名师推荐极限的求法2

1、极限的求法方法一：直接代值法。例一：求 lim (2x -1)xj令x=1代入原式中。-0解:lim(2x-1) = lim 2x - limlx_1x_1x_1= 2limx-1 = 2 1-仁11例二：求x3 -1lim 2x2 x - 5x 3x3 -1X； X。的极限时,例一：求匹x-3x2 -9解：lim 22x -5x+3 lim(x2-5x+3)从上面两个例子可以看出，求有理整函数（多项式）或有理分式函数当 只要把X。代替函数中的x就可以了；但是对于有理分式函数， 这样代入后如果分母等于零, 则没有意义。直接代值法不可用时，可以考虑因式分解法，分子（分母）有理化法等。方法二：因式

2、分解法。当x 3时，分子及分母极限均为 0,分子，分母不能分别取极限，因为当分子分母取 x=3时分子分母值为0。此时可使用因式分解法，可消去这个不为0的公因子。= lim 二-解：lim 2_ = limx -9 xt(x-3)(x+3)方法三：利用无穷大与无穷小的关系。2x -3例一：求lim xt x 5x + 4lim(x2 -5x 4) = 1-5 1 4 = 0X 1因为分母极限不可用直接代值法，也不可用因式分解法 所以此题要根据无穷大与无穷小的关系解此题。2x 3解: lim = lim2x -5x 42x 1 x -5x 4 x 1 2x _32x -3由此可知lim r=:x

3、1 x -5x 41定理：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)f(x)为无穷小，且f(x)# 0，则1为无穷大。f(x)c 322x -x 5例二求lim 2x =3x2 _2x _13x2 一“三- lim x5 x忙：lim 32x2x3 -x22 一丄x30-x2 5 =:所以lim笔x 护 3x 2x1例三：求|m 3x3 4x22=limx x3总结：由以上三个例题可以得出这样的结论：即7x3 5x2 -3m 丄m -1aoxaxam=0,当 nm;m丄m丄aoxaixamlmboxn +bixn4+bn=当 n 0,x为无穷小。lim x2

4、 sin x =0。x 0方法五：有理化分子(分母)例lim出上1X)0x= lx1 -1)(x 1 化讪 xjim1X0X( X 11)x0 x( , X 1 1)XP . x 11x( X 11)例二：求lim垃匕4XI x15x -4 -xx -1lim (叮5x _4 _ Jx)G 5x + 4 十 Jx)X H(x -1)(i 5x - 4 i x)limX1=lim(x _1)(、5x -4. x) x 14(x -1)(x -1)(、5x 4、x) x (、5x 一 4. x)=2方法六：讨论法。aix _1,x ： 0例一：求 f (x) = 0, x = 0x 1,x0极限不

5、存在；x=0时,的极限。x0时,方法七：极限准则1：xt sin x; x t tan x; x t arcsin x; x t arctan x; 1 + x T t - x; secx n-1-2X ;e2-1-X.3sin x2ta nxsin22.3sin x例一：求 limtanx；sinx xtsin3 xtan x(1 - cosx) lim3limXr0X J0sin xta nxf (訥十 x2 _1)(J1 +sin2 x -1)tan x(1 cosx) 二 limx )0x2 sinxx2 s X方法八：极限准则二:x_)：:丄)x-xlim(jX匚 x2xlim (1

6、 )x =lim 丿(1 +x方法九：洛必达法则：定理一：(1) 当x； a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2) 在点a的某去心邻域内，f”x)及F(x)存在且F(x) = O;(3) lim f (x)存在(或为无穷大)，那么lim= lim f (x)TF(x)TF(x) tf(x)定理二：(1) 当X 、-:时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2) |x|N 时，f (x)与 F (X)都存在，且 F (X)丰 0;(3) lim f (x)存在(或为无穷大)，那么xr F (x)lif(x) m -:F(x)lim -x )：:f(x)F(x)二 00 洛必达法则应用类型： 一

7、，一,0 g严一,00,1二0 ;0比0 型:0lim3“了2x 1 X3 -x -x 1X 1 3x -2x -1= lim 旦x 16x _23;2;0 :型lim xn ln x(n 0)x )0 .Inxlim x In x = lim - x )0 x )0 Tn X二啊孟二m卡n二 lim 二 0;x )0 一 n求:lim.-.(secxtanx)x 21 -s in x-cosx二 liml limx cosx x sin x2 2sin xsi na cosx limlimcosx;Jax a J 1例二X虫XX.e -e . e -(-1)e ) limlimx sin x

8、 x 0COSXX-X.e +e 2.=lim2；X 0 cosx1lim X2 0 . =e X e 1;方法十：幂指函数求极限:ln x lim lim xllinxx_+_sin x x 0 亠x例：lim x e 0e X0 比较极限的算法例一 ：lf此题可用洛必达法则，也可用因式分解法解得。达法则limX . 12x1lim (2x - 2)lim 2xXr 1limXr 1因式分解法:lim XLJ = Um= lim ,；x1x -1xJ (x -1)(x 1)x1 X 1比较后，可以发现因式分解法与洛必达法难易程度度相同，此题因式分解法与洛必达法则均可。例二:1 - cosx2

9、X此题可使用洛必达法则与等价替换两种方法洛必达法:limX 0sin x_ lim_xt 2x COSX 12 2等价替换:limx 01 - cosx2xlimx )01 . 2 Xsin -2 22XX2二 lim 三x 0 x1 - cosxsin x 1两者结合使用：lim2lim;x0xxo 2x2由此可知，求极限的方法综合使用，可使解题更加简便，快 捷。1tan x 1 sin x例三:limx 02xW + si n x x此题可用分子有理化，和等价代换的方法。分子有理化：limX r 0(亠 1tanx -、1 sin x )( u1tanx 1 sin x )(x 1 sin

10、 2 x - x)(、1 tan x * 1 sin x )tan x - sin x(x1 sin 2 x - x)( 、1 tan x 1 sin x)tan x (1 - cos x )x (、1 sin 2 x - 1)( . 1tan x J1 sin x)二 limX r 01 - COS X(1 sin 2 x - 1)( y 1 tan x 、1 sin x )2 sinlimXi. 2步(tan x sin x)2limX r 02(、1tan2x、1sinx )limX r 011* 1ta n x、1sin x22 X由此可知：一道题是用分子有理化的方法以及等价代换相结 合的方法，更加方便。只使用其中一种方法是不能解此题的。此情况也 使用于其它题型。例四:此题可使用洛必达法则或等价代换的方法。洛必达法则：11x - sin xlim () = limx 0 sin x xxsin xXT 0二 li