傅里叶变换性质证明

1、 供参考 2.6傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和J的傅里叶变换分别为一；和FJ-, 则对于任意的常数a和b,有 将其推广，若- -出 ,则 其中匚为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算， 在第一章我们已经知道了，线性有两个 含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数 a,则信号的傅里叶变换 也乘以相同的常数a，即卩 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 砒心的卜伽）1 2.6.2反褶与共轭性 设 f(t) 的傅里叶变换为 F面我们来讨论信 号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换 （1

2、）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 綁new九 (2) 共轭 =匸施)时论匸加門(幼 因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外 根据傅里叶变换的定义 (3) 既反褶又共轭 町(卯訂:厂(号叫fe 本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 *曾筍芳遛凸_苗苫 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是 复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性 质 FLTH) = F 町甘D FLH心FH) 2.6.3奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把

3、它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即 FQ)=卩(询片 眄 =盹)+歼询) 根据定义，上式还可以写成 (2-33) 呎弊)=arc tan 制 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 尺(耐=/(f)cosaf址 (1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X( )=0，于是 (曲)=2 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：匚 :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t

4、) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是 f(唧)=-2小 幷)sin(曲)dt 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 咆=北)严自=伽沁伽皿左边反褶，右边 共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不 是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的 FT频谱特 点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性 质。若已知 F3)=Ff(t) 则有 Ff(t)=2ji f(-町 证明：因为 2 咒 J-* 上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是

5、F(t) 所以 FF(t)=2j f(-) 若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t) ，则有 FF(t)=2f(巧 从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立 即f(t)的频谱是F( )，F(t)的频谱为f()。 若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t) ，则有 FF(t)=-2f(小 利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举 些例子来说明这一点。 试根据FT的对称性利用冲瀏信号的僅里叶变换来求直疣信居的傅里叶变换. 石年那卅3轴*?戸*3* 沁乂 (声呵W号怖孑*5?胡号气朗層用码攝Pt F卜Hgk吧*軒翼烁诗延外专宀科丿电 解：已知沖瀏

6、信暑的偉里叶变换为HE(CJ=E,将E视为常数函数.它是偶函数，很据FT的对称性，FE=27IE0和a 0时 F儉) = -f 代产飪= -F(-) 当a 0时一-. 上述两种情况可综合成如下表达式: 0) 由上可见，若信号f（t）在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上 将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。 尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反 之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于a=-1的特殊情况，它说明信号在 时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。 对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明， 在录音带快放时，

7、其放音速度比原磁带的录制速度要快， 这就相当于信号在时间 上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提 高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑 厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。 266时间平移（延时） 若Ff（t）=F（）,则 下面进行证明 证明： 因为 Ff （t - tj二 f f （t -, Q GO 则有 =ff J-8 二严厂f （茁 上式右边的积分项为傅里叶变换定义式, 于是可以得到 同理可以得到: I. .1-. 267时域微分 若 Ff(t)=F()，则 枠卜 (J研盹) 证明: ,两边对t求导，可得 饥) di 所

8、以 =屈(由) 7(0 O)吓) 同理，可以推出 的频谱F() 的傅里叶变 由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t) 乘以(j)n.下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t) 换，可利用此定理求出(t)的FT 268频域微分 若 Ff(t)=F( ），则 尸警3）并） 尸誓斗二卜內几） 证明：因为，两边分别对 求导，可得 所以 (泅 鮮：由于旦砖1 ,根据频域徽分特性可得 更吨两驚V纹耿或* 尸“呻孑丽疗卢 严T环7莎阳卯* -C V. 再由FT的线性可禅 /吐时偸） 2.6.9时域积分 =(丿妙J F田)+曲(O)S(q) 证明： 变换积分汝序 并且利用阶麻信

9、号的傅里叶变换关系式 =匚TV)颐咖*冇+ 何必 4Sfi? =(j(D)lF(af) + 站(0)占(tu) 特别地.如果胞在戲口 Q处有界，则 CD花像* X 解:由于珂叭嘯邕庶L- J-。 由时域积分特性可潯 g脅rF；电申羁叫真飢也峙*号吕算寸申gjf 岂血曲建衢滋） j8 可见，这与利用符号函数求得的结果一致 2610频域积分 若 Ff(t)=F()，则有 菲盹）畑 2.6.11时域卷积定理 证明： 倦稅和FT的定义） 咬换祝分次序 tn定好苴时穆特性） -f/2 （t） fx （丹孚 咲于积分变樹常函数提出来） 胡適轿联g曙綁伽$也钗） 一砖遲長豐一密;理萸鞍滋总愛1二霍.黨:巳恭

10、6込:上迟基迟应rr迟；匕55z?5 由上可见两个时间函数巻积的频营等于各个时间函数频借的菲积也就是说，两信号时域卷稅等效于频谱相 乘口 2.6.12 频域卷积定理 与时域卷积定理类似，S； I； _ -Ji AT： 证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。 由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说, 两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。 显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。 2.6.13帕斯瓦尔定理 前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理 在FT中的具体表现形式。 若 Ff(t)=F()，则 M 仏=舟口）% =匚 PW）% 这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频 域是守恒的。下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。 f测必=匸几）八f）曲 /?_匸尸（妙密皿匀田dt 9 （1FT定梵 【交换积井次序） （PT定义） F*（田）旷血力町迪 =扌丄矿仙）田 =f （纫L