量子力学导论第3章答案参考资料

1、肇第三章一维定态问题 肇3.1）设粒子处在二维无限深势阱中,0 x a,0 y : b其余区域0芄 V(x,y)=0,，芁求粒子的能量本征值和本征波函数。如a = b，能级的简并度如何?螁解：能量的本征值和本征函数为莀若a = b，则nxnynxn-2 2 2 二(匹 2m (a2nyb2二 2 sin 亦 sin . ab anx, ny =1,2/nxny2ma（n；卄十）厶in 竝sind蒇这时，右nx= ny，则能级不简并；若nx= ny，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如nx-10, ny= 5与 nx =11, ny =2 ）肂螂3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即，广薀

2、 V(x, y, z)=丿0,cdOcxca, Ocyvb, Oczcc其余区域芈求粒子的能量本征值和本征波函数。如a =b =c，讨论能级的简并度。膄解：能量本征值和本征波函数为化22m2(敗(2a2nyb22+ nz)2 5cnynz羈当a = b = c时，nynz二 nxx8 sin 二 sin abcnx,ny,nza= 1,2,3,nyy .二nzZsinc2ma2H)2 sin 匹sindsind a蒈nx二ny二nz时，能级不简并;螈nx,n y, nz三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。羃nx,n y, nz三者皆不相等时，能级一般为 6度简并的。书52

3、+62 +82 =32 +42 +102莁如 102 +122 +162 =62 +82 +202(1.7.9) (1,3,11)(1.5.10) (3,6,9)袈芅3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中,肄V(x, y)=丿 0,oCi0 ： ： x : ax 0, x a葿证明处于定态 n(x)的粒子2(x-x)2 爲(1-舌)羅讨论n：-的情况，并于经典力学计算结果相比较。肅证：设粒子处于第 n个本征态，其本征函数螂匸n（X）二n.:a a22羁 X= X：n dx 蔦 0axsin2 n二，分部a xdxa(1)2 2蚆(x -X)X -X2 a 2OXS2dx -a2x dx范围的几率

4、为dx(3)dxa2芃(x _x)2-2(4)袃二 2 ax2 丄(1cosjx0 22(2)羀(112莀在经典情况下，在 0, a区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于衿当n；弋时，量子力学的结果与经典力学结果一致。膆肆3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，x a/ 2x a/ 2r0,莁V(x, y)= “艿处于基态（n =1），求粒子的动量分布。羇解：基态波函数为*12 cos Va a(参 P57, (12)1(P)一a和2胡521 a2 P -1 样 丄乳亍 Jae -(e+e)dxa2ei(

5、a-p)e2 v a - J2_叫 p) dxiT;le-2iala、: acos pa2pa cos p.apacos2螃动量的几率分布 P（p）=|申（p）4曲3二 2 一2-a2p22cos2 雯2蚈3.5）设粒子处于半壁高的势场中0蚇 V(x) =_V0,0 x : a(1)0,袄求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。袂解：分区域写出 seq：1(x) k2 - 1(x) = 0, 2(x) -k* 2(x) 7,蒇其中k2(4)羆方程的解为：2壮壮叮羀根据对波函数的有限性要求，当Xr 时，-：2（X）有限，则膈当 x =0时，口X）=0，则 A B =0螃于是O = F

6、sin k x,，2(x)二 De*,0 ： x : a(5)莂在x = a处，波函数及其一级导数连续，得ka芀 F sin k a = Dek F cosk a = -kDe“a(6)袈上两方程相比，得(7)ktg k a =-yk螄即tg a(7蒁若令ka =(8)蚀则由（7）和（3），我们将得到两个方程:-ctg:2爭2（9）（10 ） 式是以（10）ctg 在第一象限的交点可决定束缚r2叫。2a为半径的圆。对于束缚态来说，-V。：:： E ： 0 ,祎结合（3）、（ 8）式可知，和 都大于零。（10）式表达的圆与曲线二 态能级。当r 一；2，即、2：V0a _二2，亦即(11)袃V0a

7、2 _ 二228聿时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。膅蚃36 ）求不对称势阱中粒子的能量本征值。羂解：仅讨论分立能级的情况，即0 ： E : V2，袅当XT时，V T 0，故有Aek1X,x cO,匕=j2mM E)/衣蚄屮=Asin(kx + B )0 c x c a,k = j2mEf 齐(6 n )人2广,a ex,k2 =j2mM -E沪肀由d% 在x=、x=a处的连续条件，得羈人=kctg、，k2 = kctg ka 、（1）(2)蚆由（1a）可得sinQmM螆由于k,k2,k皆为正值，故由（1b）,知ka +6为二，四象限的角。蒂因而sin ka

8、 -.2mV2莇又由（1），余切函数（ctg 的周期为兀，故由式,莆 E sin4kv2mV1薃由（3），得_1 sin -2mV2薁结合（4）,（5），得ka 二 n2 二_sin -n： - sin，J2mV2Y2mVi肀或2mVi-sin J j2mV2(6)肆 n =1,2,3,蚅一般而言，给定一个 n值,有一个解kn ,相当于有一个能级:蒀当V2 Vi时，仅当2k22m(7)a ., 2mV2sin2Vi袇才有束缚态，故V1,V2给定时，仅当.2mV2V2- si n2(8)莂时才有束缚态（若 V1 =V2 =V，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级）肁当V1,V2,a给定时，由

9、式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为hkAn=eknx, x , km = j2m(Vi -j2mV量即 n=AnSi n(knX+6), Ocxca,An(-1 厂，e*nD, xna , k?. = j2m(V2 - E 沪 2X- n（X）- 2n 一汀 n 二（X）-Ct.njL（X） n 1（x）Ctn J（X）-dx2（xi二2n 1（X）七财2n- n（x）【2n t.n2 n n -1 - 仁 - 2 n 1- n . n 1 n - 2 n 2dx、2 _b_V 2n 2.2m2*n- n2.22 d22 ndX2m dx2. n n -1-仁 - 2n T

10、n . n 1 n 2n 2 dx2二2*h22n 1 ndx =4m4mEn薈3 10）谐振子处于 n态下，计算膂解：由题36), x=0,Enm -2m- 由题 37), p = 0,2p 2mT = mEn二T 2 = x2 一 I丄1A2 m -2 12：x= (p-pil =(p2 p?产=” + ；屜二p 二 n 1p I 2丿12肇对于基态，n =0,p =2，刚好是测不准关系所规定的下限。芁3 11)荷电q的谐振子，受到外电场 ;的作用,1 22螁V(x) m x -q ； x2(1)螇求能量本征值和本征函数。p122芅解：Hm，2x2 -q ; x = H 0-q ; x2m

11、(2)莀H o的本征函数为膀 本征值En蒇现将H的本征值记为En ,本症函数记为 n(X)。螂其中x0 二 q ； m(3)薀如作坐标平移，令(4)芈由于dx dx(5)2膄H可表成H P 1mx，21 mx：2m 22(6)袀(6)式中的H与(2)式中的H。相比较,易见 H和H。的差别在于变量由x换成x，并添加了常数项2 2X。，由此可知罿 En = EnC)Imco 2x2(7)膅即螈其中羈n(x)=屮 n(x ) =n(x -X)(8)n 丿;:.2n 2n(xAneAn =莁 3 12)n =0,1,2,(9)2Hn ：CL(l2 n!设粒子在下列势阱中运动，袈 V(x) = 1x/x

12、 0,x 0.(10)(11)芅求粒子能级。肄肁解：既然粒子不能穿入 x :：: 0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在 x = 0处为零。另一方面，在 x . 0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n =2k 1的奇宇称波函数在 x = 0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n = 2k的偶宇称波函数不满足边条件 （0） = 0）所以k =0,1,2,薇螇3 13）设粒子在下列势阱中运动，蒃 V (x) = *oOJx -ax : 0,x 0.r,a 0(1)蚂是否存在束缚定

13、态？求存在束缚定态的条件。莇解：S.eq:叮一 ,x a -二 E-2m dx2薄对于束缚态（E 0一，所以la 0 ,荿利用lim : a coth : a =蒆（10）式化为2mra一2=a a coth薃因此至少存在一条束缚态能级的条件为2mra _ 1-2(11)蝿纯：势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为-：（x）三0，对x _ 0 ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯势阱的特征长度 /mr。(12)聿条件（11）可改写为a - L 2薇即要求无限高势垒离开 ：势阱较远（a - L 2 ）。才能保证：势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a（即a aL/2

14、 ）, Ba t血时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时coth PaT 1，式（10）给出二 mr2.2蒂即2mr2m(13)蝿与势阱V（x）二_r、（x）的结论完全相同。则式（10）化为(14)肄 1 coth 二響袂由于 1 cot h _1，所以只当式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用=?a =a -2mE .，即可求出能级Fn2薀E 22ma以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins