第7讲.二次根式经典题型.教师版

1、第七讲二次根式经典题中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）重、难点二次根式化简求值是考试的重点，掌握一些必要的化简技巧至关重要！例题精讲一、化简求值【例1】 (年宁波市中考题)已知，求代数式的值【解析】【巩固】 (河南省竞赛题)(第七届祖冲之杯数学竞赛)当，求代数式的值.【解析】 ，【巩固】 (2006年江西)先化简，再求值.，其中.化简二次根式已知，求的值.【解析】 原式当时，原式.， 原式.【例2】 已知：，且，求的值.【解析】，原式【巩固】 已知，求下列各式的值.； .

2、【解析】 ，.二、有理数无理数【例3】 已知、均为有理数，并满足等式，求、的值.【解析】 由已知条件可得，所以，即，【巩固】 已知、是有理数，且，求、的值【解析】 、为有理数，为无理数，则当且仅当时，由这一性质可解答本题已知等式可以变形为因为、是有理数，所以化简得解之得三、估算整数部分、小数部分【例4】 已知，为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足，求的值.【解析】 ，即，为有理数，解得，【巩固】 已知的整数部分为，小数部分为，求的值.【解析】 通过估算得知，.原式.【例5】 （宁波市初中数学竞赛题）设的整数部分为，小数部分为，试求的值= .【解析】 ，故，.【巩固】 是的小数部分，求

3、的值.【解析】 ，四、提取公因式【例6】 (天津市竞赛题)【解析】 原式【巩固】 满足等式的正整数对的个数是a.1 b.2 c.3 d.4【解析】显然所以，所以，正整数对或【例7】 （第届“希望杯”培训试题）化简：=_【解析】 【巩固】 （第届“希望杯”培训试题）化简_【解析】【例8】 化简并求值：，其中，【解析】 原式【巩固】 (五城市联赛)化简：【解析】【巩固】 （第届“希望杯”试题）化简=_.【解析】点评：本题为因式分解法化简根式【巩固】 (第12届希望杯培训题)，求的值.【解析】 .【例9】 计算：.【解析】 原式.【巩固】 化简：【解析】 原式五、裂项【例10】 下列分母有理化计算.

4、 ，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：.【解析】 原式【巩固】 (全国数学联赛)计算：【解析】 原式【例11】 化简：【解析】原式【巩固】 （2006年湖北）计算：【解析】 原式中有规律：.原式，.【例12】 计算：【解析】 原式【巩固】 (天津市初二数学竞赛)计算：【解析】原式【补充】（第届“希望杯”试题）已知对于正整数，若某个正整数满足，则=_【解析】 ，【补充】定义，求的值.【解析】所以；以上各式分别相加，得.【补充】(第九届华杯赛) 计算:【解析】 因为所以所以原式六、互为倒数、化简求值【例13】 (年全国数学联赛)已知：，求的值.【解析】 ，【巩固】 已知：，求的值.【解析】

5、 ，【巩固】 (天津市竞赛题)已知：，求的值.【解析】 ，【例14】 设，为自然数，如果成立，求值.【解析】 ，得，得七、换元【例15】 （第届“希望杯”试题）计算：+=_.【解析】 令，则原式【例16】 计算：=_【解析】 设，那么原式【巩固】 （2006年“希望杯”竞赛试题）_【解析】 令，则原式八、奇思妙想（补充专题教师选讲）【例17】 （湖北省黄风市初中数学竞赛题）若，则的值为 .【解析】 ，故原式.【巩固】 已知，求的值。【解析】 利用已知条件可得，然后再用“代换法”来求值 ，。两边平方，得，即。类似可得。【例18】 （“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）若，则的值是 0 .【解析】

6、，.【巩固】 （全国初中联赛题）当时，多项式的值为（ ）a b c d.【解析】 ，即，【巩固】 （第十届“希望杯”初二数学竞赛题）如果，那么 .【解析】 由题设得：，原式.【例19】 （安徽省初中数学竞赛题）已知是有理数，满足，则是一个（ ）a b c d.3【解析】 将代入得，化简得，是有理数，解之，选（a）【例20】 （全国初中数学联赛题）若，则分式 .【解析】 ，.故原式.【巩固】 已知，试求的值。【解析】 因为，所以，所以，即。由综合队法，得原式。家庭作业【习题1】 （2008乌鲁木齐，15，6分）先化简，再求值：，其中【解析】 原式，当时，原式【习题2】 (2006年南通中考题)先

7、化简，再求值.，其中，【解析】 .当，时，原式.【习题3】 (02年四川竞赛题)设是一个无理数，且，满足，求【解析】 由可得，是一个无理数，所以，则，所以【习题4】 (天津市初中数学竞赛题)与的小数部分分别是和，求的值.【解析】 ，原式.【习题5】 （第届“希望杯”培训试题）_【解析】【习题6】 （辽宁省初中数学竞赛题）观察下面的式子，根据你得到的规律回答： =_；=_；=_； ，求的值（要有过程）.【解析】 为.【习题7】 （第届“希望杯”试题）设，则_【解析】 点评：本题为裂项相消法化简根式【习题8】 (希望杯数学邀请赛)已知：，求的值.【解析】 ，【习题9】 （第届“希望杯”培训题）代数式=_.【解析】 设，则原式【习题10】 （学生选作）已知，求的值。【解析】 ，所以，同理可得原式月测备选【备选1】 已知：，求的值.【解析】 ,，【备选2】 当时，求的值【解析】【备选3】 (上海市初二数学竞赛题)如果分别表示的整数和小数部分，求.【解析】 ，.【备选4】 化简求值：，其中，【解析】 原式，而，故原式【备选5】 已知，求代数式的值.【解析】 ，同号，又，则【备选6】