(完整版)集合知识点归纳

1、集合的基础知识一、重点知识归纳及讲解1集合的有关概念一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素集合中的元素具有以下的特性 确定性：任给一元素可确定其归属即给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了 例如，给出集合1 , 2, 3, 4，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；而所有的好人”、视力比较差的全体学生”、我国的所有小河流”就不能视为集合，因 为组成它们的对象是不能确定的 互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的(即没有重复现象)，相同的元素在集合中只能算作一个例如，不能有1 , 1 ,2，而必须写成

2、1 , 2. 无序性：集合中的元素间是无次序关系的例如，1 , 2, 3与3 , 2, 1表示同一个集合(2) 集合的元素某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素若a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A.不含任何元素的集合叫做 空集，记作(3) 集合的分类：有限集与无限集(4) 集合的表示法：列举法、描述法和图示法列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来.常用于表示无限集使用描述法时，应注意六点：写清集合中元素的代号；说明该集合中元

3、素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应当准确使用且”，或”；所有描述的内容都要写在大括号内；用于描述的语句力求简明、确切图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合：当然也可用图示法来表示如：A=1 , 2, 3, 4例 1 设集合 A=a , a+b, a+2b,B=a,ac,ac 2,且A=B，求实数 c值.分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义及集合元素的互异性，有 下面两种情况：(1) a+b=ac且a+2b= ac2，( 2) a+b= ac2且 a+2b=ac两种情况.解析：(1)

4、 a+b=ac且a+2b= ac2,消去 b得:a+ ac2-2ac=0. v a=0时，集 B中三元素均为零，根 据集合元素互异性舍去 a=0 . c2-2c+仁0，即c=1,但c=1时，B中的三个元素也相同，舍去 c=1,此时无解.(2) a+b= ac2且a+2b=ac,消去b得：2ac2-ac-a=0. v a=0时，集B中三元素均为零，根1c =据集合元素互异性舍去 a=0. 2c2-c-1=0 ,即卩c=1或 -,但c=1时，B中的三个元素也Ic =-相同，舍去c=1, -.点评：两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要

5、解题后进行检验，去伪存真.(5) 常用数集及专用记号(1) 非负整数集(或自然数集) N=0, 1, 2,(2) 正整数集N* (或N+) =1 , 2, 3,(3) 整数集Z=0 , ?1, ?2,(4) 有理数集Q=整数与分数(5) 实数集R=数轴上的点所对应的数.强调：实数集不可记为R或实数集 , 0上工，:：工0,：匸工空集.强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R+、Z+、Q +2 .基本运算1. 交集(1) 定义：由所有属于集合 A且属于集合B的元素所组合的集合叫 A与B的交集.记作An B，即ArB二輕工丘丿，且xe 5(2) 交集的图示(3) 交集的运算律AriA

6、 = AAr,B = BA An(BnC)=(Ari)nC? ? ?2. 并集(1 )定义：由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，记作 三，即 上- =-，或上上三(2) 并集的图示以上阴影部分表示集合 A与B的并集.(3) 并集的运算律討 u 貝二卫 Au=A Au E = BA? ? ?3、补集(1) 定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作 ，即CsA= -，L -(2) 补集的图示4、常用性质A A=A , A 二，A 1 B=B A, A B= A , A B= B.A - A=A , A-、Q=A ,

7、 AB=B - A, AB 二 A, A - B二 B .AcBvjC) = (AnC)ff)c (HuC)Cv(Mul=n (Cr2V) (Af n TV) = (Cv M) u (C?例 2、集合二- 1L，且-L - ,AU , B- U，且-= 4,5,_1 ,2, 3，厂 :6 , 7, 8，求集合 A 和 B .分析：利用集合图示较为直观.解：由匸三=4 , 5，则将4, 5写在二去中，由-1，2，3，则将1，2，3写在集A中，由 11 -6，7，8，则将 6，7，8写在 A、B 之外，由1 - 1亠与 s 中均无9，10，则9，10在B中，故A=1，2，3，4，5，B=4，5，9

8、，10.5、容斥原理：有限集 A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(A U B)= card(A)+card(B)- card(A A B).二、难点知识剖析1、要注意区分一些容易混淆的符号(1) 三与二的区别：三表示元素与集合之间的关系，例如1N，-1N等；二表示集合与集合之间的关系，例如N二R， 等.(2) a与a的区别：一般在，a表示一个元素，a而表示只有一个元素 a的集合例如， 0丘0，1 =1,2,3等，不能写成 0=0，1三1,2,3，1= 1,2,3.(3) 0与的区别：是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合，因此二0 但不能写成巩。，三0.3厂

9、厂氏例3、已知集合M=x|x 3 ; ，集合P=x|x2-，设 -，则下列关系式中正确的一 个是()A、P MB、a MC、PMD、a 3 P解析：集合M、P都是部分实数组成的集合，而 a是一个具体的实数，故 M、P间的关系应用 包 含” 不包含”来确定，而对a与集合M、P的关系只能用 属于” 不属于”来确定，比较实数QQ迈3 A 爲-JF- 3的大小，易判断C正确.小结：正确使用集合的符号是正确分析、解答问题的关键.2 理解集合所表示的意义(1) 对由条件给出的集合，要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围女口y三R|y=表示的为函数y=中y的取值范围，故7 2 21y三R|y= =y

10、三R|y仝1;而x丘R|y=表示y=的x的取值范围，故xER|y= -二-=R .(2) 用集合表示不等式(组)的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或韦恩图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用韦恩图表示，容易被忽视，如在关系式B二A中，易漏掉B=的情况.例 4、设 A=x|Mh 三叭 b=x| *亠2(占 *1”也-1= 0(1) 若A I B=B，求二的值;(2) 若AB=B，求二的值.分析：明确AB=B和A IB=B的含义，根据问题的需要，将A B=B和B=B转化为等价 的关系式：上=-和=，是解决本题的关键.解析：首先化简集合A，得A=-4 , 0(1)由于A

11、 B=B，则有三=可知集合B或为空集，或只含有根0或-4.若B=，由 _二 I得-若U，代入得：1: , - - 1丄-=-1沪“时，2=曲*皿丸卜2如=A，合题意.k| a2 =0)当.，一-时，B= -,也符合题意.若-亠三三，代入得：一訂二丨-,，：-； ：当.，-时，中已讨论，合题意当*5, b - -J不合题意.由、得，丿一二！一-.(2)因为AB=B，所以- ，又 A=-4 , 0，而B至多只有两个根，因此应有 A=B .由(1)知，二i【点评】：一般对于AB=B和A- B=B这种类型的问题，都要注意转化为等价的关系式：-=丄和丄=三，且在包含关系=-中，注意不要漏掉 B=二的情况

12、.并且当A、B中的元素的个数相同时，还存在三匚匸或-4二三的情况时，只有A=B一种情况.子集(1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们就说集合 A包含于集合B，或集合B包含集合A。记作：_ 读作：A包含于B或B包含A若任意X亡曲=卞艺&则丿c B当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作：A二B或B Z A .性质：上匚(任何一个集合是它本身的子集)E匸匸(空集是任何集合的子集)【置疑】能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合？【解疑】不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.因为B的子集也包括它本身，而这个子

13、集是由 B的全体元素组成的.空集也是 B的子集, 而这个集合中并不含有 B中的元素.由此也可看到，把 A是B的子集解释成A是由B的部分元 素组成的集合是不确切的.(2)集合相等：一般地，对于两个集合 A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合 A的元素，我们就说集合 A等于集合B,记作A=B 。例：I ，可见，集合 三=三，是指A、B的所有元素完全相同.(3 )真子集：对于两个集合A与B,如果上二丘，并且上-三，我们就说集合A是集合B的真子集，记作:且字思(或 衣区厘)，读作A真包含于B或B真包含A。【思考】能否这样定义真子集：如果A是B的子集，并且B

14、中至少有一个元素不属于 A，那么集合A叫做集合B的真子集.”集合B同它的真子集A之间的关系，可用文氏图表示，其中两个圆的内部分别表示集合A, B.【提问】(1) 写出数集N , Z, Q, R的包含关系，并用文氏图表示。(2) 判断下列写法是否正确0匚A匚A占匚加A二A 性质：(1) 空集是任何非空集合的真子集。若3匸A ,且A工0,则3二A ;(2) 如果且二E ,， U山例1写出集合 I的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.解：集合的所有的子集是 )，其中：二，；-是的真子集.【注意】(1)子集与真子集符号的方向。如百匸月与同义；卫匸月与二月不同(2)易混符号 “E”与“匚”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系。如一二-A 1 匚匚二=r, 1二1 , 2, 3 0与匚：0是含有一个元素0的集合，匚是不含任何元素的集合。8女口：二二0。不能写成 二=0 , Z： 0例3判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.(1) 表示空集；(2) 空集是任何集合的真子集；(3) 不是;(4) 的所有子集是.I-. I;(5) 如果4二三且V m，那么b必是a的真子集；(6) 与三匚匸不能同时成立.解：(1) 厂 不表示空集，它表示以空集为元素的集合，所以(1)不正确;(2) 不正确.空集是任何非空集合的真子集；(3) 不正确.