专题十一直线与圆讲义理

1、专题十一直线与圆辽:三年考情纵横研究：H卷I卷n卷川2018直线方程、圆的方程、点到直线的距离T62017圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质 T15圆的弦长问题、双 曲线的几何性质T9平面向量基本定理、直线与圆位置关系 T12直线与圆的方程、直线与抛物线位置关系 T202016抛物线、圆的标准方程 T10圆的方程、点到直线的距离T4点到直线的距离、弦长问题T16纵向把握趋势卷I 3年2考，涉及 圆的性质、点到直 线的距离、双曲线、 抛物线的几何性质.预计2019年会以选择题的形式考 查圆方程的求法及 应用卷n 3年2考，涉及 圆的方程、点到直 线的距离、双曲线 的几何性质，题型 为选择

2、题，难度适中.预计2019年会以选择题的形式考 查直线与圆的综合 问题卷川3年4考，涉及直线方程、圆的 方程、点到直线的距离、弦长问题、 直线与抛物线的位置关系、椭圆的 几何性质等，既有选择、填空题，也 有解答题，难度适中.预计2019年会以选择题或填空题的形式考查直 线与圆的位置关系，同时要注意圆 与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题横向把握重点1. 圆的方程近几年成为高考全国卷命题的热点， 需重点关注.此类试题难度中等 偏下，多以选择题或填空题形式考查.2. 直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压 轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程 （特别是直线）的考查主要体

3、现在圆 锥曲线的综合问题上辽贞保分考法练为主导页二直线的方程题组全练1.已知p：直线x y 1= 0与直线x my+ 2= 0平行，q： m= 1,贝U p是q的（）A. 充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件1 1 1解析：选A由于两直线平行的充要条件是厂二，即哙故选A.2. 已知直线，：3x + y 1 = 0与直线2 -3x + my3 = 0平行，则它们之间的距离是（）A. 1C. 35B. 4解析：选B由题意可知；3 = U2 ?3 m 3，解得m= 2,所以两平行线之间的距离D. 43. 已知点 M是直线x+ ：3y = 2上的一个动点，且点 P ：3

4、 , 1），则| PM的最小值为B. 11A. 2C. 2D. 3解析：选B | PM的最小值即点P( .;3, 1)到直线 x+ .3y=2的距离，又I 3 3 2|=1.故|PM的最小值为1.4设代B是x轴上的两点，点 M的横坐标为3，且|MA = | MB，若直线 MA勺方程为 x y + 1 = 0,则直线MB的方程是（）A. x + y 7= 0B. xy + 7 = 0C. x 2y+ 1 = 0D. x+ 2y 1 = 0解析：选A法一：由|MA = I MB知，点M在A, B的垂直平分线上.由点 M的横坐标为3,且直线 MA的方程为x y + 1 = 0,得M3,4）.由题意知

5、，直线 MA MB于直线x = 3 对称，故直线MAh的点（0,1）关于直线x= 3的对称点（6,1）在直线MB,.直线MB的方程 为 x+ y 7= 0.法二：由点M的横坐标为3，且直线MA勺方程为x y+ 1= 0，得M3,4），代入四个选 项可知只有A项满足题意，选 A.5.如图所示，射线 OA OB与x轴正半轴的夹角分别为45和30,过点P（1,0）作直线分别交 OA OB于 A, B两点，当AB的中点C恰好落在直线x 2y= 0上时，直线AB的方程为.解析：由题意可得 koA= tan 45 = 1, koB= tan 150 = -3，所3以直线l oay= x, lob：y =申

6、x，设A(m m ,耳一V3n,n)(0,n0)，贝UAB的中点3Cmk，写，当 1 时，n =_, A(1,1) , B1，捋，Cl,，故点 C不在直线x 2y = 0上，不满足题意，当 ml时，n工一-，由点C在直线x 2y= 0上，且n 1n 3n=x解得 n= ,：3,所以 A ,：3, 3),又 P(1,0),2 2 2 A, P, B三点共线得n 0n 0m =3n 1,所以 kAB= kAP=2，所以 I ab： y = (x 1)，即直线 AB的方程为(3 +J3)x一 2y 一 3 ：3= 0.答案：(3 + ：3)x 2y 3 :3 = 0系统方法解决直线方程问题的 2个注

7、意点(1) 求解两条直线平行的问题时，在利用AB AB= 0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.(2) 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.圆的方程题组全练1. 圆心在直线 2x y 7= 0上的圆C与y轴交于A(0， 4), B(0， 2)两点，则圆 C 的标准方程为()2222A.(x+2) + (y+ 3) = 5B.(x 2) + (y 3) = 52222C. (x+2) + (y 3) = 5D.(x 2) + (y + 3) = 5解析：选D法一：

8、设圆的标准方程为(x a)2+ (y b)2= r2,解得a= 2,b= 3,2a b 7= 0,故 a2 +4+ b 2= r2,2 2 2a +2+ b = r半径 r = , 22 + 12 = .5,故圆C的标准方程为(x 2)2+ (y + 3)2= 5.法二：利用圆心在直线2x y 7 = 0上来检验，只有D符合，即(x 2)2 + (y + 3) 2= 5的 圆心为(2 , - 3) , 2X 2+ 3 7= 0，其他三个圆心(一2, 3) , (2,3) , ( 2,3)均不符合题 意，故选D.2. 已知圆x2+ y2 2x4y + 1 = 0关于直线2ax+ by 2= 0对

9、称，则ab的取值范围是( )1 1A. a,BOO4, 21C. 0,41D. , 04解析：选A将圆的方程配方得(x 1)2+ (y 2) 2= 4，若圆关于已知直线对称，即圆心1 2 1 1 (1,2)在直线 2ax + by 2= 0 上，代入整理得 a+ b= 1,故 ab= a(1 a) = a+ w 二.443. (2019届高三豫南十校联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点 M0,5)在圆C上，且圆心到直线2x y= 0的距离为则圆C的方程为解析：设Ca, 0)( a 0)，由题意知-l- = 士宕，解得a= 2，所以r=2 =3, 故圆C的方程为(x 2)2+ y2= 9.答

10、案：(x 2)2+ y2 = 94. 在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线 mx y 2m- 1= 0( mE R)相切 的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .解析：由题意得，半径等于第甘=寸1+ms1+磐, 当且仅当m= 1时取等号，所以半径最大为2，所求圆为(x 1)2+ y2 = 2.22答案：(X 1) + y = 2系统方法求圆的方程的2种方法(1) 直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2) 待定系数法： 若已知条件与圆心(a, b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a, b, r的方程组，从而求出 a, b, r

11、的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D, E, F的方程组，进而求出 D, E, F的值.考法三直线(圆)与圆的位置关系多维例析角度一 直线(圆)与圆位置关系的判定及应用例1在平面直角坐标系 xOy中，点A(0,3)，直线I : y = 2x 4,设圆C的半径为1, 圆心在I上. 若圆心C也在直线y=x 1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程.(2)若圆C上存在点 M使I MA = 2|MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解 因为圆心在直线I : y = 2x 4上，也在直线 y = x 1上，所以解方程组y= 2x 4,22得圆心C(3,2)，

12、又因为圆的半径为1,所以圆的方程为(x 3)2 + (y 2)2 =y= x 1,1.又因为点A(0,3)，显然过点A,圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y= kx +3,即 kx y+ 3 = 0,所以|3 k 2 + 3|计1,解得k= 0或k= |,3所以所求切线方程为y = 3或y = 4X+ 3,即 y 3= 0 或 3x + 4y 12= 0.(2)因为圆C的圆心在直线I : y= 2x 4上，所以设圆心 C( a, 2a 4)，又因为圆C的半 径为1,则圆C的方程为(x a)2+ (y 2a+ 4)2= 1,设 M(x, y)，又因为 | MA = 2| M(p,则有x2

13、+ y 3 2 = 2 x2+ y2,整理得x2+ (y + 1)2 = 4，设为圆D,圆心D(0， 1).所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以 2 K ；a2 +2a 4+ 12 2+ 1,12解得0 a 0)上存在点P(不同于点M N)，使得PML PN则实数r的取值范围是()A. (1,5)B. 1,5C. (1,3D. 1,3解析(1)由题意知，圆心坐标为(0,0)，半径为2，则 AOB的边长为2,所以 AOB 的高为3,即圆心到直线x y a= 0的距离为寸3,所以丨1=,解得a= 6.(2)将圆的方程化为标准方程得 (x 3)2+ y2= r2(r 0)，若要使

14、圆上一点 P满足PML PN 则需圆经过 M N两点之间，即r 1,5.当r = 1时，(x 3)2+ y2= 1经过点N(2,0)，圆 (x 3)2+ y2= r2(r 0)上不存在点 P,使得 PML PN 当 r = 5 时，(x 3)2+ y2= 25 经过点 M 2 2 2 一2,0)，同理圆(x 3) + y = r (r 0)上不存在点P,使得PML PN故选A.答案(1)B(2)A系统方法1 .直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1) 研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2) 求过圆外一定

15、点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x轴垂直的切线.2. 弦长的求解方法几何法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2 = d2+(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式：1 = 71 + k2|x1 X2|求解(其中1为弦长，X1, X2为直线与圆相交所得交 点的横坐标，k为直线的斜率)距离法求出交点坐标，用两点间距离公式求解综合训练1. 在圆(x 1)2+ (y 1)2= 9上总有四个点到直线l : 3x + 4y+1 = 0的距离为1,则实数t的

16、取值范围是()A. ( 17,1)B. ( 15,3)C. ( 17,3)D. ( 15,1)解析：选C由圆上总有四个点到直线l : 3x + 4y + t = 0的距离为1,得圆心(1,1)至煩 线I的距离d=八7| v r 1 = 2，解得17v tv 3，即实数t的取值范围是(17,3).52. 已知过点 A(0,1)且斜率为k的直线I与圆C： x2+ y2 4x 6y + 12= 0交于M N两 点若0M0N= 12,其中0为坐标原点，则|MN =()A. 2B. 4C. .3D. 2 ,322解析：选A设Ml屮),N(x2, y2)，圆C的方程可化为(x 2) + (y 3) = 1

17、,其圆心2 2 2 2为(2,3),将 y= kx +1 代入方程 x + y 4x 6y + 12 = 0,整理得(1 + k)x 4(k + 1)x + 7 =0,所以2 2 2 4A = 16( k + 2k + 1) 28(1 + k) = 12k + 32k 12 0, X1 + X2=-k + 11 + k2,X1X2 =OMl- ON= X1X2+ y1y2= (1 + k2)X1% + k(X1 + x + 1 = 4k 4 1 秽 + 8，由题设可得1 + k1 + k4k 1 + k1+ k2卜8= 12,得k= 1，满足A0,所以直线I的方程为y=x + 1.故圆心(2,

18、3)恰在直线I上，所以I MN = 2.3. 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C： (x+ 3) + (y 1) = 4.若直线I过点A(4,0),且被圆C截得的弦长为2羽，则直线I的方程为.解析：由于直线x= 4与圆C不相交，所以直线I的斜率存在.设直线I的方程为y =k(x 4),圆C的圆心(一3,1)到直线I的距离为d,因为圆C被直线I截得的弦长为2护, 所以d= ;2-厂=1.由点到直线的距离公式得d=上订1产，化简得k(24k+ 7)即 k = 0 或 k = 24,所以直线I的方程为y = 0或y = 24( x 4)，即y = 0或7x+ 24y 28 = 0.答案：y = 0

19、 或 7x+ 24y 28= 0压轴考法攻坚破难妙重难增分点、直线与圆的综合问题考法全析、曾经这样考1.与圆有关的范围问题(2014 全国卷n)设点Mxo, 1),若在圆 O X2+ y2= 1上存在点N,使得/ OM比45，贝U xo的取值范围是()A. 1,1B.1 12，2C ；2, .2D. #，*解析：选A 法一：常规思路稳解题. . 2 2由题意可知 M在直线y= 1上运动，设直线 y=1与圆x + y = 1相切 于点R0,1).当xo= 0即点M与点P重合时，显然圆上存在点 N 土 1, 0) 符合要求；当xoM0时，过M作圆的切线，切点之一为点 P,此时对于圆 上任意一点 N

20、,都有/ OM補/ OMP故要存在/ OM= 45，只需/OMIP45 .特别地，当/ OM= 45时，有Xo= 1.结合图形可知，符合条件的xo的取值范围为1,1.法二：特殊思路妙解题如图，过 O作OPL MN于点P,则 | OP = | Oh|Sin 45 +y = 5 交于A, B两点，其中点A在第一象限，且BM= 2 mA,则直线I的方程为 解析：法一：由题意，设直线I的方程为x= my+ 1( m 0)，与x2+ y2= 5联立，2 2消去x并整理得(m+ 1) y + 2my- 4 = 0.设 A(xi, yi) , B(X2, y2),yi),y1+ y2= 2m2m +1，则

21、BlM= (1 X2, y2), mA= (Xi 1,y1y2= 因为BM= 2 MA,所以一 y2= 2y1，联立，可得 m=1,又点A在第一象限，所以 y1 0,则m= 1，所以直线I的方程为x y 1 = 0.法二：由题意，设直线I的方程为x= my 1( m 0)，即x my- 1 = 0，所以圆心O到直1线I的距离d=2.屮+ m又M = 2A，且IOM = 1，圆x2+ y2= 5的半径r = 5,所以 r2 d2 + |OM2 d2= 2( r2 d2 | Oh/I2 d2)，即 3 | OM2-d2= r2 d2,1 1 2所以 9 1 2 = 5 2,解得 m = 1,1 +

22、 m 1 + m又点A在第一象限，所以 m= 1,故直线I的方程为x y 1 = 0.答案：x y 1= 0启思维本题将直线与圆的位置关系、共线向量问题相综合，考查直线方程的求法.直 线与圆的综合问题常利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决.增分集训1. (2018 全国卷川)直线x + y+ 2= 0分别与x轴，y轴交于 代B两点，点P在圆(x2 22) + y = 2上，则 ABF面积的取值范围是()A. 2,6B. 4,8c. 2, 3 2D. 2 2, 3 2解析：选A 设圆(x 2)2+ y2= 2的圆心为C,半径为r,点P

23、到直线x + y + 2= 0的距 离为d,则圆心 C(2,0)，r =2,所以圆心C到直线x + y+ 2 = 0的距离为|2 + 2|2=2 2,可得 dmax= 2寸2 + r = 3 2, dmin = 2寸2 r = /2. 由已知条件可得|AB = 2 2,1所以 ABP面积的最大值为2IAB dmax= 6,1 ABF面积的最小值为 fAB dmin= 2.综上， ABP面积的取值范围是2,6.2. (2017 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy中，A 12,0),耳0,6)，点P在圆O x + y2= 50上.若PA PB 解析：设 Rx, y)，贝U PA PB = ( 12

24、 x, y) ( x, 6 y) = x(x + 12) + y(y 6) w 20.又 x + y = 50,所以 2x y + 5w0,所以点P在直线2x y + 5= 0的上方(包括直线上). 2 2又点P在圆x + y = 50上，y= 2x+ 5,由 22x + y = 50,解得x= 5或x = 1,结合图象，可得一5 2wxw 1,故点P的横坐标的取值范围是5 2, 1.答案：5 2, 13.已知直线丨1： x 2y= 0的倾斜角为 a ,倾斜角为2 a的直线l 2与圆M x2+ y2+ 2x2y + F= 0交于A, C两点，其中 A 1,0) , B, D在圆M上，且位于直线

25、 丨2的两侧，则四 边形ABC啲面积的最大值是.2，所以直线丨2的斜率k解析：因为直线I仁x 2y = 0的倾斜角为a,所以tan12 X 2ta n a244=tan 2 a = i tan 2 a=1 = 3,所以直线 12的方程为y 0 = （x+1）,即 4x 3y + 4=0.14又A 1,0)在圆M上，所以(一1)2 2 + F= 0，解得F= 1，所以圆M的方程为X2+ y2 + 2x 2y + 1= 0,化为标准方程为(x + 1)2+ (y 1)2= 1，所以圆心 M 1,1)，半径r = 1.所以圆心M到直线I2的距离d=|4 X 1 3X 1+ 4|315,所以 2l a

26、c =45,即|AC = 2X 4 = 5.因为B, D两点在圆上，且位于直线 I2的两侧，则四边形 ABC啲 面积可以看成是厶 ABCWA ACM面积之和，如图所示，当 BD垂直平 分AQ即BD为直径)时，两三角形的面积之和最大， 即四边形ABCD勺1面积最大，此时 AC BD相交于点E,则四边形ABCD勺最大面积S=1 8 8X|AQ X| BE + X| AC X| DE = X|AC X| BQ = X X 2=.22255答案：85专题跟踪检测(对应配套卷P191)一、全练保分考法一一保大分1. 过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A

27、. 2x+ y 5 = 0B. 2x+ y 7= 0C. x 2y 5 = 0D. x 2y 7= 0解析：选B 过点(3,1)作圆(x 1)2+ y2= r2的切线有且只有一条，点(3,1)在圆(x 1)2+ y2= r2上,1 0 1圆心与切点连线的斜率k = -=-,3 12切线的斜率为一2,则圆的切线方程为 y 1 = 2( x 3),即 2x+ y 7 = 0.2. 圆心在直线x+ 2y = 0上的圆C与y轴的负半轴相切，圆C截x轴所得的弦长为2 ,；6,则圆C的标准方程为()A. (x 2 2 + (y + ：2)2= 8B. (x 2+ (y+ 2 .2) 2= 8C (x 2)

28、2+ (y+ ；2) 2= 8D (x 2+ (y+ 2厂=8rr解析：选A法一：设圆心为 r, (r0)，半径为r.由勾股定理(.6)2 +2= r2,解得 r = 2 ,2,圆心为(2 2, .2) ,圆 C的标准方程为(x 2 2)2+ (y+ ;2)2= 8. 法二：四个圆的圆心分别为(2 2 .-2) , ( ；2 , 2 ,；2) , (2 , ,；2) , ( ：2, 2),将它们逐一代入 x+ 2y= 0,只有A选项满足.3. 已知圆M x2+ y2 2ay= 0( a0)截直线x+ y = 0所得线段的长度是 2 2则圆M与圆 N： (x 1) + (y 1) = 1的位置关

29、系是()A.内切B.相交C. 外切D.相离解析：选B由题意知圆M的圆心为(0 , a)，半径R= a,因为圆M截直线x + y= 0所得 线段的长度为2 _.2,所以圆心M到直线x+ y= 0的距离d= a 2( a0),解得a= 2, 即圆M的圆心为(0,2)，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r = 1,所以|MN = )2,则R r 20),则r = 3X 6= 4 ,3所以圆C的方程为(x 4)2+ y2= 16.法二：设A,B两点的坐标分别为(X1 ,yj ,(X2 ,y2)( X10 ,X20),由题设知x1 + y2 = x.2+ y2.22丄匚 22又 y1= 2X1, y2 =

30、 2X2 , 故 X1 + 2X1 = x2 + 2X2 ,即(X1 X2) ( X1 + X2 + 2) = 0 ,由X10 , X20 ,可知X1 = X2 ,故 代B两点关于x轴对称，所以圆心 C在x轴上.设点C的坐标为(r, 0)( r0)，则点A的坐标为 ，于是2= 2x |r,解得r2 2=4，所以圆C的方程为(X 4) + y = 16.7.设M N分别为圆 O: x + y 12y+ 34= 0和圆Q： (x 2) + y = 4上的动点，贝U M N两点间的距离的取值范围是 .解析：圆O的方程可化为x2 + (y 6)2= 2,其圆心为 0(0,6)，半径ri=2.圆Q的圆

31、心 0(2,0)，半径 n= 2,则|OQ| = 36 + 4 = 2 10,则| MNmax= 2 10 + 2+ 2, | MNmin= 2 10 2 ：2，故M N两点间的距离的取值范围是 2 10 2 :2, 2 10 + 2+ . 2.答案：210 2 .2, 2 10+ 2+ ；2&过点P( 3,1) ,Q(a, 0)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为.解析：点P( 3,1)关于x轴对称的点为 P ( 3, 1),所以直线P Q的方程为x (a+ 3)y a= 0,由题意得直线P Q与圆x2 + y2= 1相切，解得a= 33.答案：-59已知圆C过点(1,0

32、)，且圆心在x轴的正半轴上，直线I : y = x 1被圆C所截得的 弦长为2眾，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 .解析：由题意，设所求的直线方程为x + y + m= 0，圆心坐标为(a, 0)( a0),| a 1| 22则由题意知一+ 2 = (a 1),解得a= 3或一1(舍去)，故圆心坐标为(3,0),因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以 3+ 0+ m= 0,解得m= 3,故所求的直线方程为 x + y 3= 0.答案：x + y 3= 010. (2018 全国卷n )设抛物线C： y2= 4x的焦点为F,过F且斜率为k( k0)的直线l 与C交于A, B两点，| AB

33、= 8.(1) 求l的方程；(2) 求过点A, B且与C的准线相切的圆的方程.解：由题意得F(i,o),1的方程为y= k(x 1)( ko).设 A(xi, yi) , B(x2, y2),得 k2x2 (2 k2+ 4)x+ k2= 0.y= kx 1,由2y = 4x.22A = 16k + 160，故2k + 4Xi + X2=T2k所以 | AB = | AF + | BF|=(xi+ 1) + (x2+ 1)=4k2+ 4由题设知4 k2 + 4解得k= 1或k= 1(舍去).因此I的方程为y= x 1.由得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y 2= (x 3)

34、,即 y = x+ 5.设所求圆的圆心坐标为(Xo, yo),yo= Xo+ 5,xo+ 1yo xo + 122-+ 16.xo= 3,xo= 11 ,解得或yo= 2yo= 6.得 X1X2 + 4m= 0,即 2m 4ni= 0,1 所以m= 0(舍去)或m=- q.1所以n=- 2,1此时qo, 1), AB的中点M 4，0即圆心,半径 r=|CM = ，1 2 2 17 故所求圆的方程为 x + y =-.4 16(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为2 2x + y m升 Ey+ 2n= 0,将点qo,2 n)代入可得E= 1 2m所以过A, B, C三点的圆的方程为2 2x +

35、y mx- (1 + 2m)y + 2m= 0,22整理得 x + y y mx + 2y2) = 0.x = 0, 可得y = 1422只x + y y = 0, 令x + 2y 2 = 0,故过A, B, C三点的圆过定点(0,1)和|, 4 .12. (2019届高三广州调研)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C与y轴相切，且过 点 M1 ,3) , N1 , .3).(1) 求圆C的方程；(2) 已知直线l与圆C交于A, B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为2.求证：直 线I恒过定点，并求出定点的坐标.解：(1)因为圆 C过点 M1 ,.3) , N1 , .3),所以圆心C在线段

36、MN的垂直平分线上，即在 x轴上，故设圆心为 Qa,0)，易知a0,又圆C与y轴相切，所以圆 C的半径r = a, 所以圆C的方程为(x a)2+ y2= a2.因为点M1 ,3)在圆C上,所以（1 a）2 + （ ,：3）2 = a2,解得 a= 2. 所以圆C的方程为（x 2）2+ y2= 4. 证明：记直线 0A的斜率为k（ k丰0），则其方程为 y = kx.2 2消去 y，得(k2 + 1)x2 4x= 0,x 2+ y = 4,联立y = kx4解得 xi = 0, X2= k2+ i.44k所以 A k2+ 1，k2+ 12由 k koB= 2, 得 koB= r,2直线OB的方

37、程为y = -x,k24k 8k在点A的坐标中用一匚代换k，得B产 ,tkk + 4 k + 4当直线I的斜率不存在时,4k2+ 1 =4k2k2+ 4，得k2= 2,此时直线4I的方程为x= 3.当直线I的斜率存在时,44k2k+T 丰 FT4,即k2工2,4k 8k则直线I的斜率为k2+ 1 k2+ 444kk2+ 1 k2+ 44k k2+ 4+ 8k k2+13k k2+23k4 k2+ 4 4k2 k2+ 1 4 k4 = 2 k2.4k3k4故直线I的万程为 y r亍 =2R2 x 齐1 ,3k 4即y=2P x 3 ,4所以直线I过定点3, o.一 4综上，直线I恒过定点，定点坐

38、标为3, 0 .、强化压轴考法拉开分. . 2 2 . .1.已知圆C: x + y = 1,点P（xo, yo）在直线I : 3x+ 2y 4= 0上，若在圆 C上总存在 两个不同的点 A, B,使OA+ OB= OP,贝U xo的取值范围是（）A. 0，i3B.2413,13C. 0， 2413D. ，乜解析：选C 如图， OA + OB= OP, OP与 AB互相垂直平分，寸 x2 + y2 21圆心到直线AB的距离x2 + y24.又 3xo + 2yo 4= 0,3 yo = 2尹，代入得x0+ 2 |x0 20,2n ;2,m 12X1 + X2 = m, X1X2 = -2-, y1y2 =(X1+ 0)(x2+ m = X1X2 + mx1