导数解答题之极值点偏移问题教师版

1、函数与导数解答题之极值点偏移问题1. (2013湖南文21)已知函数f(x)丄二ex1 x(I )求f(x)的单调区间；(n )证明:当 f (xj f (x2)(x-| x2)时，捲 x2 0.2. (2010 天津理 21)已知函数 f(x) xex(x R).(I )求函数f(x)的单调区间和极值；(II )已知函数y g(x)的图象与函数y f (x)的图象关于直线x 1对称，证明当x 1时,f(x) g(x)(川)如果 x, x2,且 f (x,) f (x2),证明 x-i x2 2【解析】(I)解：f (x)(1 x)e x令 f (x)=0,解得 x=1当x变化时，f (x)

2、, f(x)的变化情况如下表X(,1)1(1,)f (x)+0-f(x)极大值所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1,)内是减函数函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=-e(I)证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x)ex 2令 F(x)=f(x)-g(x), 即 F(x) xe x (x 2)ex 2于是F (x)2x 2(x 1)(e1)e当 x1 时，2x-20,从而 e2x-2 1 0,又 ex 0,所以 F (x)0,从而函数 F (x)在1,+)是增函数。又 F(1)= e-1 e1 0,所以 x1 时，有 F(x)F(1)=0,即 f(x)

3、g(x).m)证明：(1)若(x-i 1)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),则捲 x2 1.与x-i x2矛盾。(2)若(x-i 1)(x2 1) 0,由()及 f(x 1) f(x 2),得x1 x2.与x-i x2矛盾。根据(1)(2)得(x)1)(x21)0,不妨设x11,x21.由(U)可知，f(x 2)g(x 2),则 g(X2)=f(2-x 2)，所以 f(x 2)f(2-x 2),从而 f(x Jf(2-x 2). 因为X2 1，所以2 X2 1，又由(I)可知函数f(x)在区间(-)内事增函数，所以X12 X2, 即 x-i x22.3. 已知函数f x

4、In x - 2 .x(1) 讨论f X的单调性；(2) 若函数y f x的两个零点为x-,x2 x- x2，证明：x1 x2 2a.试题分析：(1)首先求出函数f x的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进 而得出所求的结果；(2)首先由函数y f x的两个零点为x!,x2 x1 x2并结合(1)可得 0vX1V av X2，然后构造函数g(x) = f (x) f (2 a-x)，并利用其导函数求出其函数的单调 性，进而得出所证的结果.1 ax 一 a试题解析：(I) f (x) 丁 =， ( x 0)，所以当 a 0，f (x)在ZVZVZV(0，+ )上单调递增；当a0时，f

5、(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+x)上单调递增.(U)若函数y= f(x)的两个零点为X-，X2(X- vX2)，由(I)可得0vx-vavX2.令g(x)1 1=f (x) f (2a x)， (0v xv a)则 g (x) = f (x) + f (2 a x) = (x a) 2 a X)2v0, 所以 g(x)在(0，a)上单调递减，g(x) g(a) = 0，即 f (x) f (2a x).令 x = x-va，贝U f (X-) f (2a X-)，所以 f(X2) = f (X-) f (2 a x-)，由(I)可得 f (x)在(a，+ )上单 调递增，所以 X22

6、a X1，故 X1 + X2 2a.k4. (2016福州五校下学期第一次联考)已知函数f(x) xlnx (k R )，其图象与x轴交于不同的两点A(x- ,0)， B(X2,0)，且 X-X2 .(1)求实数k的取值范围;(2)证明:x1x2a 2x a(a R )在其定义域内有两个不同的极值点.5.已知函数f x xlnxx22(I)求a的取值范围;(n)设f(x)两个极值点分别为人公2，证明* X2e2解：(I )依题，函数f (x)的定义域为(0,所以方程f (x)0在(0,)有两个不同根.即，方程ln x ax 0在(0,)有两个不同根令 g(x)lnx ax,从而转化为函数 g(

7、x)有两个不同零点,而 g (x)可见g (x) 0在(0,)上恒成立，所以g(x)在(0,)单调增,此时g(x)不可能有两个不同零点1 10，在 0 x 时，g (x)0，在 x 时，g (x)a所以1g(x)在(0,)上单调增，在a(-,a)上单调减,从而g(x)极大11g()In -aa又因为在0 时，g(x),在在x时,g(x)，于是只须:g(x)极大即In1 10，所以0 aa综上所述,即 In xiax1 ,In x2ax2,设x1 X2，作差得，互a%X2),即aInX2 .7分2%X2原不等式x-i x22e等价于In x1In x22a x1x22Inx12xX28分xX1X

8、2令鱼t，则t1，沁2x-iX2Int2t 19分()由(I)可知xx?分别是方程lnx0的两个根,axxt 1x2xx211IntTV,tg t10分函数g t在1, 上单调递增,g t g 10,t 1即不等式Int 二一成立，11分t 1故所证不等式为X2 e2成立.12分 6 已知函数 f(x) In x - , g(x) ax b .X(1) 若函数h(x) f(x) g(x)在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；(2) 若直线g(x) ax b是函数f (x) In x -图象的切线，求a b的最小值；x(3) 当b 0时，若f (x)与g(x)的图象有两个交点Agy , BX

9、y)，求证：捲x 2e2.【答案】(1) a 0 ; ( 2)1 ; ( 3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；(2)将参数a,b用切点的横坐标表示，再借助导数求最小值；(3)先分析转化再构造函数，运用导数的有关知识(2)设切点为(x0,y0)，则a丄x0又 ax0 b In x0b In x(5进行推证.试题解析：(1)h(x) f(x)g(x) (ln x丄)(ax1b) In xax b，xx11h (x)- a .xxh(x)在(0,)上单调递增，(0,)，h(x)1x二a 0恒成立x即(0,)，aA- 恒成立xx min令H(x)12

10、x1x(2)2 4，x 0，1-0，xx 0 时，H(x) 0， a 0.In Xo令(X)丄In X 1，则(X)11 1(X 2)(X1)323XXXXXX当(x) 0 时，x (1,)，所以(X)在(1,)上单调递增;2 xoxo当X 1时，(X)取得最小值，为1，即a b的最小值为1In x11ax1(3)证明：由题意得X1dIn x21ax2X2+得：X1 X2In (X1X2)a(x1X2)X1X2心得：InX2X1X2a(X2x1)，即X11aX1X1X2X2 X1X1X2In_X2代入得：In (X1X2)X1X2(X1)(X1X2)，X1X2X2X1X1X2当(x) 0时，x

11、 (0,1),所以(x)在(0,1)上单调递减即卩 In(x1x2)2(X1X2)X1X2 . InX2X1X2X2X1X1不妨令0X1 X2，记tX21，X1令 F(t)Int2(t4 1)，则F (t)(t 1)20t1t(t 1)F(t)Int2(t在(1,)上单调递增，则F(t) Int 竺卫F(1) 0，t1t 1Int2(t1)故 In X22(X2X1)t1X1X1X2In (X1X2)2(X1X2)X1X22 In生2X1X2X2X1X1又 In(XrX2) 2XX2) |n( XrX2)* 1 22InJXX7j 4X1X2X1X2v;x1x22ln x1x24即 In .

12、x1x22令G(x) Inx -，贝卩x 0时，G (x)丄寻 0 ,XX XG(x) Inx -在(0,)上单调递增，x又In压丄 1ln2 1 兰 0.83 1 J2e 2eG(. X1X2)InX1X2XiX2.X1X2、 2e考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用.17.(2017届武昌区元月调考理科数学)已知函数f(x) - X2 (1 a)X a Inx2(1)讨论f (x)的单调性；f(a x)；(2)设 a 0，证明：当 0 x a 时，f (a x)(3)设X1,x2是f(x)的两个零点，证明： f(也 X2) 0.28 已知函数f (x) xl nx a x2 x a

13、(a R)在其定义域内有两个不同的极值点.2(1) 求a的取值范围；(2) 记两个极值点分别为x1, x2，且x1x2 .已知0 ,若不等式e1x1x2恒成立，求 的范围.试题解析：(1)依题，函数f(x)的定义域为(0,)，所以方程f (x) 0在(0,)有两个不H同根，即，方程Inx ax 0在(0,)有两个不同根.转化为，函数g(x) 与函数y a的图像在(0,)上有两个不同交点.x又 g (x)1 鑒，即 0 X e 时，g (x) 0, X e时，g (x) 0，x所以g(x)在(0, e)上单调增，在(e,)上单调减.从而g (x)最大g (e)-，e又g(x)有且只有一个零点是1

14、,且在x 0时，g(x) ，在x 时，g(x) 0，所以g(x)的草图如下,)上有两个不-同交点，只须0 a1e可见，要想函数g(x) 吨与函数y a的图像在(0,x(2)因为e1X1 x2等价于1 In X1Inx?.由(1)可知X1,x分别是方程In x ax 0的两个根，即 In 捲ax2,ln x2ax2，所以原式等价于1ax.,ax2 a(x.|x2)，因为 0,0x1x2，所以原式等价于a1XiX2又由 In Xi axi,ln X2 ax2 作差得,X2a(xiX2)，即 aX2XiX2所以原式等价于X2X-IX2iXiX2因为0XiX2，原式恒成立，即In昼X2(i)(Xi X

15、2)恒成立.X-IX2令11,t (0i),则不等式lnt亠严在t(0,i)上恒成立.令 h(t) Int (i t)(t ，又 h(t)i (i)2t (t)2(t i)(t 2)t(t )2当2 i时，可见t (0,i)时，h(t)0 ,所以h(t)在t (0,i)上单调增，又h(i) 0，h(t) 0 在t (0,i)恒成立，符合题意.当 2 i 时，可见 t (0, 2)时，h(t) 0,t ( 2,i)时，h (t) 0，所以h(t)在t (0, 2)时单调增，在t ( 2,i)时单调减，又h(i) 0，所以h(t)在t (0,i)上不能恒小于0,不符合题意，舍去.综上所述，若不等式

16、eiXi X2恒成立，只须2 i，又 0，所以 i.9已知函数f x Inx X2ax , x-x是函数f x的两个零点，且x- x ,(i)讨论函数f x的单调性;(2)求a的取值范围;(3) 设f x是函数f x的导函数，求证f * 立 02试题分析：(1)讨论单调性，先导数f(x)，然后解得方程f(X0)0在(0,)上的解X0，通过f(x)的正负确定f(x)的单调区间；(2) 由( 1)知X。是f(x)的极大值点，因此只要f(x。) 0 ,就能保证f (x)有两个零点，注意到a2X021X0,因此可由f(Xo) 0求得X。的取值范围,再求得a范围；(3 )首先由 f (x1) f (x2

17、) 0 , 用x1,x2表示出a , 再X1x22xi2X2xiX2a并整理得2 X2X1- x2X2In 乞匕生,此时会发现只X2 X2 x2x1x1x2InX2X1此式证明可用换元法，设X11，再利用函数的性质证明.试题解析:(1)1 2x2 ax 2x a2xo0，则 2X02ax。1=0 , X。0,X0 时，f X0 , f x单调递增;X0,时，f x 0, f x单调递减(2)由于函数f x存在两个零点,f X max 0由(G可知f Xmaxf x0 =ln x0x02 ax0，且 a2x21X0由于 g X0In X0X00,+为增函数，且0,X02=2X0X0X0所以a的取

18、值范围是1,+方法二：函数 f XIn x即方程 In xax0有两个实数根，即X aIn-有两个实数根，设g XXP x2 X1 In x, p 10,且pX2 X1In xX0,1时，p X X2 1In x0,gX0 ,X 1,时，p X X2 1In x0,gX0 ,(3)由于、X1,X2是函数f X的两i个零.占八、7且X1X2单调递增,2 Xg x单调递增g X单调递减ax有两个零点,x2In xX2x 1 In x2,设x所以，Inxi xi2 ax10,ln x2ax20两式相减得：X22 2InX2X|aX1X2X1要证明f 为X20 只需证2X2X1L/ )丿、 ij k

19、11 亠2X1X2设电t 1,X1构造函数h t Int2t 1t10, a x2x-!X2为2竺1.X2In -X10,即只需证In竺X1X1X 1X1,h t214t 1022t t 1t t 1h t在1,+ 单调递增,2 t 1h t Inth 10t 1XXiXiX2X1考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用.10. ( 2014襄阳市三月考试) 已知函数f(x) alnx x2 .(1) 当a 2时，求函数y f (x)在1,2的最大值；(2) 令g(x) f (x) ax，若y g(x)在区间(0, 3)上不是单调函数，求 a的取值范围；(3) 当a 2时，函数h(x) f (

20、x) mx的图象与x轴交于两点A(X1,O)，B(X2,O)，且0为x?，又h(x)是h(x)的导函数.若正常数 ，满足条件1,，证明：h(ax1X2)0 .2解：当 a = 2 时，f(X)2 2x 2 攵XX函数y二f (x)在才，1是增函数，在1，2是减函数3分所以 f(X)maxf(1) 2In X 1 二-14 分解：g(x) alnx X2ax，. g (x)旦 2x a5 分X g ( X)因为在区间(0，3)上不是单调函数， g(x) 0在(0，3)上有实数解，且无重根 由 g (X) 0 得：2X2-ax-a = 0，有 a 仝 2(x 1 丄)4(0, ?)，x (0，3)

21、6 分X 1x 12又当a=-8 时，g (x)0有重根X =-2; a = 0时，g (x)0有重根x = 07分综上，a的取值范围是9(0，-).8分解:当a = 2时，2h(x) -1n x xmx , h (x)-2x mX h ( X) = f ( X) -mx的图象与 X 轴交于两点 A(Xi, 0), B(X2, 0) f ( x) - mx= 0 有两个实根 xi、X2,2InXi Xi：仆0，两式相减得:2 In x2 x2 mx2022(ln X!In x2)化x；)m(x1X2)2(ln x1In x2)(XiX2)XiX2于是h ( XiX2)只X22( xi2(In

22、xiIn X2)X2)xix2(XiX2)1,要证:h( XiX2)只需证:XiX2XiX222(In xiXX22 w i (20，只需证:In 鱼 0(*) X2令t t(0 t i 口 口 t，即(2 2iiu (t)t ( ti)上单调递增，0 ,即卩XiXiX2X2)2i20u ( t) u (i) = 0i3xiIn0X2i4f (x) In x mx(m为常数).(I)讨论函数f(X)的单调区间;(n)当 m322时，设g(x) 2f (x) x2的两个极值点Xi,X2)恰为 h(x) In x ex2 bx的零点，求xix2y (xi X2)h(=2)的最小值2i i mx,

23、f (x) m(x 0)，分 mxx解函数的单调区间；(n)求出 g x和h x的导数，运用韦达定理和函数的零点的定义,试题分析:(I)求解0, m 0, m0三种情况分类讨论求化简整理，构造新函数，运用导数判断函数的的单调性，即可求解最小值.x试题解析：(I) f (x)1 mx当m 0时,1由1 mx 0解得x m由1 mx 0解得x 1m当m 0时,即当0 x丄时，f (x)0, f x单调递增;m即当x 1时，f (x) 0, f x单调递减.m1f (x) = -0，即f x在(0, +x)上单调递增;x当 m 0 时，1 mx 0，故 f (x)0，即f x在(0, +x)上单调递

24、增.(n) g(x) 2f(x) x22ln x 2mx x2 ,则 g (x)2(x2 mx 1)x+x);当m 0时，f x的单调递增区间为(0,丄)，单调递减区间为m当m 0时，f x的单调递增区间为(0, +x).g (x)的两根x1 , x2即为方程x2 mx 1 0的两根.3.2x(X2m ,x1x21 .又X1, X2为 h(x)In xcx2 bx 的零点，In -0，得 b=xX2),x1 x2In x( ex； bx10, Inx2ex； bx20,两式相减得In e x1x2x?b x-ix2X2而 h (x)-X2ex b ,二 y= (X1X2)2X1X2e(x1X2

25、) b2X2e(x1 X2)X2e(x1 X2)鱼12&_x2) In 呂=2 x In -lX1 X2X2X X2 X2令垒 t ( 0 t 1),X2由 x1 x2 2 m2得 X； x； 2x,X2 m2 ,因为x1x2 1，两边同时除以X1X2，得t 1 2 m2 ,m LZ，故 t 15，解得t 2,A 0t 0,恒有 f(x) x 成立，即 ln x - x 1,-2x记 h( x) =, Hz (x)，XX(1)-对任意x0成立,2当 x (0,e2),H /(x)0, H(x)单增；当 x (e2,),H/(x)2 10, H(x)单减；H (x)最大值为H (e2)2，eg

26、x ln x ax 0有两个不同的实数根.当a 0时，g x单调递增,g x0不可能有两个不同的实根;当a 0时，设hXln xax, h x1 axX当01x 时，haX0，hx单调递增；当X1丄时，h xa0，h x单调递减；h1ln a 10，.01 a -，-8分(2)函数g xXX有两个相异的极值点 X1,X2，即ae不妨设 x2x10，: g x1g x20, InX2ax20,In 为a0,In X2In x1a x2x1先证11 2，X2即证In x2In x-iX2 X1即证In x22 2x X1X2X1In x1InX2X2x1x2X12xx22X1X2令tX21，即证I

27、n t11 t -t，设1t In tt219分X12t，则t2tt2 1t1 250，函数t在1,单调递减，t10，112，2t2tIn x1In x21又 0 a ，ae 1 ,e1In x11In x22ae12分考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用.13.已知函数f(x)xln x,g(x)内有且仅有一个零点;(1)记F(x) f(x) g(x)，求证：函数F(x)在区间(1,(2)用min a,b表示a, b中的最小值，设函数h(x) mi nf(x),g(x)，若关于x的方程h(x) c (其 中c为常数)在区间(1,)有两个不相等的实根 冷必&1 X2)，记F(x)在(1,)内的零点为X。， 试证明：.工上xo214. 已知函数 f (x) aln (x 1) b(x 1) 2(a 0),g(x) (x a)2，且 f(0) g(0),(1) 求曲线y f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(2) 设G(x) g(x 1) f (x 1) c(c R)有两个零点捲风侥 x?)，且x.,x,X2成等差数列，记G(x)是G(x)的导