(完整word版)4-3-6燕尾定理.教师版0001

1、燕尾定理 4-3-6 燕尾定理 题库page 1 of 22 例题精讲 燕尾定理： 在三角形 ABC中，AD , BE , CF相交于同一点 0，那么S ABO : S ACBD : DC . D 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为UABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这 个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何 一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 通过一道例题证明一下燕尾定理： S : S4 = S2 : S3 = BD : DC 如右图，D是BC上任意一点，请你说明: 【解析】三角形

2、BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底， 所以有 S：S4二BD:DC ;三角形 ABE与三角形 EBD同高，Si: S = ED : EA ;三角形 ACE与三角形 CED 同高，S4： 又 AE:EC =1:3，所以 S aoc =4S.a OE 则 S AOB =2S A OC =2 4S a OE =8S a OE , 所以 0B : 0E =S AOB : S AOE =8:1 【答案】8:1 【例5】如图9, 三角形 BAC的面积是1, E是AC的中点，点 D在BC上，且BD:DC=1:2 , AD与BE交 于点F , 【考点】燕尾定理 【关键词】希望杯，五年级，初赛，第二

3、十题， 【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值, 则四边形DEFC的面积等于 【难度】3星【题型】填空 6分 其他条件给出的实际上式比例的关系，由此我们初步可以 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它 D 判断这道题不应该通过面积公式求面积。 进行改造，那么我们需要连一条辅助线, 【答案】 【例6】 方法一：连接 CF，因为AE=EC,DC=2BD，三角形 ABC的面积是1, 、 1111 所以 S ABDS ABC ,S ABE S UA 3 UA 3-2 SabfBD1 S|_ACFDC2 所以 S|_ABF = S|_ABC = , S AFE 44- 根据燕尾定理， 所

4、以阴影部分的面积分面积是 方法二：连接DE，由题目条件可得到 S 0DE = 1 S ADC 2 而 S|_CDE 1 2 S XXX 23 2 1 S ABC 2 - ABC = 2 S ABF AE 1 S_CBFEC J 244 1_1仝 3 412 S ABDS ABC 3 111c S ABC 23 2- 1 一 ? 3 1 =12 3。所以阴影部分的面积为 5 。 12 5 12 点E在 =4， AB上，点F在AC上， 则 S BPC_ BF与CE相交于点P，如果 ABC 中， S BEP = S CFP 如图 S四边形AEPF A 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空 【解析

5、】连接EF , AP . 根据题意，不难得出EF II BC，那么CF :FA=BE:EA； 而 CF : FA = S bpc : S bpa ； BE : EA = S bpc : S apc ； 所以，Sbpa二Sac所以，AP平分四边形AEPF，那么BE:EA =2:1 . =12 S.Bpc ： S apc = BE ： EA = 2:1 ,S bpc 【答案】12 【例7】 如图4，三角形田地中有两条小路 AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道 DF = DC，且AD = 2DE。则两块田地 ACF和CFB的面积比是 A B 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空

6、【关键词】希望杯，六年级，复赛，第十一题，5分 【解析】 方法一、ACF和CFB为同高三角形，所以面积比等于底边比AF:FB。 过F作BC的平行线，交 AE于G,则因为DF = DC，所以三角形 CED和FGD全等，GD = DE。又因 为AD=2DE，所以D和G是AE的三等分点，所以 AF:FB=AG:GE=1:2。 DF A 方法二、连接 BD，设 Saced -1 (份)，则 Sa acSa adf =2。 x 1 = yx =3 设 Sa bed =XSa bfd = y，则有 J小，解得！, ，2x = y +2=4 所以 Sa acf : Sa cfb =(22) : (43 1)

7、=1： 2。 【答案】 1:2 C E B 2平方厘米，EC =2DE， F是DG的中点阴影部分的面积是多少 【例8】 如图，长方形 ABCD的面积是 平方厘米？ 【考点】 【解析】 【难度】4星 燕尾定理 设 def y 【题型】解答 =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S阴影 55 =Sa BCD-平方厘米 1212 【答案】12 【例9】 如图所示，在四边形 ABCD中，AB=3BE , 边形BODC的面积为 AD=3AF，四边形 AEOF的面积是12，那么平行四 【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空 【解析】 连接 AO, BD，根据燕尾定理 Sa abo : Sa bdo =

8、AF : FD =1： 2,Sa aod : Sa bod =AE : BE =2:1，设 Sa beo =1 , 则其他图形面积，如图所标，所以Sbodc =2Saeof =2 12 =24. 【答案】24 AF与CE交于G，则四边 【例10】ABCD是边长为12厘米的正方形， E、F分别是AB、BC边的中点, 形AGCD的面积是 平方厘米. 【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空 【解析】连接AC、GB，设Sa g =1份，根据燕尾定理得Ssgb=1份，Sabgc=1份，则S正方形=(1 + 1+) 2=6 份， SadCG =3+1=4份，所以 Sadcg =12 2 所以S AEG匚

9、3 SABF 2 311 且 EG HFEC EC，故 CG=GE，则 S cgf =1 S aeg =5 . 3 422 所以两三角形面积之和为 10 15 . （法2）如上右图，连接 AC、BG . 根据燕尾定理，S. abg ： S. acg = BF ： CF =3:1 , s Bcg : s ac = BE : A = 2 :1 , *6x4=96 (cm2) 【答案】96 【例11】如图，正方形ABCD的面积是 面积是平方厘米. 120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形 BGHF 的 【考点】燕尾定理【难度】4星【题型】填空 【解析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD

10、=1:2,设S bhc -1份，根据燕尾定理S chd =2份，S bhd =2份, 12 77 因此S正方形=(1 2 2) 2 =10份，Sbfhg，所以Sbfhg =1201014(平方厘米). 2 3 66 【答案】14 11 【例12】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE =丄AB , CF=BC , AF与 3 4 CE相交于G，若矩形 ABCD的面积为120，则. AEG 与 CGF的面积之和为 . 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空 【关键词】清华附中，入学测试题 【解析】(法1)如图，过F做CE的平行线交 AB于H，则EH : HB=CF :

11、FB=1:3 , AG:GF =AE:EH =2，即 AG =2GF , 1 所以 AE EB =2EH , 2 -丄 ABCD =10 942 1 3 312 所以 S ABG, S ABC60 = 30 , S BCG, S abc 3 +2 +1泾 2止 3 +2 +1心 11 则 S AEG S ABG =10 , S CFG S BCG =5 , 所以两个三角形的面积之和为15. 60 = 20 , 【答案】15 【例13】正六边形A，A， 六边形各边的中点; 平方厘米. A3, A4, A , A6的面积是2009平方厘米，B1, 那么图中阴影六边形的面积是 B2 ,B3 , B4

12、 , B5 , B6 分别是正 A3 3 【题型】填空 【考点】燕尾定理【难度】3星 【关键词】迎春杯，六年级，初赛 【解析】（方法一）因为空白的面积等于 A2A3G面积的6倍，所以关键求 A2A3G的面积，根据燕尾定理可 33 11 得Saa2agSa7S正六边形，但在 A1A2A3用燕尾定理时，需要知道 ADAsD的长度比, 77 3 2 连接AA3,A6A3,AG,过B6作AA2的平行线，交 AA于E，根据沙漏模型得 AD二DE,再根据金字塔 模型得 A1E=A3E,因此 AD:A3D =1:3,在厶 A1A2A3 中，设 Sa a21 份，贝 V Sa a2a33 份，Sa a3a13

13、 份，所以SM2A3G S A1 A2 A3 3S3 11S1 S =7s aa2a, =7尺25正六边形=14 5正六边形, 4 因此S阴影（16）S正六边形2009 =1148 （平方厘米） 147 （方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正 六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为 -2009 =1148（平 14 方厘米） 3 4- 3-6燕尾定理 题库page 17 of 22 【答案】1148 【例14】已知四边形ABCD , CHFG为正方形, Sp ：S乙 =1:8 ,a与b是两个正方形的边长，求a:

14、b=? 【例15】右图的大三角形被分成 是. 【考点】燕尾定理【难度】3星 【题型】解答 【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目 条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾， 那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO、AF， 根据燕尾定理 :Sa aoe : aof = a ： b， S aof : Sa eof = a ： b 22 所以 Saaoe : Saeof =a : b，作 OM 丄 AE、ON 丄 EF , / AE =EF 2 2 二 OM :ON =a :b 33 S甲:S乙=a :

15、 b 1:8 二 a:b =1: 2 【答案】1:2 5个小三角形，其中 4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空 【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的 字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解我们发现右图三角形中存在一个 比例关系： 2 : S阴影二13 :4，解得S阴影二2 . 方法二：回顾下燕尾定理，有 2:（S阴影4）1:3，解得 為影=2. 【答案】2 【例16】如右图，三角形 ABC中，AF :FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC的面积是1，

16、则三角 形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为. C 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空 【关键词】学而思杯，六年级 【分析】连接AH、BI、CG 222 由于 CE: AE =3: 2，所以 AE AC，故 S abeS-ab 5 55 根据燕尾定理，Sacg : s abg =CD : BD =2 :3 , S bcg : S abg =CE : EA =3: 2，所以 兰,S bcg二卫 1919 同样分析可得 那么S AGE 2 5 19 S ach 9 19 8 95 EG : EH = SCG : ：AC H= 4 : 9, EG:EB 二 S.acg：

17、S acb =4:19，所以 EG:GH :HB =4:5:10，同样分析可得 AG:GI :ID =10:5: 4 , 5 所以 S BIE S B， 10洋 1 【答案】丄 19 1吟5 V，Sghi唏SBIE嗥圮 【巩固】 如右图，三角形 ABC的面积. ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI的面积是1,求三角形 S ACG : S ABG : S BCG -4 : 6 : 9，贝V S ACG 4-3-6 燕尾定理 题库page 23 of 22 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答 【解析】连接BG, S agc = 6份 根据燕尾疋理，Sa ag

18、c : S bgc = AF : FB =3： 2 = 6:4 , S abg : Sa agc = BD : DC = 3： 2 =9 ： 6 Sa abg =9（份）,则 Sa ABC = 19（份），因此 Sa agc Sa ABC 19 同理连接AI、 CH 得 Sa abh 6 Sa bic 6 S ABC 19 SA ABC 19 19-6-6-6 1 所以亠巴= Sa ABC 19 19 得 sa bgc - 4 （份）, 三角形GHI的面积是1，所以三角形 ABC的面积是19 【答案】19 【巩固】如图，JABC中BD =2DA , CE =2EB , AF =2FC，那么.A

19、BC的面积是阴影三角形面积的 倍. C 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【分析】如图，连接AI 根据燕尾定理，S bci : S aci = BD : AD =2:1 , S恵ci : Sbi =CF : AF =1： 2 , 所以，S ACI : S BCI : S ABI =1:2:4 , 那么SBCI =1 2 4SAbc = S ABC 同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的-，所以阴影三角形的面积等于ABC面积 7 的1 一？ 3=1，所以 ABC的面积是阴影三角形面积的7倍. 77 【答案】7 【巩固】如图在 ABC中，匹=邑=空

20、，求GHI的面积的值. DB EC FA 2 ABC 的面积 【解析】 Sa abg =4（份）,则S ABC =7（份），因此 Sa agc SA ABC 2 =-,同理连接AI、CH得 7 2 ABH 2 SA BIC Sa ABC 7 Sa ABC 得 Saagc =2（份）, - 7 GHI SA ABC 所以 1-2-2-2 1 7_7 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答 连接 BG,设 Sbgc =1 份，根据燕尾定理 Saagc : 如图（2）根据燕尾定理，得到 S.QegSdfg = 2:3 =040.6 ； 如图（3）; GD:GA20 =，由于 ED / BA ,那么

21、 EG:GB =1：6 ,同理 FG:GC =1：6 ,那么 ABC 的面积为（1 2 3）6=36。本题使用了燕尾定理、相似三角形等性质，学生不需要进行严格地证明， 知道结论并会使用它解题即可。 (1) 4个同样大小的三角形可以组 方法二：因为三角形 DEF所给条件最多，先来关注这一三角形。由 成如下图的正方形，面积为 4,所以边长为2,故EF=2。要使已知条件与三角形 ABC产生联系, 则将三角形AEF视为一个整体，面积为EF 0吃=6 ,所以三角形ABC的高h=6。再观察下面的正方 形，可以发现，对于等腰直角三角形，从顶点做的高为斜边长度的一半，故BC=2h=12，所以三角 形ABC的面

22、积=BC0吃=12 6吃=36 【答案】36 【例20】如图，三角形 ABC的面积是1 , 写出这9部分的面积各是多少 ？ BD =DE =EC , CF =FG =GA，三角形 ABC被分成9部分，请 4-3-6 燕尾定理 题库page 29 of 22 【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答 【解析】 设BG与AD交于点P, BG与AE交于点Q , BF与AD交于点 M , BF与AE交于点N.连接CP, CQ , CM , CN. 根据燕尾定理，ABP : SCBP = AG : GC =1:2 , ABP : ACP = BD : CD =1:2，设 ABP = 1 （份），则 1

23、SABC =1 2 2=5（份），所以 Saabp 二 5 2 1 1 2 1 3 1 2 1 同理可得， Sa abq ,Sa abn ，而 Sa abg : 一5 所以 Sa apq = 5 Sa aqg =- 7 2 3 7 5 35 3 7 21 3 1 一 1 2 3 9 同理，Sa bpm Sa bdm ,所以S四边形PQMN = : 二 35 21 2 7 35 70 1 3 9 5 1 1 5 1 1 1 1 5 S四边形MNED = = ,边形 NFCE : 二 z , SH 边形GFNQ二 二一一 = 3 35 70 42 3 21 42 6 3 21 6 42 5 【答案

24、】 42 E是BC边的三等分点，点 F G是AC边的三等分点，那么四 【巩固】如图， AABC的面积为1,点D、 边形JKIH的面积是多少？ 【考点】燕尾定理【难度】3星 【题型】解答 【解析】连接CK、CI、CJ . 根据燕尾定理，S Ack : S Abk - CD : BD 1: 2 , S abk : S cbk 二 AG : CG =1: 2 , 所以Sa CK :S.Abk : S.Cbk =1:2:4 , 那么S Ack - 1 12 4 _1 S agkS Ack 3 1 21 类似分析可得 S Agi 2 15 1 又 S ABJ ： S CBJ = AF : CF =2 :

25、1 , S ABJ : S ACJ = BD : CD = 2 :1，可得 S ACJ 1117 那么，ScGKJ 4 21 84 根据对称性，可知四边形 17 CEHJ的面积也为 一，那么四边形 JKIH周围的图形的面积之和为 84 ScGKJ 汉2 +S去GI +S也be 17 2 2 15370 84 619 ，所以四边形JKIH的面积为1- 7070 9 【答案】 70 【例21】如右图，面积为1的厶ABC中, 求阴影部分面积. BD:DE:EC=1:2:1 , CF : FG:GA =1: 2:1 , AH : HI :IB =1:2:1 , 【考点】 【解析】 3星 燕尾定理【难度

26、】 设IG交HF于M， 【题型】解答 IG交HD于N , DF交EI于P .连接 AM , IF 9 t AI : AB =3: 4 , AF : AC =3: 4 , . SaifSabc 16 / Sa FIM : SAAMF _ 1 -SA aimsa aif 4 =IH : HA =2 , Safim : Sa aim 二 FG : GA 二 2 9 Sa abc- AH : Al =1:3- - Saahm 64 _2S SA ABC , 64 / AH : AB =1:4 3 冋理Sa cfd = Sa bdh :ABC 16 3 A F: A C 3 : 4 - SaahfSaa

27、bc 16 Sa fdhsa abc 16 3 HM :HF = 64 AI : AB =3: 4,AF : AC =3: 4 , IF II BC , 又/ IF : BC =3: 4, DE : BC =1:2 , DE : IF =2:3, DP : PF =2:3 同理 HN : ND =2:3 , / HM _ 1_ 7 -Sa hmnSahdfSaabc 10 160 :HF 同理6个小阴影三角形的面积均为 =1:4 , HN : HD =2:5 乙 160 . 7 160 . 4- 3-6燕尾定理 题库page # of 22 721 阴影部分面积=6二21 16080 【答案】

28、 21 80 【例22】如图，面积为I的三角形ABC中，D、E、F、G、H、丨分别是AB、BC、CA的三等分点，求阴影部 分面积. AA 【考点】 C 【难度】3星 燕尾定理 【题型】解答 4-3-6 燕尾定理 题库page 31 of 22 【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧! P,BI与CE的交点为 Q,连接AM、 令BI与CD的交点为 M , AF与CD的交点为 N, BI与AF的交点为 BN、CP 求Sg边形ADMI :在 ABC中，根据燕尾定理, SA ABM : SACBM - AI : CI - 1： 2 SA ACM : SA CBM - AD : BD =1： 2 设Sa ABM =1（份），则 Sa CBM =2（份）, SA ACM =1（份）,S ABC =4 （份）, 1 所以Sa ABM =SaSa ABC , 所以Sa ADM 4 1S SA ABM 3 Sa abc , Sa aim 12 -1 s SA ABC， 12 、 1