曲面加工几何学

1、大连理工大学微分几何作业学 院：机械工程学院姓 名：学 号：授课教师：王晓明电子邮箱：_完成时间：2012年6月25日1 / 18非均匀有理B样条（NURBS曲线和曲面1.非均匀有理B样条曲线（3阶）NURB曲线提供了对标准解析几何和自由曲线、曲面的统一数学描述方法， 它可通过调整控制顶点和权因子，方便地改变曲面形状，同时也可方便地转换成 对应Bezier曲面。给定n+1个控制点及权因子，则k阶（k-1 ）次NURB曲线的表达式为：nNj,k(x)WRr(x)i 0nNi,k(x)Wii 0其中:Ni,k（u）为非均匀有理B样条基函数，按照deBoor-Cox递推公式，基53 / 18函数满足

2、一下关系:叫,k（x）1,当ui uui 1其它Ni,k(x)(x uJNi,k1(x)ui k 1ui(u k x)Nj 1,k 1(x)ui kui 11.1. 曲线的建立本文选取四个控制顶点R,，P2,，Pa,，P4,，已经四个权因子W，W2，W，W，通过Matlab计算其基函数，并作出曲线010P控制顶点：000.5101；权因子：w2 5 1 3 ；111.5非均匀节点：u 124 56.5 7.5 8 9.3由Matlab绘制曲线如下：控制多边形 B-样条曲线在每个点上标注其Frenet标架如图:控制多边形 B-样条曲线alphabetagama$ 41 .1 .1218 6 a

3、a4 2a ao0在每个点上标注其曲率、挠率如图:控制多边形B-样条曲线曲率2.非均匀有理B样条曲面（3阶）假设给定R3空间中，齐次坐标下的 mini个点p控制多边形一 B-样条曲线挠率(X ij，Yij，Zij，wij)(WjXj,WjYj，WjZj ,Wj),i 0,1, ,m; j=0,1, ,n,0，则参数曲面:m nR(u,v) (X(u,v),Y(u,v),Z(u,v),w(u,v)R,j Bm(u)B：(v), u 0,v 0i 0 j 0称为矩形域0,1x0,1上的mxn次有理B样条曲面。其中Rj称为控制顶点，Wj称 为权因子。NURBS曲面的表达式为:m nWi,jR,jNi

4、,k(u)Nj(v)R(u,v)i 0 j 0nW,jNi,k(u)Nj(v)i 02.1. 曲面计算的基本公式曲面第一基本形式:F ru rv，曲面第二基本形式:L n 5, M n ,N n 5。高斯曲率计算公式:2L N ME G F2平均曲率计算公式:曲面主曲率计算公式：ki H . H2 K ,k2 H . H2 K2.2. 曲面的建立选择16个顶点构造B样条曲面，如表1所示： 表116个顶点坐标数据序号xyz1-24.8849.76-4.352-23.660.560.153-19.4771.915.174-11.9981.099.785-22.8950.75-3.016-21.03

5、61.451.447-16.6572.446.348-9.4781.3510.729-20.2551.91-1.2910-17.6662.433.1811-12.9672.967.9112-6.1581.5711.9513-16.3453.371.0414-12.8163.545.5715-7.6173.4110.0416-1.4581.7213.6720.5130.310.82w权因子：11.510.8 ；0.5010.51图1 B样条曲面高斯曲率 KW 茬图2 B样条曲面平均曲率 H图3 E值图5 G值图6 L值计算结果如图:图9 k1值图10 k2值3.参考文献1 王省富.样条函数及其应

6、用M.西北工业大学出版社，1989,9,西安.2 张化光，刘鑫蕊，孙秋野.MATLAB/SIMULINK 实用教程M.人民邮电出版 社，2009，3,北京.3 John H. Mathews, Kurtis D. Fink.数值方法（MATLAB 版）.电子工业出版社， 2002,6,北京.附录（ Matlab 源程序）：非均匀有理B样条曲线(3阶)function NURBS3 clear;clc;syms r P= 0 1 0; 0 0 0.5; 1 0 1; 1 1 1.5;w=2,0.5,1,3;%插入点权重% w=2,2,2,2;%权重相等时u=1 2 4 5 6.5 7.5 8 9

7、.3;%非均匀节点（构造样条基函数）k=3;%三阶非均匀有理 B 样条曲线n=size(P,1);%控制点数目nu=size(u,2);%非均匀节点数if nu=n+k+1M=100;r1=zeros(M,3);r2=zeros(M,3);r=zeros(M,3);X=linspace(u(k+1),u(n+1),M);for l=1:M%构造非均匀有理 B 样条基函数x=X(l);N=zeros(n+k,k+1);for i=1:n+kif x=u(i)&x,W4,w4，通过Matlab计算其基函数，并作出曲线。Clear ；clcfid=fopen(Data.dat,r);k=1;s=fs

8、canf(fid,%s,1);% 读字符串 1 维num=0; %NU的行数Dotnum=zeros(1); % 保存每个NUM勺点的个数Dot=cell(1); % 保存每个NUM勺点的坐标while k=1读整型数据 2 维if strcmp(s,NUM)a=fscanf(fid,%d,2);%num=num+1;k=1;elsek=0;break;endb=fscanf(fid,%f,3*a(2);% 读浮点型数据 3*a(2) 维Dotnum(num)=a(2);b=reshape(b,3,a(2);%将 b 转化为 3 行 19 列Dotnum=b; %clear aclear bs

9、 = fscanf(fid,%s,1);% 读字符串 1 维end% hold;view(3);u=0:0.08:1;v=0:0.04:1;a1=(1-3*u+3*u.*u-u.*u.*u);a2=(3*u-6*u.*u+3*u.*u.*u);a3=(3*u.*u-3*u.*u.*u);a4=u.*u.*u;b1=(1-3*v+3*v.*v-v.*v.*v);b2=(3*v-6*v.*v+3*v.*v.*v);b3=(3*v.*v-3*v.*v.*v);b4=v.*v.*v;aa1=(-3+6*u-3*u.*u);aa2=(3-12*u+9*u.*u);aa3=(6*u-9*u.*u);aa4

10、=3*u.*u; bb1=(-3+6*v-3*v.*v);bb2=(3-12*v+9*v.*v);bb3=(6*v-9*v.*v);bb4=3*v.*v;aaa1=(6-6*u);aaa2=(-12+18*u);aaa3=(6-18*u);aaa4=6*u; bbb1=(6-6*v);bbb2=(-12+18*v);bbb3=(6-18*v);bbb4=6*v;for h=1:length(u)a(h,:)=a1(h) a2(h) a3(h) a4(h);aa(h,:)=aa1(h) aa2(h) aa3(h) aa4(h);aaa(h,:)=aaa1(h) aaa2(h) aaa3(h) a

11、aa4(h);endfor k=1:length(v)b(k,:)=b1(k) b2(k) b3(k) b4(k);bb(k,:)=bb1(k) bb2(k) bb3(k) bb4(k);bbb(k,:)=bbb1(k) bbb2(k) bbb3(k) bbb4(k);end% for i=1:num-3for j=1:Dotnum(num)-3xc=Doti(j,1),Doti(j+1,1),Doti(j+2,1),Doti(j+3,1);Doti+1(j,1) ,Doti+1(j+1,1),Doti+1(j+2,1),Doti+1(j+3,1);Doti+2(j,1),Doti+2(j+1

12、,1),Doti+2(j+2,1),Doti+2(j+3,1);Doti+3 (j,1),Doti+3(j+1,1),Doti+3(j+2,1),Doti+3(j+3,1);yc=Doti(j,2),Doti(j+1,2),Doti(j+2,2),Doti(j+3,2);Doti+1(j,2) ,Doti+1(j+1,2),Doti+1(j+2,2),Doti+1(j+3,2);Doti+2(j,2),Doti+2(j+1,2),Doti+2(j+2,2),Doti+2(j+3,2);Doti+3 (j,2),Doti+3(j+1,2),Doti+3(j+2,2),Doti+3(j+3,2);

13、zc=Doti(j,3),Doti(j+1,3),Doti(j+2,3),Doti(j+3,3);Doti+1(j,3) ,Doti+1(j+1,3),Doti+1(j+2,3),Doti+1(j+3,3);Doti+2(j,3),Doti+2(j+1,3),Doti+2(j+2,3),Doti+2(j+3,3);Doti+3(j,3),Doti+3(j+1,3),Doti+3(j+2,3),Doti+3(j+3,3);A=a*xc*b;% 曲面上点的坐标赋值B=a*yc*b; C=a*zc*b;rA=A;rB=B;rC=C;surf(A,B,C),shading interp;colorma

14、p(jet) % 彩色显示 endendfor i=1:num-3for j=1:Dotnum(num)-3xc=Doti(j,1),Doti(j+1,1),Doti(j+2,1),Doti(j+3,1);Doti+1(j,1) ,Doti+1(j+1,1),Doti+1(j+2,1),Doti+1(j+3,1);Doti+2(j,1),Doti+2(j+1,1),Doti+2(j+2,1),Doti+2(j+3,1);Doti+3 (j,1),Doti+3(j+1,1),Doti+3(j+2,1),Doti+3(j+3,1);yc=Doti(j,2),Doti(j+1,2),Doti(j+2

15、,2),Doti(j+3,2);Doti+1(j,2) ,Doti+1(j+1,2),Doti+1(j+2,2),Doti+1(j+3,2);Doti+2(j,2),Doti+2(j+1,2),Doti+2(j+2,2),Doti+2(j+3,2);Doti+3 (j,2),Doti+3(j+1,2),Doti+3(j+2,2),Doti+3(j+3,2);zc=Doti(j,3),Doti(j+1,3),Doti(j+2,3),Doti(j+3,3);Doti+1(j,3) ,Doti+1(j+1,3),Doti+1(j+2,3),Doti+1(j+3,3);Doti+2(j,3),Doti

16、+2(j+1,3),Doti+2(j+2,3),Doti+2(j+3,3);Doti+3 (j,3),Doti+3(j+1,3),Doti+3(j+2,3),Doti+3(j+3,3);for h=1:length(u)for k=1:length(v)A=a(h,:)*xc*b(k,:);% 曲面上点的坐标赋值B=a(h,:)*yc*b(k,:);C=a(h,:)*zc*b(k,:);Au=aa(h,:)*xc*b(k,:); Av=a(h,:)*xc*bb(k,:);Bu=aa(h,:)*yc*b(k,:); Bv=a(h,:)*yc*bb(k,:);Cu=aa(h,:)*zc*b(k,:

17、); Cv=a(h,:)*zc*bb(k,:);Auu=aaa(h,:)*xc*b(k,:); Avv=a(h,:)*xc*bbb(k,:);Buu=aaa(h,:)*yc*b(k,:); Bvv=a(h,:)*yc*bbb(k,:);Cuu=aaa(h,:)*zc*b(k,:); Cvv=a(h,:)*zc*bbb(k,:);Auv=aa(h,:)*xc*bb(k,:); Buv=aa(h,:)*yc*bb(k,:);Cuv=aa(h,:)*zc*bb(k,:);Sz=Au,Bu,Cu; Sf=Av,Bv,Cv;Sff=Avv,Bvv,Cvv; Sfz=Auv,Buv,Cuv;Szz=Auu

18、,Buu,Cuu;N=cross(Sz,Sf); n=N/norm(N,2);E(h,k)=dot(Sz,Sz);F(h,k)=dot(Sz,Sf);G(h,k)=dot(Sf,Sf);L(h,k)=dot(Szz,n);M(h,k)=dot(Sfz,n);N(h,k)=dot(Sff,n);f2(h,k)=L(h,k)*N(h,k)-M(h,k)*M(h,k);f1(h,k)=E(h,k)*G(h,k)-F(h,k)*F(h,k);K(h,k)=f2(h,k)/f1(h,k); % 高斯曲率平均曲H(h,k)=L(h,k)*G(h,k)-2*M(h,k)*F(h,k)+N(h,k)*E(h,

19、k)/(f1(h,k);% 率k1(h,k)=H(h,k)+sqrt(H(h,kF2-K(h,k); k2(h,k)=H(h,k)-sqrt(H(h,kF2-K(h,k);%高%斯%曲%率% bl=1000;if (H(h,k)=NaN)break;elseAD(h,k)=A+bl*1.0/H(h,k)*n(:,1);BD(h,k)=B+bl*1.0/H(h,k)*n(:,2);CD(h,k)=C+bl*1.0/H(h,k)*n(:,3);line(A AD(h,k),B BD(h,k),C CD(h,k),Color,b);endendendendendfigure(2);surf(rA,r

20、B,rC),shading interp;colormap(jet) % 彩色显示 hold on;grid on;for i=1:size(rA,1)for j=1:size(rA,2)quiver3(rA(i,j),rB(i,j),rC(i,j),0,0,E(i,j),b);endendfigure(3);surf(rA,rB,rC),shading interp;colormap(jet) % 彩色显示 hold on;grid on;for i=1:size(rA,1)for j=1:size(rA,2)quiver3(rA(i,j),rB(i,j),rC(i,j),0,0,F(i,j

21、)/20,b);endendfigure(4);surf(rA,rB,rC),shading interp;colormap(jet) % 彩色显示hold on;grid on;for i=1:size(rA,1)for j=1:size(rA,2)quiver3(rA(i,j),rB(i,j),rC(i,j),0,0,G(i,j)/20,b);endendfigure(5);surf(rA,rB,rC),shading interp;colormap(jet) %hold on;grid on;for i=1:size(rA,1)for j=1:size(rA,2)quiver3(rA(i,j),rB(i,j),rC(i,j),0,0,L(i,j),b);endendfigure(6);surf(rA,rB,rC),shading interp;colormap(jet) %hold on;grid on;for i=1:size(rA,1)for j=1:size(rA,2)qui