2021高等数学基础作业答案

1、2020年高等数学基础第一次作业点评1第1章函数第2章极限与连续（一）单项选择题1下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等.B. f（x）A. f (x)(X)2, g()C. f (x)ln X3, g(x)3lnD. f(x)2.设函数f（）的定义域为则函数X2 , g(x) XX21X 1f( X)的图形关于(X 1, g()f(x)C ）对称.A.坐标原点C. y轴3下列函数中为奇函数是（B.D.2A. y ln（1 X ）XXa aC. y F4下列函数中为基本初等函数是（B.D.xcosxln(1x)A. y X 1B.c yX2D.X1,1,5.A.C.F列极限存计算不正确的是（

2、2XX22Sin XlimXB.IimXD.6当XSin XA.X.1C. XSinXX0时,lim ln(1 :X 01lim XSin0XXX)变量（C ）是无穷小量.1B.-XD. ln(x 2)7.若函数f (X)在点Xq满足(A ),则f (X)在点Xq连续。A. lim f (x)X XC. lim f(x)X X)(二)填空题f()f（X。）X29X 322已知函数 f(X 1) X3 lim(1 )X X 2x1.函数 f (X)ln(1B. f （x）在点X。的某个邻域内有定义D. lim f (X) lim f (x)X XqXXX）的定义域是则 f (X)1.xx 3或X

3、 3X ,4若函数f(x) (IX 1 ,X)X , X 0 ,在 Xxk,X 0X 00处连续，则k5.函数y的间断点是.X 0Sin X,X 06.若 Iimf (X) A,则当XX0时，f (X)A称为1(三)计算题1.设函数无穷小量X 1f(x)求：f ( 2), f(0), f(1) 解：f( 2)2f(0) 01f (1) e e2x 12.求函数y IgIg 的定义域.X2x 1解：欲使函数有意义，必使Ig0 ,X2x 1即:1 亦即：2x 1 XX解得函数的定义域是：X 13.在半径为 R的半圆内内接一梯形，个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数.2 X梯形的一个底边与

4、半圆的直径重合,另一底边的两解：设梯形的高 CM=X ,则DMR22梯形的上底DC 2 . R2 X则梯形的面积(2 . R2 X2 2R)x S2(.R2 X2R)XSi n3x4.求 IimX 0 Sin 2xl. Sin 3x Iim X 0 3x1. Sin 2x Iim X 0 2x1，下底AB 2R(0X R)解：原式=-25.求 IimX 1 Si n(x 1)”十,I- X 1 解：原式=IimX 1 Sin (X 1)6.求解:7.求1. ta n3x Iim 0 Xsin3xIim cos3X 0 Xl. 1 X2Iim 0 Sin XSin 3 1 3Iim0 3 cos

5、3解：原式=Iim P一X=X 0 点1)( d X2 1)1)si nx&求 Iim( 解:原式=Xim= IimX= IimX9求 IimX 4解：原式2X2 5 4= Iim(X 4)(X 2)4 (X 4)(1)6xIim XX 410.设函数f(x)讨论f (X)的连续性，并写出其连续区间 点评：讨论分段函数在分段点处的连续性, 然后再由函数连续性的定义判断。解：XimIimX 1 IimX 1 X先看函数在分段点f()f()f()Iim1Iim13IimSX0 3IimX 0 , 1= IimXIim(X 2)2 ,X ,X 1,只要研究函数Iim 13X 0 cos3Iim-1X

6、0 Sin X11X(X1)1处的情况，1 1 0f (X)，故Iim f ()不存在。X 11为函数f(x)的间断点。1处的情况,1再看函数在分段点 XTlim f(X) Iim1X 1X 33=IimXX 344=ef(x)在该点处的左右极限情况,2Iim f(X) im(X 2) 1X 1X 1IimX 1f(X)IimX 1f (X),故 Iim f (X)X 15X又因为f (1) X X I 1所以 Iim f(X) f(I)l1故X 1是函数f (x)的连续点。函数f (X)在连续区间是：(，1) ( 1,)。高等数学基础第二次作业导数与微分(一)单项选择题1设f(Q) Q且极限

7、IImf(X)存在，则X QA. f(Q)C. f (X)B.D.f (X)IImX Q Xf (Q)Q(B)2设f (X)在X。可导，贝Ux0-T叫Hhx0(D)2hD.Xo连续.A.2f (XQ)B.f (XQ)C.2f (XQ)D.f (XQ)3设 f (x) eX,则 Iimf(1 X)f (I)(A )X QXA.eB.2e11C.eD.e244.设 f (x) X(X 1)(x2) (X 99),则 f (Q)A.99B.99C.99!D.99!5.下列结论中正确的是(C ).A.若f(x)在点XQ有极限，则在点XQ可导.(D).B.C.f (X)在点Xq连续，则在点Xq可导.f

8、(X)在点Xq可导，则在点Xq有极限.f (X)在点Xq有极限，则在点若若若(二)填空题1.设函数f (X)2 . 1 X Sin , XQ,Q,则 f (Q)Q设 f(eX) e2XX5eX ,则fn刃如dx3曲线f (x) 、x 1在(1,2)处的切线斜率是4曲线f(x)Sin X在1)处的切线方程是y 1 5.设y2x X2xX21 n X 2 6.设yX l n X ,贝U y(三)计算题1求下列函数的导数 y :点评：这组求函数的导数计算题主要是采用导数的四则运算法则和基本求导公式来解决。 y (x 一 X 3)ex3解：y (x2ex3ex)312 Xe232 XXX e 3e解:

9、解:解:解:解:3ex(x22Cot13 2X22In X3)cos x y(Sin X1= .2Sin X2X2Sin XSinx CoSXCoSXX 、X In x) (22xIn X )Sin XX2x1 nx XIn X2xIn X In2 XXCoSX 23X(Si nx 2x In 2)x3 (cosx 2x) 3x26XXXXSi nx In 2 2 x 3cosx 3 2x(2l nx 1)In2xX4In X X2Sin X(2x) Sin Xycosx(ln X X2)2Sin X2 2 (1 2x )sin X XCoS(In X X ).2 XSin x4 Sin xl

10、n Xy 4x3(coSx InxXI Sin X coSx In X=4x3X解:. 2SIn X XXX(CoSX 2x)33 In 3(sin X32x2 cosX 2x In 3(sinx X ) =盯V y e tan X Inx解:XI X .e1y (e tanx厂)cos X Xex(sin x cosx 1)1cos XX2.求下列函数的导数 y :这组求函数的导数计算题主要是采用复合函数的求导法则，可用设中间变量的方法，当 中间变量不多时，也可直接求。设中间变量的目的尽可能使函数成为基本初等函数或基本 初等函数的四则运算。y、.X e解:1y e 2 JxIn Cosxex

11、2x解:Sin X yCOSXtan X解：因为y所以y14X18 ySin 2 X解：因为y所以y2 sinXy解: 2 Sin2 2y cosx 2x 2xcosxXcose. X XySineeX . X=e Sine. nSin xcos nxy (Sin n x) cos nx SinnX (cos nx) nsinn 1X CoSX CoSnX SinnX ( SinnX) n nSinn 1 x(cos xcosnx Sin XSin nx) y 5SinXy解:y解:1解：设 y 5uUSinxUSinXyyu Ux =5 In 5 cosx In 5 5 cosx注：因只有一

12、次复合，也可直接计算。 y ecosx解：设 y euUCoSXyyU Ux =e ( Sin x) e SinX注：因只有一次复合，也可直接计算。3.在下列方程中，是由方程确定的函数，求：点评：这组求函数的导数计算题采用的是隐函数的求导法。有两种方法，第一种是在方程 两端对自变量X求导，将Y视为中间变量，利用复合函数求导法则。第二种方法是对方程 两端同时求微分，利用微分运算法则和一阶微分形式不变性，求得微分后求导数。解：将方程两边对 X求导：2yy cosx ysin X= 2e y2yy (cos X 2e ) ysinxysin Xy莎cosx 2ecos y I n xX求导：X co

13、s y(In x)I cosy In XXInx)池移项所以:y解：将方程两边对y(cos y) In移项Sin y yy (1Sin y所以:CoSyx(1 In XSin y)2 2xsin yX解:2simy 2xcosy y2xy xy 1 y y2y2x x2y y y丝 2simy y2xy2y2simy2xcosy2 X2 y2xy2 cosy x2In yIn Xey解：因为:解得1上y1解：将方程两边对 X求导:1yOe y 2y y整理得：yX(2y ey) y21 eX Sin解：将方程两边对2y ySin y整理得:yX求导：Xe CQS y yXe Sin y2y3y

14、解：将方程两边对ey yey3y2整理得:2yXe cosyX求导:yXeey 3y2y 5x解：将方程两边对 X求导:In 52y In 2 yXy 5整理得：5xIn 512y In24.求下列函数的微分 dy : y CQt XCSCX解：因为 y1 1十（一）Sin X SinX1 CQSX1.2Sin XCQSX.2 Sin X所以dy2Sin X1 CQSX I2 dx Sin XIn XSin X解：因为y-Sinx cosx In X X2Sin XSinX XCQSX InX所以dy=2XSin XSinX XCQSX InX2 dxXSin X y Sin解：设2X2UU

15、Sin XyuUX=2u CQSX 2sinx CQSX = sin2x所以 dy= Si n2xdx y tan ex解：设：y tanu, U则 y yu UXX=2 e COS UX e=2Xcos e所以X e dy= Lr dx cos e5求下列函数的二阶导数:点评：这组是求高阶导数的计算题。高阶就是导函数的导数，除了对象以外，定义思想和 求导方法都与以往类似。y . X解：y12xy解：y 3xI n3y(3x In 3)3xIn3 In 3 y ln X1解：y _Xy (-)XX y XSin X解：y SinX xcosxy (SinX X cosx) cosx cosx

16、xsinx2cosx xsinx(四)证明题(X)是偶函数.设f (x)是可导的奇函数，试证 证明：因为f (X)是奇函数，所以又因为f(x)可导，函数f( X)为复合函数。对f ( X) f (X)两端对X求导，得：f ( X) ( X) f (X) 即 f ( ) f (x) 所以：f ( X) f (X) 根据偶函数的定义，f (X)是偶函数。高等数学基础第三次作业第4章导数的应用f(b) f(a)b a(一)单项选择题A.B.C.D.在(a, b)内连续在(a,b)内可导在(a,b)内连续且可导在a, b内连续，1.若函数f(x)满足条件(D),则存在 (a, b),使得f ()327

17、.设函数 f(x) ax (ax)axA. 1C. 0a在点X 1处取得极大值2 ,贝U a ( 1 ).1B.31D.322.函数 f (X) X4X1的单调增加区间是(D).A. (,2)B.(1,1)C. (2,)D.(2,)23函数y X 4x 5在区间(6,6)内满足(A).A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升4.函数 f (X)满足 f (X)0的点,一定是f (X)的(C).A.间断点B.极值点C.驻点D.拐点5设f (X)在(a, b)内有连续的二阶导数,X0(a,b),若f (X)满足(C ),则 f (X)在X0取到极小值.A. f(X。

18、) 0, f(X。)0B.f (X0)0,f (X0)0C. f(X。)0, f (X0)0D.f (X0)0,f (X0)06.设f (x)在(a , b)内有连续的二阶导数,且f(X)0, f(x)0 ,则f (x)在此区间内在(a,b)内可导B.单调减少且是凹的D.单调增加且是凹的是(A ).A.单调减少且是凸的C.单调增加且是凸的(二)填空题1. 设 f (x)在(a , b)内可导，Xo (a, b),且当 X x 时 f (x) 0 ,当 X x 时 f (x)0,则x0是f (x)的极小值点.2. 若函数f(x)在点Xo可导，且Xo是f(x)的极值点，贝U f (xo) _03函

19、数y In(1 X2)的单调减少区间是，0 .X24函数f (x) e的单调增加区间是0,5若函数f(x)在a,b内恒有f (X) 0,贝y f (X)在a,b上的最大值是f(a).36函数 f(x) 2 5x 3x 的拐点是 (0,2) .7若点(1, 0)是函数f(x)ax3 bx2 2的拐点，贝U a 1 , b 3最小值 f(0)=f(2)=0最大值是f(3)=39 极大值f(1)=1极小值f(2)=0(三)计算题31.求函数y(X1)2(x5)2的单调区间和极值.解：y3X11 2X 5 23112 X 1 2 X 5-x 12x 5 3x 15 4x42A21 X11 2 X5 7

20、x11 021X=得驻点：X= -1x=57X-11,11711711,5755,Y0+00+y左端点Z极大1131104 Lf 1472401极小f 50Z11 11f X在 1,5,内单调上升，在,5内单调下降。77极大值是f1131104 14极小值是f 50724012.求函数y3 (X22x)2在区间0, 3内的极值点，并求最大值和最小值解：y23IX2 2x 3 2x 20 得驻点x=1又当x=0x=2时y无意义，但原函数连续 f(0)=0f(1)= 1f(2)=0f(3)= 3 9X00,111,222,33Y无意义+0:无意义+y0极大值f(1)=1极小值f(2)=0Z3.试确

21、定函数y ax3 bx2 CX d中的a,b,c,d ,使函数图形过点(2,44)和点(1, 10),且X2是驻点，X 1是拐点解：. y ax3 b2 CX d的图形过点(2,44)和点(1, 10)，且X 2是驻点，X 1是拐点.* 8x 4b 2c d 44a=1 “a b c d 10b= -3 1(三)计算题1COS-1. X dxX1分析：用凑微分法将积分变量凑成，然后用积分基本公式。X解：原式=COS丄 d -X X.1SInXeX .2.dxX分析：用凑微分法将积分变量凑成解：原式=2 e .X 2e X ,然后用积分基本公式。1 .3.ClXXln X分析：用凑微分法将积分变量凑成1原式= d In X ln(ln x)In XXSin 2xdxIn X ,然后用积分基本公式。解:4.分析:可用分部积分法求解。1解：原式= Xd cos2x211= (xcos2x sin2x22e3 In Xdx1 X分析：用凑微分法将积分变量凑成e解：原式=(315.=(3In XeIn x)d In X 311 2 e-In x) =32 16.1Xe02xCx解:原式2xXe1d( 2x)C)In X ,d I nx然后用积分基