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1、 二重积分的计算方法研究【摘要】在高等数学中，二重积分的计算是一个难点，一些重要的计算技巧，它的关键是通过二重积分的性质和被积函数的特殊性，将不同的类型的题目分类来找到相关的解题思路，从而将不易求出的二重积分求出的方法.【关键词】二重积分在高等数学中，二重积分的计算是一个难点，要从二重积分的性质、几何意义、被积函数的特征等各个方面研究，可以找到解决问题的办法.一、交换积分次序先依给定的积分次序写出积分域d的不等式,并画d的草图，再确定交换积分次序后的积分限.例1 计算积分10dx1x2xy1+y3dy.解 交换积分顺序.原式=10y1+y3dyy0xdx=1210y21+y3dy=1610d(

2、1+y3)1+y3=13(2-1).二、注意利用对称性质,以便简化计算例2 计算x2+y2a2(x2-2x+3y+2)d.解 积分域是圆x2+y2a2，故关于x轴、y轴、直线y=x对称，故将被积函数分项积分:x2+y2a2(-2x+3y)d=0.而x2+y2a2x2d=x2+y2a2y2d=12x2+y2a2(x2+y2)d12=x2+y2a2(x2+y2)d=a44.又 x2+y2a22d=2a2=2a2，原式=a44+2a2.三、如被积函数的积分域为圆域、扇形域、圆环域时,则用极坐标计算例3 计算二重积分d(x+y)dxdy，其中d：x2+y22x.解 用极坐标、对称性来解决.原式=220

3、d2cos0rcosrdr=220cosd2cos0r2dr=2320cos(r3)2cos0d=16320coscos3d=16320cos4d=16334122=.四、被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函数中的绝对值符号例4 计算二重积分d|x2+y2-1|d，其中d=(x,y)|0x1，0y1.解 将d分成d1与d2两部分.d|x2+y2-1|d=d 1(1-x2-y2)d+d 2(x2+y2-1)d.由于d 1(1-x2-y2)d=20d10(1-r2)rdr=8，d 2(x2+y2-1)d=10dx11-x2(x2+y2-1)dy，d 2(x2+y2-1)d=10dx11-x2(x2+y2-1)dy=10x2y+y33-y1-x2dx=10x2-23+23(1-x2)32dx=10x2-23dx+2310(1-x2)32dx=-13+23i=8-13，i=10(1-x2)32dx，x=sint=20cos4tdt=34122=316，d|x2+y2-1|d=8+8-13=4-13.通过以上例子，可以看出求二重积分是从二重积分的性质、几何意义、被

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