对值的代数定义一个 正数的绝对值是它 本身； 一个负数的绝对值是它的 相反数； 0 的绝对值是 0.可用字母表示为： 如果 a0，那么 |a|=a ； 如果 a0，那么 |a|=-a ； 如果 a=0，那么 |a|=0 。可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的 数是非负数。）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反

10、数；绝对值等于其 相反数的数是非正数。）3. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说 绝对值具有非负性 。所 以，a 取任何有理数，都有 |a| 0。0的绝对值是 0；绝对值是 0的数是 0.即： a=0 |a|=0 ；一个数的绝对值是非负数， 绝对值最小的数是 0. 即：|a| 0；任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| a；绝对值是相同正数的数有两个， 它们互为相反数。 即：若|x|=a （a0）， 则 x= a；互为相反数的两数的绝对值相等。 即：|-a|=|a| 或若 a+b=0，则 |a|=|b| ； 绝对值相等的两数 相等或互为相反数 。即： |a|=|b| ，则

11、 a=b 或 a=-b；若几个数的 绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0（非负数的常用性质： 若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数 同时为 0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较， 左边的总比右 边的小；利用绝对值比较两个 负数 的大小：两个负数比较大小， 绝对值大的反 而小 ；异号两数比较大小，正数大于负数 。5. 绝对值的化简当 a0 时 |a|=a 当 a 0 时 |a|=-a6. 已知一个数的绝对值，求这个数一个数 a 的绝对值 就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离 ， 一般地，绝 对值

12、为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0， 没有绝对值为负数的数。5. 绝对值例 7：求绝对值 . ：（ 1）0.5 ； （2） 1 ；（3）（ 3）；（ 4） 1.5 .例 8 已知 x =4， y =6，求代数式 x+y的值 .练习：1、2 的倒数是2. 计算5 ( 4.8) 2.3 =.3. 绝对值不大于 3 的整数有4. 已知 x 3, y 2,xy 0,则x y的值是 有理数的加减法1. 有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；并用较绝对值不相等的 异号 两数相加，取绝对值较大的加数的符号 大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相

13、加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律： a+b=b+a加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加 “相反数结合法”； 符号相同的两个数先相加 “同号结合法”； 分母相同的数先相加 “同分母结合法”； 几个数相加得到整数，先相加 “凑整法”； 整数与整数、小数与小数相加 “同形结合法”。3. 加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加于原数。即 当 b0 时， a+ba 当 b0 时， a+b0，则 b 0计算题 2 的数是 ，立方等于 1

14、 的数是 ； 64 644、一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2003 次幂是5、平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是 ；6、7、为3 3，3 3，33；4，4，4；2 73， 2 74， 2 75的大小关系用“”号连接可表示3、2003113135、233232327、222323、4254539、26243212710221323有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。1 6 1241 ( 76) (122)( 16 50 3 2

15、) ( 2)5( 6) 8 ( 2)3 ( 4)2 52(232)11997 (1 0.5) 1332 2 2 232 ( 23)2214 (1 0.5) 13 2 ( 3)22( 2 1) 034 3 2( 81) ( 2.25) ( 4) 16 ( 3)294科学记数法把一个大于 10的数表示成 a 10n 的形式（其中 1 a 10， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。一、选择题1、57000用科学记数法表示为（A、57103B、5.7 104C、5.7 105D、0.57 1052、3400=3.410n，则 n 等于（A、B、3C、D、53、 72010000000= ，则的值

16、为（A、7201B、 7.201C 、 7.2D、7.2014、A、20B 、21C、22D、23若一个数等于 5.8 1021，则这个数的整数位数是（5、我国最长的河流长江全长约为 6300 千米，用科学记数法表示为 （ ）A、 63 102千米B、6.3 102千米C、6.3 103千米D 、 6.3 104千米6、今年第一季度我国增值税、消费税比上年同期增收3.071010元, 也就是说增收了 ( )A、30.7 亿元B、307亿元C、3.07 亿元D 、3070 亿元二、填空题1、3.65 10175是位数，0.12 1010 是位数；2、把 3900000用科学记数法表示为，把 1020000 用科学记数法表示为 ；3、用科学记数法记出的数 5.16 104的原数是，2.236108 的原数是；4、比较大小：4 3 4 43.01 1049.5 103；3.011043.10 104；5、地球的赤道半径是 6371 千米，用科学记数法记为 千米6、18 克水里含有水分子的个数约为，用科学记数法表示为；7、我国建造的长江三峡水电站，估计总装机容量达16780000 千瓦，则用科学记数法表示的总装机容量为 ；8、实施西部大开发战略是党中央的重大决策，我国国土面积约为960 万平方千米，而我国西部地区占我国