(完整版)概率论知识点总结,推荐文档

1、概率论总结目录前五章总结第一章随机事件和概率1第二章随机变量及其分布.5第三章多维随机变量及其分布10第四章随机变量的数字特征 13第五章极限定理.18学习概率论这门课的心得体会 20一、前五章总结第一章 随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（ 1 ）可重复性（ 2）多结 果性（ 3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随 机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为 。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为 S或Q。2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或3 .全体样本

2、点的集合称为样本空间样本空间用S或Q表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件单点集，复合事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B A 或 A B。若A B且A B则称事件A与事件B相等，记为A = B。定义：和事件“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为 A U B。用集合表示为：A U B=e|e A, 或 e B。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A A

3、B或AB，用集合表示为 AB=e|e A且e B。定义：差事件称“事件 A 发生而事件 B 不发生 ,这一事件为事件 A 与事件 B 的差 事件，记为A B,用集合表示为A-B=e|e A, e B。定义：互不相容事件或互斥事件如果A, B两事件不能同时发生，即 AB = 0，则称事件A与事件 B 是互不相容事件或互斥事件。定义 6：逆事件 / 对立事件称事件“ A不发生”为事件A的逆事件，记为d。A与d满足：A Uq= S,且.A d=。运算律:设A, B, C为事件，则有(1) 交换律：A U B=B U A , AB二BA(2) 结合律：A U (BU C)=(A U B)U C=A U

4、 B U CA(BC)=(AB)C二ABC(3) 分配律:A U (BAC) = (A U B) A(A U C)A(B U C) = (A AB)U (A AC)= AB U AC(4) 德摩根律：A B A BA B A B小结：事件的关系、运算和运算法则可概括为四种关系：包含、相等、对立、互不相容；四种运算：和、积、差、逆；四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。第二节：1、设试验E是古典概型，其样本空间S由n个样本点组成，事件 A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为：P(A) = k/n = A包含的样本点数/S中的样本点数。2、几何概率：设事件A是S的某个区域，它的面积为 M

5、A)，则 向区域S上随机投掷一点，该点落在区域 A的概率为：P (A) = uA) / U(S)假如样本空间S可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向 S上随机投掷一点的 含义如前述，则事件A的概率仍可用(*)式确定，只不过把 理解为长度或体积即可.概率的性质:(1) P( )=0,PP(2)m 1m 1Ai , A j , 1i,j 1,2, ,n,ij,两两互不相容,n则PknAkP Ak1k 17(3)P( A) 1P(A),(4) 若 A B，则 P(B-A)二P(B)-P(A), P(B) P(A).第四节：条件概率：在事件B发生的条件下，事件 A发生的概率称 为A对B的条件概率，记

6、作P(A|B).P ABP(A|B)P B而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“ B发生”这个条件 时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.乘法公式： 若 P(B)0,则 P(AB)= P(B)P(A|B)P(A)0,则 P(AB)=P(A)P(B|A)全概率公式：设Ai,A2,nA是式验E的样本空间Q的一个划分，且.nP(Ai)0 , i = 1,2,B 是任一事件,则 P(B)P(AJP(B | Aj)i 1贝叶斯公式：设Ai,A2,nA是式验E的样本空间Q的一个划分，且P(Ai)0 , i = 1,2,B 是任一事件且 P(B)0,贝SP(Aj |B) P(Ai)P(B | A

7、i)P(Aj)P(B | Aj)/ j i第五节 ：若两事件 A 、B 满足P(AB)二P(A) P(B)则称A、B独立，或称 A、B相互独立.将两事件独立的定义推广到三个事件：对于三个事件A、B、C,若P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C)四个等式同时 成立,则称事件 A、 B、 C 相互独立 .第六节： 定理 对于 n 重贝努利试验,事件 A 在 n 次试验中出现 k 次的概率为Pn(k) Cnk pkqn kk 0,1, ,n, q 1 p总结：1. 条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有

8、密切的关系, 在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用, 请牢固掌握。3. 独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念, 应正确理解并应用于概率的计算。4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广 泛。第二章：随机变量及其分布1 、随机变量：分为离散型随机变量和连续型随机变量。分布函数：设X是一个r.v, x为一个任意实数，称函数F(X)=P (XWx)为X的分布函数。X的分布函数是F(x)记作X F(x)或 Fx(x).如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间(x) =

9、lim F(x) = 1Ik*5F(x)右连续，UP Um F(Jr) = F(x0)蛊一meJ3、离散型随机变量及其分布定义1 :设xk(k=1,2, )是离散型随机变量所取的一 切可能值，称等式P(X=x k)=P k,为离散型随机变量X的概率 函数或分布律，也称概率分布.其中Pk,0 ; IPk=1分布律与分布函数的关系:(1) 已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数:设一离散型随机变量X的分布律为PX=x k=p k (k=1 , 2,)F (x) PX xxk即 F (x)pkxk xPX Xkx由概率的可列可加性可得X的分布函数为已知随机变量X的分布律,亦可求任意随机事件的概率

10、(2) 已知随机变量X的分布函数，可求出X的分布律:PX Xk F(Xk) F(Xk 0) k 1,2,3,一、三种常用离散型随机变量的分布.1( 0 1)分布：设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律为PX=k=p k(1-p)1-k , k=0，1. (0p1)则称X服从(0 1)分布，记为X ( 0 1)分布。(0 1)分布的分布律用表格表示为:P 1-p p易求得其分布函数为F(x)2.二项分布(bi no mial distribute n)定义：若离散型随机变量X的分布律为P X kC：pkq0,1, ,n其中0p0是常数，则称X服从参数为 入 的泊松分布，记作XP(入)、连续

11、型随机变量1概率密度f(x)的性质(1) f(x) 0(2) f(t)dt 1.X 落在区间(X1 , X2)的概率 P x1 X x2 F(x2) F(x1)f(x)dxX1几何意义：X落在区间(Xi, X2)的概率Px 1 X o , t0,有则称随机变量X具有无记忆性。3.正态分布若r.v X的概率密度为4(x )2f(x)1。寸，xv 22其中和都是常数，则称X服从参数为卩和任意，卩0 ,2的正态分布.记作2X N( ) f (x)所确定的曲线叫作正态曲线0,1的正态分布称为标准正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通 过线性变换转化为标准正态分布.设龙,则F

12、=兰二 ”/(认1)(7随机变量函数的分布设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，求Y二g(X) (g连 续)的概率密度。1 .一般方法一一分布函数法可先求出Y的分布函数FY(y):因为 FY(y)=PY y=pg(x) ly=xigix) y则Fy y P X lyq fx(x)dxg(x) y fx(x)dx再由FY(y)进一步求出丫的概率密度fY y FY(y)2.设连续型随机变量X的密度函数为 x(x), y=f(x)连续，求丫二f(X)的密度函数的方法有三种：(1)分布函数法；(2 )若y=f(x)严格单调，其反函数有连续导函数，则可用公式法；(3) 若y=g(x)在不相重叠的

13、区间Ii,l2,上逐段严格单调，其反函数分别为hi(y), h 2(y),h,毋),h 2(y),均为连续函数，贝SY二g(X)是连续型随机变量，其密度函数为y y x hi y hi y x h? y h? y对于连续型随机变量，在求 Y= g (X)的分布时，关键的一步 是把事件 g(X) y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用X的分布来求P g(X) y .。第三章、多维随机变量设(X , 丫)是二维随机变量,对于任意实数x, y,二元函数:F (x, y) P( X x) (Y y) PX x,Y y称为二维随机变量(X , 丫)的分布函数，或称为随机变量X和丫的联合分布函

14、数.分布函数的性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的 y,当 x2 x1 时 F (x2, y)F(x1,y),2o 0 F(x,y) 1,对于任意固定的y,F( ,y) lim F(x,y) 0,xF(对于任意固定的x,)xim F(x,y)yF(x, ) yim F(x,y) 0,0, F( ,) lim F(x,y) 1.Xy3。F(x,y) F(x 0, y),F(x,y) F(x,y 0), 即F (x, y)关于x右连续,关于y也右连续.有 F(X2,y2) F(x2,yi)F (Xi,yi) F(xy2)0.4o 对于任意(Xi, %),(X2, y2),

15、Xi X2, % y?,离散型随机变量的分布、设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(Xi,yj), i, j 1, 2,记PX Xi,Y yj Pj, i, j 1,2,称此为二维离散型随机 变量(X,Y)的分布律,或随机变量X和Y的联合分布律.其中Pj 0,Pj 1.i 1 j 1连续型随机变量及其概率密度性质(1)f(X,y)2) 0. f (x,y) dxdy F( , ) 1.(3)设G是xOy平面上的一个区域,点(X,Y)落在G 内的概率为 P(X,Y) G f(x,y)dxdy.G 2(4)若 f (x, y)在(x, y)连续,则有 一F (X, y) f (x, y

16、).x y边缘分布1离散型随机变量的边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P XXi ,YyjPij, i, j1,2,.记Pi?Pijj 1PXXi, i1,2,P?jPijPYYj, j1,2,连续型随机变量的边缘分布对于连续型随机变量 (X , Y), 设它的概率密度为f (x, y),由于xFX(x) F(x, ) f(u,v)dvdu,记fX(x)f(x,v)dv,称其为随机变量 ( X , Y) 关于 X 的边缘概率密度 .随机变量的独立性：设F(x,y)及FX(x), FY(y)分别是二维随机变量 (X, Y)的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有x , y 有

17、P X x,Y y P X xPY y, 即F(x,y) FX(x)FY(y),则称随机变量 X和Y是相互独立的.(3) 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fX (x), fY (y)，则有x 和 y 相互独立f (x, y) fX(x) fY(y).两个随机变量函数的分布一、 离散型随机变量函数的分布若二维离散型随机变量 的分布律为 PX xi,Y yj pij , i,j 1,2,则随机变量函数Z g(X,Y)的分布律为Pz z0,P| X E(X)|，则对于P| X E(X)|1常见随机变量的方差(P.159)分和概率分布 也参数为卫的(M分布(%)P

18、(XP(X = 1)= pP(X = O) = 1-PP(X = k)C(l-p)ykpU-P)z分布概率密喪方差区间(询上的均匀分布EAr(ZA T2)r/一*/（丫）=/（x） = -1 ,ax 0,0,其它1-（呼丿2加712127第三节、协方差与相关系数量EX E(X)Y E(Y)称为随机变量X与Y的协方差.记为Cov( X , Y),即Cov(X, Y) EX E(X)Y E(Y).若xy0, pp称x, y不相关Y)Jd(x)Jd(y)注：(为随机变Y的相关系数的相关系准协方差，它是一个无量纲的 量。2、若随机变量X和Y相互独立Cov(X,Y) EX E(X)Y E (Y) EX

19、E(X)EY E(Y)0.D(X Y) D(X) D(Y)2EXE(X) Y E(Y)D(X) D(Y) 2Cov(X, Y)D(X) D(Y).协方差的计算公式1、Cov(X, Y)二E(X Y)-E(X)E( Y)2、D(X+_Y)=D(X)+D( Y)+2Cov(X，丫)协方差的性质：(1)Cov(X,Y) Cov(Y,X); Cov(aX,bY) abCov(X,Y), a, b为常数;(3) Cov( X1 X2,Y) Cov( X1,Y) Cov( X2,Y).二维正态分布密度函数中，参数 p代表了与Y的相关系数。相关系数：1、2、二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独 立。即XY相互独立等价于XY不相关2。3不相关的充要条件1。X,Y不相关Pxy；X ,Y不相关X,Y不相关Cov(X,Y) 0;E(X Y) E(X)E(Y