一元二次方程讲义——绝对经典实用

1、一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax2 bx c 0( a 0)的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax2，bx，c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。2 2 2女口： 2x 4x 10满足一般形式ax bx c 0( a 0)，2x， 4x, 1分别是二次项、一次项和常数项，2, 4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2. 一元二次方程求根方法(1) 直接开平方法形如x2 m

2、( m 0)的方程都可以用开平方的方法写成x ,m，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。(2) 配方法通过配方将原方程转化为 (x n)2 m ( m 0)的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。(3) 公式法求根公式：方程ax2bx(a0)的求根公式b -b2 4ac4ac 0)(b2x步骤：21) 把方程整理为一般形式：ax bx c 0 (a 0)，确定a、b、c。2) 计算式子b2 4ac的值。2 23) 当b 4ac 0时

3、，把a、b和b4ac的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。(4)因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二 次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的 方法叫因式分解法。2a3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到(x )22ab2 4ac2 24a ，显然只有当b 4ac 0时，才能直接开初中数学:.第11页共34页X巴平方得：2ab2 4ac4a2.2也就是说，一元二次方程ax bx c (a 0)只有当系数a、b、c满足条件b2 4ac 0时才有2实数根

4、这里b 4ac叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系2在实数范围内，一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是2否有实数根)由 b 4ac确定.2设一元二次方程为ax bx c 0(a 0)，其根的判别式为：b2 4ac则b . b24ac0方程ax2 bx c0(a 0)有两个不相等的实数根2ab0(a 0)有两个相等的实数根2a.0方程ax2 bx c0方程ax2 bx c0(a 0)没有实数根.若abc为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时b b2 4ac是2a的整数倍，则方程的根为整数根.说明：用判别式去判

5、定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有 两个不相等的实数根时，0 ;有两个相等的实数根时，0 ;没有实数根时，0 2在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式b 4ac判定方程的根的情况(有两个2不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)当 b 4ac 0时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根. 当a 0时 抛物线开口向上顶点为其最低点； 当a 0时 抛物线开口向下顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式，求

6、方程中参数值或取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6、韦达定理2如果ax bx c 0(a0)的两根是xi，特别地，当一元二次方程的二次项系数为X2，则1时，设bx2为血a，2a .(隐含的条件：0)XiX2pXiX2qxi， x2是方程Xpx q 0的两个根，则7、韦达定理的逆定理以两个数Xl，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2任x2)x nx20Xi X2一般地，如果有两个数Xl , X2满足 两个根.XlX2ca，那么X1 , X2必定是aX bx0(a0)的8韦达定理与根的符号关系

7、2在 b 4ac 0的条件下，我们有如下结论:0当a 时，方程的两根必一正一负. 则此方程的正根小于负根的绝对值.c -,贝毗方程的正根不小于负根的绝对值;0当a 时，方程的两根同正或同负. 的两根均为负根.则此方程的两根均为正根；若，则此方程更-般的结论是若Xi2X2 是 aXbx c 0(a0)的两根(其中XiX2)，且m为实数，当0时，一般地(Xim)(x2m) 0x1mx2m(Xim)(x2m) 0 且(Xim)(X2 m) 0Xmx2m(Xim)(x2m) 0 且(Xim)(x2 m) 0Xmx2m特殊地:当 m0时，上述就转化为ax2 bx c0(a0)有两异根、两正根、两负根的条

8、件.其他有用结论：若有理系数一元二次方程有一根a b，则必有一根a b (a, b为有理数)2若ac 0，则方程aX bX c 0(a 0)必有实数根.2若ac 0，方程aX bX c 0(a 0)不一定有实数根.2若 abc0，则 aXbXc0(a0)必有一根 x1 .2若 abc0，则 aXbXc0(a0)必有一根 x 1.9、韦达定理的应用已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；已知方程的两根，求作方程；结合根的判别式，讨论根的符号特征；逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一 元二次方程的两

9、根，以便利用韦达定理；利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的.一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程 ax2 bX c 0 (a 0)的实根情况，可以用判别式b2 4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问 题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：2如果一元二次方程ax bx c 0 (a 0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：2 b 4ac为完全平方数； b ,b2 4ac 2ak 或 b ,b2 4ac 2ak，其中 k 为整数.以上两个

10、条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根（其中a、b、c均为有理数）11、一元二次方程的应用1. 求代数式的值；2. 可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1） 去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答板块一一元二次方程的定义夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1） 2y2 y 7(2) 2 1 2x2 x 0(3) (x 5)(x 5)0(4) (5y 1)(2y 1)y2 522(5) (m 1)x n m

11、x0 （x是未知数）已知关于x的方程（a 2）x2 ax2x1是一元二次方程，求a的取值范围.若一兀二次方程(m 2)x2 3(m2 15)x m2 4 0的常数项为零，则m的值为例4关于x的方程k2x2能力提升(2 k 1)x1是什么方程？它的各项系数分别是什么?例5已知方程2xa xb x240是关于x的一元二次方程，求 a、b的值.例6若方程A. m1m-1) x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则B. m0C. m0且 m1m的取值范围是(D. m为任何实数培优训练(m 3)x 4m是一元二次方程.例7 m为何值时，关于x的方程(m . 2) xm例8已知方程2xa b xa b a

12、b 0是关于x的一元二次方程，求 a、b的值.例 9 关于 x 的方程(m+3) xm2 7 + ( m-3) x+2-O 是兀二次方程，则m的值为解：该方程为一元二次方程，/ m2-7=2解得m= 3;当 m=_3时m+3=0, 则方程的二次项系数是 0, 不符合题意；所以m=3.例10 （2000?兰州）关于x的方程（m2-m-2） x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）A . m-1B .2C m-1 或2D. m-1 且 m2课后练习1、m为何值时，关于x的方程（m .2）xm（m 3）x 4m是一元二次方程.22、已知关于x的方程（a 2）x2ax x 1是一元二次方程，求 a

13、的取值范围.23、已知关于x的方程（x a）9（ax 2）是一元二次方程，求 a的取值范围.4、右x2a ba3x0是关于x的一元二次方程，求a、b的值.5、若一兀二次方程(m 2)x23(m215)x m240的常数项为零，则 m的值为板块二一元二次方程的解与解法夯实基础例1、（2012?鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）A. 3B. -3C. 9D. -9解： 若 a 是 方 程2x2-x-3=0的 一 个 根2a2-a-3=0变形得，2a2-a=3故 6a2-3a=3 乌=9 .故选 C .例2 （2011 ?哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x

14、2-mx+8=0的一个解._则m的值是（）A. 6B. 5C. 2D . -6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0 , 解得m=6.故选A例3用直接开平方法解下列方程(1) 3x2 9 0(2) (x 2)2 3 0(3) 2(3x1)21822(3x 1)8 52 2 x 6x 9(52x)(6)、3(x 1)227例4先配方，再开平方解下列方程(1) x2 4x 402(2) 2y y 10(3) 2x 3 7x 3y212.3y2(6) x 2x例5用公式法解下列方程(1) x2 3x 202(2) 2x 1 2x2(3) (x 1) 3x(x 5)(x 7)1 x(6x 1) 4x

15、 32(2x 1)(23)x2 2( 3 1)x 6 0 .2 2 x 3a 4ax 2a 12 2 9(x 2)16(x 1)0例6用因式分解法解下列方程2(1) 2x 3x 3 02(2) 2x 45x 4500(3) t22 2t 20能力提升例7 （2011?乌鲁木齐）关于A. -1 B . 0x的一元二次方程（a-1） x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为（A ）C. 1 D. -1 或 1例8关于x的一元二次方程 （a-1） x2+ax+a2-仁0的一个根是0，则a值为（ C ）A . 1B . 0C. -1D . 1例9方程x2 + ax+b =0与x2 +cx+

16、d=0 （ ac）有相同的根 a,贝V a =器：解：方程工却si十与(ac)有相同的棍tb人乜同时驀足75程戏+业址弍和兀却比MT (ac), f p.収+合世卜b=0* V.4t-l-c 由OY，d(arc )甘卜归口，即(a-c ) a=-S+d /ac ja-c去m d-bp抜吾案知器例10已知a、B是方程x2-2x-4=0的两个实数根,则a3+8B +6的值为(D )A. -1B. 2C. 22D .30鰐哥 斛方野乜旷4=0解是/土捫，即=146一、P方幽Si諒的腐个实数根，当&1十躬9 f=l -JT时91adepts ,=(i+4s)那昔(l-ifs) +6)二I茁&辱 3-8

17、逅十笳=301当0=1届，岸1+聽时，J城阻，=(l-js) (11-45) +6,勻4日品+9+日岳+6，=30,故选D例11关于X的一元二次方程(m-2 ) XmA-2 +2mx-1=0的根是 *! 陀-2 躺尉根拥一元二坎方程的定义,得、叶2齐0则有方程-4-1=0 -即(2w+l) 51故答案狗；ar=K2=-2 .I例 12 解方程：mx2(3m22)x 6m 0例 13 解方程 mx2(3m22)x 6m 0培优训练例14 （新思维）阅读下面的例题：解方程：x2|x|20.解: （ 1）当x 0时，原方程化为x2 x 2 0 ,解得人2,X21 （不合题意，舍去），（2）当x 0时

18、，原方程化为x2 x 20 .解得为1,（不合题意，舍去），X22 .原方程的根是x 2,x22请参照x2 x 33 0，则方程的根是2例15解方程：x 2x 240例16 （新思维）设X1、X2是方程x2 x 4 0的两个实数根，求代数式 捲3 5X22 10的值.例17 (新思维)先请阅读材料:2 2为解方程X215X214 0，我们可以将X21视为一个整体，然后设X21 y，则X21 y ,原方程化为y2 5y 40，解得1， y 4 .当 y 1 时，X21 1，得 x.2;当 y4 时，X214，得 X,5 ；故原方程的解为X 2 , X2.2 , X3、2 ,X4. 5 .在解方程

19、的过程中，我们将 X2 1用y替换，先解出关于 y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想.请你根据以上的阅读，解下列方程： X4 X260 ；1 2 1(2)( X 1)2(X 1)12 2X 1例18已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同.X 1(1)求k的值；(2)求方程x2 kx 20的另一个解.例19 (新思维)若x、y是实数，且 m x2 4xy 6y2 4x 4y确定m的最小值.x 2y z 62 2 2例20（新思维）已知x、y、z为实数，且满足 x y NX 3，则x y z的最小值为 课后练习一、填空：1. 一元二次

20、方程的一般形式是 。2. 一元二次方程 3x2 5x 6的一般形式是 ，a=，b=， c=。3. 关于x的方程（m 1）x2 2mx 3 0是一元二次方程，则 m的取值范围是 。2 2 _ -4. 关于x的方程（m 4）x （m 2）x m 0是一元二次方程时，m的取值范围是 ，是元一次方程时，m的取值范围是二、下列方程中，是一兀二次方程的为()A. x2+3x=0B. 2x+y=3CD. x (x2+2) =0、用两种方法解下列方程：2 13 221. 0.5x-02. -x 1503. 3(1 x)145初中数学:.第15页共34页.:24. x 5x 605. x2x 726. 3x22

21、 4x7. X22 2x 28.3x9.3(2x1)210.(x1)25x 30(11)x2 | x| 10;2 2 2(2)(x2x) (x 2x)20;四、解关于x的方程:2(m 1)x(2m 1)x m 3 0 .五、解关于x的方程:a2(x2 x 1) a(x21) (a21)x1六、（新思维） ABC中，三边BC a, AC b, AB c,且满足a4 b4 c4 a2c2 b2c2,试判2定 ABC的形状2 2七、（新思维）设X、y为实数，求代数式5x 4y 8xy 2x 4的最小值.板块二一元二次方程根的判别式夯实基础例1不解方程，判断下列方程是否有实根，若有，指出相等还是不等。

22、（1）8y（2y 5）25（2）2x2 6x 1（3） （a2 1）x2 2ax （a2 4） 0 （x是未知数）初中数学:第14页共34页.:例2如果关于x的一元二次方程kx2 6x 9 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是()A. k 1B. k 0C. k1且k 0例3已知a,b, c为正数，右二次方程ax2 bx c情况是()A .有两个不相等的正实数根B.C.有两个不相等的负实数根D.D. k 10有两个实数根，那么方程a2x2 b2x c2 0的根的有两个异号的实数根不一定有实数根初中数学:.第21页共34页.:例4若关于x的方程kx2 6x 9 0有两个不相等的实数根，求k

23、的取值范围。例5求证：当a和c的符号相反时，一元二次方程2 _ax bx c 0 一定有两个不等实根。例6已知a、b、c是判断这个三角形的形状.ABC的三边的长，且方程x2 2(b c)x (a b)(c a)0有两个相等的实数根，试能力提咼例7关于x的方程a 6 x2 8x 6 0有实数根，则整数 a的最大值是例8 m为给定的有理数， k为何值时，方程x2 4 1 m x 3m2 2m 4k 0的根为有理数?例9k为何值时，方程(k 1)x2 (2 k 3)x (k 3) 0有实数根.2例10已知关于x的方程(m 2)x2(m 1)x m 1 0在下列情况下，分别求 m的非负整数值。(1)

24、方程只有一个实数根(2) 方程有两个相等的实数根(3) 方程有两个不相等的实数根例11(新思维)已知一元二次方程x2 (4k 2)x 4k2 0有两个不相等的实数根.则k的最大整数值为.例12 (新思维)如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c,Z B=90。，那么，关于 x的方程2 2a(x 1) 2cx b(x 1)0的根的情况是().A 有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D .无法确定培优训练例13 (新思维)已知关于 x的方程x2 (k 2)x 2k 0(1) 求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；(2) 若等腰三角形 ABC的一边长a=1，另两边长b、c恰好

25、是这个方程的两个根，求ABC的周长.2例14 （新思维）已知函数y 和y kx 1（k 0）X（1） 若这两个函数的图象都经过点（1, a），求a和k的值;（2）当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？例15 （新思维）若X0疋兀二次方程ax2 bx c0（a0）的根，则判别式b 4ac与平方式M(2ax0b)2的大小关系是（）A .MB .MC .MD.不能确定解:把X。代入方程ax2+bx+c=0中得ax2+bx=-c(2ax+b) 2=4a%2+4abx0+b2(2ax+b)2=4a(ax02+bx。)+b2=-4ac+b2= M= 故选B2例16 （新思维）关于x的方程|丄| a仅有

26、两个不同的实根，则实数a的取值范围是（）.x 1A. a 0B. a 4 c . 2 a 4 d . 0 a 4课后练习21、一元二次方程x 2x 10的根的情况为（A .有两个相等的实数根 C.只有一个实数根B.有两个不相等的实数根D .没有实数根2、若关于z的一元二次方程x2.2x m 0没有实数根，则实数的取值范围是（A . m-1mlD. m 0 且q0B . p 0 且 q 0C . p0D . p 0且q02(3) . 2x 7x 304、不解方程，判断下列各方程根的情况2 2（1） . x 10（2） . 4x 4x 105、k为何值时，方程(k 1)x22(k7)x 2k 20

27、的两个根相等?6、k为何值时，方程 x2(2k5)x k20有两个不相等的实根?27、已知a 0, b a c，判断关于x的方程ax bx c 0的根的情况，并给出必要的说明.28、已知关于x的方程x|1 m |. m2 4m 492(m 1)x m 50有两个不相等的实数根，化简:2 29、已知关于x的方程(m m)x 2mx 10有两个不相等的实数根.求m的取值范围；2若m为整数，且m 3 , a是上述方程的一个根，求代数式2a2 3a 空 1 3的值.410、在等腰 ABC中， A、 B、 C的对边分别为 a、b、c ,已知a 3 , b和c是关于x的方程2 1x mx 2 m 0的两个

28、实数根，求 ABC的周长.211、如果关于x的方程 xaxb xbxc xcxa 0 (其中a , b , c均为正数)有两个 相等的实数根证明：以 a, b , c为长的线段能够组成一个三角形，并指出三角形的特征.2 212、k为何值时，方程2x 2k (4k1)x没有实根?板块二一元二次方程的应用夯实基础x +2 _+10例1 解方程上例2 一个车间加工300个零件，加工完80个以后，改进了操作方法，每天能多加工15个，一共用了 6天完成了任务，求改进操作方法后每天加工的零件的个数。例3某商场运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划多售出4台，结果提前5天完成销售任务，原

29、计划每天销售多少台？6天可以完成，如果单独工作，甲队比乙队少用5天,例4甲、乙两队学生绿化校园，如果两队合作, 问两队单独工作各需多少天完成？例5如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%，求所截去小正方形的边长.初中数学:.第#页共34页.:例6某汽车销售公司 2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈 利的年增长率相同.该公司2006年盈利多少万元？(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？例7某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室

30、，要求长与宽的比为2 : 1.在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2?能力提咼例8 （新思维）如图，在宽为 20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪要使草坪的面积为 540m求x与S的函数关系式； 若要围成面积为 45m2的花圃，AB的长是多少米？ 花圃的面积能达到 48m2吗？如果能，请求出此时 AB的长；如果不能，请说明理由.，求道路的宽（部分参考数据： 322=1024，522=2704 , 482=2304）.；第勺逋1例9 （新思维）某水果批发商场经销

31、一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解警？漏：设垢千克水杲脇胡金元，（1份）依题意傅方糧：C 50020m） （10+xJ =5000 j 整理? -1500 r （5分）粥这个方程，得KpSr 10.花分） 要使顾客得到斑 应報涉5（T分） 答：越丰克水果应涨怕吕元.棉分）例10 （新思维）如图，某农户打算建造一个花圃，种植两种不同的花卉供应城镇市场，这时需要用长为24米的篱笆，靠着一面墙（墙的最大可用长度a是1

32、0米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2.初中数学:.第23页 共34 页.:O：解：(n的怅是眯*(24-3k) x=45,解得旳丈，样、当萨羽办点方形花國的24-3x=15i又墻曲最犬可用恢慶煜故舍去i当如邸寸 *方形花圃的长拘24-3k=S,符台题意；/-肛的长为5.(2)越圉的面租対(M-3i) z=-3 (i-4)二当粧长为I和竟为血时，肓最大面和 为 ylOOOO因为控制巷聊人数所以取x=20,尸翻答：雷周蛊瞋定参观人埶量卸仙人，门票怕格应是龙巧讦人.培优训练二、列方程解应用题1.从一块长为80cm，宽为60cm的铁片中间截去一个长方形，使剩下的长

33、方形四周的宽度一样，并且小 长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？2.某车间一月份生产零件7000个，三月份生产零件 8470个，该车间这两个月生产零件平均每月增长的百分率是多少?板块二一元二次方程根与系数的关系夯实基础例1若方程x2 4x c 0的一个根为2 V3，则方程的另一根为 例2已知方程x2 3x 50的两根为xi、X2,则X； X；2be例3如果Xi、X2是一元二次方程 ax bx e0( a0)的两根，那么，xi+X2= -, X1X2 =.这aa就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题：2已知m与n是方程2x -6x+3=0的两根。(1) 填空： m+n=, mn

34、=.11(2) 计算+的值.m n0有两个不相等的实数根例4(2011?厦门)已知关于 x的方程x 2例5 (2011?孝感)已知关于 x的方程x 2 (k 1) x k 0有两个实数根X1, X2(1) 求k的取值范围；(2) 若 X1 X2X1X2 1,求 k 的值. 2x 2n(1)求n的取值范围;(2)若nv 5,且方程的两个实数根都是整数，求n的值.初中数学:.第27页共34 页.:例6(2011?十堰)请阅读下列材料:2问题：已知方程 x x 1 0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为 y，则y=2x所以x y .2把x y代入已知方程，得(y

35、)2丄102 2 2化简，得y2 2y 40故所求方程为y2 2y 40.这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)：(1 )已知方程x2 x 20 ,求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：。(2)己知关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使 它的根分别是己知方程根的倒数._一 2例7 (2011?南充)关于的一元二次方程x 2x k 1 0的实数解是X1和X2.(1) 求k的取值范围；(2) 如果X1 X2 X1X2V 1且k为整数，求k

36、的值.初中数学:.第29页共34 页.:例8 (2010?淄博)已知关于x的方程x22 (k 3) x k2 4k 10 .(1) 若这个方程有实数根，求 k的取值范围；(2) 若这个方程有一个根为 1，求k的值；22rm(3) 若以方程x 2( k 3)x k 4k 10的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 y x的图象上，求满足条件的m的最小值.能力提升例1已知：关于x的一元二次方程 kx2+ (2k 3)x+k 3 = 0有两个不相等实数根(k 0,(a+b) (a-b)屯/ a 0,b0, a+b 0, a-b 丸. a b. 2 分(2) / a : b=2 : .3 ,设 a

37、 2k,b 、3k.解关于x的一兀二次方程2 x4kx3k20，得xk或-3k.当X1k,X2二-3k 时，由2x1X22得 k 2.当x3k, X2 = -k 时，由2x1X222得k(不合题意，舍去)5 a 4,b2.3 . 5 分培优训练2 2 2 2例1设关于x的二次方程(k 6k 8)x(2k 6k 4)x k 4的两根都是整数，求满足条件的所有实数 k的值。例2、已知关于x的方程a2x2-(3a2-8a)x + 2a2-13a + 15=0(其中a是非负整数)至少有一个整数根, 求a的值.例3、设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx_(叶1)x + 1 = 0有有理根，求m的值例

38、4、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a -2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.例5、已知关于x的方程x2+ (a-6)x + a=0的两根都是整数，求a的值.例6、求所有有理数r，使得方程rx 2+(叶1)x + (r -1)=0的所有根是整数.例7、已知关于 x的一元二次方程 x2 + (m+ 3)x+ m + 1 = 0.(1) 求证：无论 m取何值，原方程总有两个不相等的实数根;(2 )当m为何整数时，原方程的根也是整数.初中数学:.第33页 共34 页.:解：证明:2 ( m 3)4(m 1)2 m6m9 4m 42 m2m5(m21)4 .2(m 1) 0,2(m

39、1)4 0.无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根(2) 解关于x的一元二次方程 x2 + (m+ 3)x+ m+ 1 = 0,m 3. (m 1)2 42要使原方程的根是整数，必须使得(m 1)2 4是完全平方数2 2设(m 1)4 a ,则(a m 1)(a m 1) 4. a + m 1和a m 1的奇偶性相同,m11.可得aa2,或2.2,2.解得am2,或2,1.将m= 1代入x血1）2 4，得X12,x2 0符合题意.当m= 1时，原方程的根是整数.例8知关于x的方程（k 1）x2 2kx k若方程有两个不相等的实数根， 当方程有两个相等的实数根时(1)(2)3 0.求k的

40、取值范围；,求关于y的方程y2（a 4k）y a 1 0的整数根（a为正整数）.解: (1)2 = 4k 4(k 1)(k 3)= 4k2 4k2 8k 12=8k 12-方程有两个不相等的实数根,k 10,即 k 10，0.8k 12 0.3 k的取值范围是k 3且k 1 .2（2）当方程有两个相等的实数根时，= 8k 12=0. k 色2关于y的方程为2y(a 6)y a 10.1(a6)24(a21) a 12a 364a 4 a216a 32(a8)232 .由a为正整数，当(a28）32是完全平方数时，方程才有可能有整数根.设(a8)2322m （其中m为整数），32pgq ( p、

41、q均为整数）-(a8)22 m32 .即(a 8 m)(a 8m) 32 .不妨设a8 mP,两式相加，得 ap q 16a8 mq.2 (a8m）与（a 8m）的奇偶性相同， 32可分解为216,4 8, ( 2) ( 16),(4) ( 8) Pq18或12或18或 12. a 17或14或1 （不合题意，舍去）或 2 .初中数学:.第#页 共34 页.:2a5 xB.当a 17时，方程的两根为11 7y当a 14时，方程的两根为 y当a 2时，方程的两根为y，即 yi2, y例9 (011西城二模)阅读下列材料：若关于X1，X2，贝 U X1 X2解决下列问题:bc,X1 X2aa8 2，即y13 , y25 .24 2，即 y1 3 , y21 2x的一元二次方程ax2bx c 0 a 0的两个实数根分别为初中数学:.第37页共34 页.:已知：a, b, c均为非零实数，且a b c,关于x的一元二次方程ax2 bx c 0有两个实数