新第2讲(教师)勾股定理解析

1、第2讲八年级数学勾股定理.学习目标：1. 了解勾股定理的发现过程；2.理解勾股定理的含义；3. 会用面积法来证明勾股定理；4.能够运用勾股定理解决相关问题。重点和难点：1. 重点：勾股定理的内容2. 难点：勾股定理的证明和运用； .知识点回顾1. 定理内容： 文字形式：直角三角形的两直角边的平方和，等于斜边的平方。几何形式：如果直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c,那么a2+ b2= c2表示方法： ABC中，/ C=90，那么a2+b2=c2;2. 相关知识链接：勾股定理的由来:1） 我国古代把直角三角形中较短的直角边叫作勾，较长的直角边叫作股，斜边叫作弦；2）汉代数学家赵爽把勾股定理叙

2、述成：勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦；3）国外称之为毕达哥拉斯定理；4）也有人称勾股定理为千古第一定理。3. 勾股定理的作用：1）已知直角三角形的两边长，求第三边长；2）知道一边长时，能够确定直角三角形的其余两个边长之间的关系；3）在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题。4. 勾股定理的各种表达式在 Rt ABC 中，.C =90 , . A、. B、. C 的对边分别为 a、b、c,则 c a2 b2 ,2 2 2 2 2 2 2.22-2- 2 2a c b , b =c a , c =、a b , a=、c b , b=.c a 。5 勾股定理的证明:三国时期

3、的数学家的赵爽弦图的证法：如图：边长为：的正方形可以看作是由 4个直角边分别为、1 ,斜边为:的直角三角形围在外面形成的。因为边长为:的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式 c2 4丄ab =（a b）2 ,化简得ca2 b2。6. 常用勾股数:3 , 4, 55, 12, 136, 8, 107, 24, 258, 15, 179 , 40, 411,1,21 八 3,2五定理证明及典型例题：例1.已知：在厶ABC中，/ C = 90,/ A、/ B、/ C的对边为 a、b、c。求证：a2 + h2_ c2b c。证明方法取四个与Rt ABC全等的直角三角

4、形,把它们拼成如图所示的正方形。如图，正方形 ABCD的面积 =4个直角三角形的面积+正方形PQRS的面积2 2 ( a + b )= 1/2 ab 4X+ c2 2 2a + 2ab + b = 2ab + c故 a2 + b2 = c2A h P a B R b (证明方法图1中，甲的面积-id. It=（大正方形面积）暮bn/ / /乙/ab（4个直角三角形面积）。图2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）。因为图1和图2的面积相等， 所以甲的面积=乙的面积+丙的面积 即: c2 = a2 + b2证明方法三：四个直角三角形的面积和+小正方形的面积=大正方形的面积,

5、2 22ab + ( a - b )= c ,2 222ab + a 2ab + b = c故 a2 + b2= c2证明方法四：梯形面积 =三个直角三角形的面积和1/22 + b )+ b ) = 2 X1/2 sK K + 1/2 疋 泾2 2(a + b ) = 2ab + c2 2 2a + 2ab + b = 2ab + c故 a2 + b2= c2点拨：以上四种方法均是使用了面积的方法，勾股定理的证明方法很多，有四百多种， 在后面学习了相似三角形之后，我们还可以用相似三角形的方法来证明。例 2.在 Rt ABC，/ C = 90 已知a= b= 5,求c。已知a= 1, c= 2,

6、 求b。已知c= 17, b= 8, 求a。已知 a： b= 1: 2, c= 5,求 a。已知 b = 15,/ A = 30，求 a, c。分析：已知两直角边， 求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变形式。已知一边和两边比，求未知边。解：由 a2 + b2 = c2 得,(1)c2=52 + 52=50,即:c=50 ；(2)12+b2= 22,b2= 3，即：b =、3 ；(3)a2+82= 172,a2= 225,即:a= 15;(4)由a：b= 1： 2得，b= 2a,则：a2(2a)2=52即:a=八5 ；(5)由/ A = 30 得，c= 2a,

7、贝U: a2 + 152= (2a)2 ,ll t解得：a= 75 , c= 2 75。注：本题中的 50、75在学习二次根式之后还可以进一步化简，此处不作要求。例3.已知：如图，等边 ABC的边长是6cm。求等边厶ABC的边AB上的高CD。SaABC 分析:Aad0等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。解：（1 ） ABC是等边三角形CD 丄 AB CD 平分 AB/ ABC的边长是6cm AD = BD = 2 AB = 3 cm在直角三角形ACD中，AD 2+ CD2= AC232+ CD2= 62CD =、271 1(2)abc = 2 AB CD = 2 x

8、 6x ,27 = 3 - 27 ( cm2)例4.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？4000米处，过了 20分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中ABC 的/ C= 90, AC=4000米，AB = 5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的 CB的长，由于 ABC的斜边AB = 5000米，AC = 4000米，这样BC就可以 通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得BC2 =AB2 - AC2冷-42 =9（千米2） 即BC = 3千

9、米飞机20秒飞行3千米那么它I小时飞行的距离为：3600203 =540（千米/时）答：飞机每小时飞行 540千米。例5.如图在Rt ABC中，-C =90 , B =30 , A的平分线AD交BC于D，求证:2 2 2AC CD 二 DB 证明：幕.C =90 B =30.BAC 二 60AD平分 BAC.BAD =30BD =AD在RtACD中2 2 2 2AC2 CD2 =AD2 =BD2点评：本题是一道勾股定理的运用题，在本题中我们也用到了角平分线的知识。例 6.如图，在 MBC 中，ZACB =90 ,AB =50cm, BC =30cm,CD 丄 AB 于 d，求 CD 的 长。解

10、：；厶ABC是直角三角形AB =50，BC =30，由勾股定理有AC2 =AB2 -BC2.AC =502 -302 =401 1S ABC BC AC AB CD又22BC ACAB答：CD的长是24cm。4 =30245点评：(1)勾股定理的应用前提是在直角三角形中;(2)本题求CD也可以分别在AC2 - AD2 =BC2 - BD2RtMCD和RUBCD中用勾股定理列方程组AD +BD =AB来求解，显然解方程需要以后的知识而且比用面积法繁杂些。例7在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的

11、距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从 Bt Ct A共30m，另一只猴子从Bt Dt A也共 走了 30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。KC A解：如图，设BD =x，由题意知BC CA = BD - DADA 30 - x222Rt ADC 中，(30 -x) =(10 x) 20，解之得 x = 5x 1015答：这棵树高15m。点评：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。【模拟试题】、基础题：（答题时间：45分钟）1、如图，直角 ABC的主要性质是：/ C= 90,（用几何语言表示） 两锐角之

12、间的关系： ;若D为斜边中点，则斜;若/ B = 30,则/ B的对边和斜边： ;三边之间的关系:2 ABC的三边a、则/ B是角;5、如图所示：字母所代表的正方形的面积为625的是（）若满足b2 c2 + a2,b、c,若满足 b2= a2 + c2,则= 90 若满足b2v c2+ a2,则/ B是角。3、 直角三角形的两边长分别是3cm、4cm，则第三边长是 4、 直角三角形的周长是24cm,斜边上的中线长为 5cm,则此三角形的面积是6、如图所示，一轮船从港口 A出发向东北方向航行 4km，另一轮船也从港口 A出发向东 南方向航行了 3km，此时两船相距（）A. 7kmB. 5kmD.

13、12kmC. 6km东7、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是二、综合题：1、如图，在四边形 ABCD 中，AB = 8, BC = 1,Z DAB = 30,/ ABC = 60,四边形 ABCD的面积为5 3，求AD的长。2、铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km , C、D为两村庄（视为两个点），DA _ AB 于a，CB _AB于B,如图所示，已知DA =15km，CB =10km，现在要在铁路 AB上新 建一个土特产品收购站 E,使C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A处多远处？3、已知等腰三角形的底边长为2，面积为2 2，求腰长。4、已知：如

14、图，四边形1cm，求BC的长。ABCD 中，AD / BC, AD 丄 DC , AB 丄 AC，/ B= 60 , CD =5、如图，原计划从 A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道 由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300万元，隧道总长为 2公里，隧道 造价为 500万元，AC = 80公里，BC = 60公里，则改建后可省工程费用是多少？6、如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，/ B=Z C= 30, E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索 AB和AE的长度。（精确到 1米）7. 已知：长方形 ABCD AB/ CD AD/

15、 BC, AB=2 A* DC长方形 ABCD勺面积为S,沿长方 形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长.解.长方形的对称轴有 2条，要分别讨论:（1）以A B为对称点（如图）/ S=ABX BC, AB=2S BC=AD=.21根据对称性得DF= AB=1.2由于/ D=90,据勾股定理得:（2）以A D为对称点（如图）1 S BF=_ BC=.2 4由/ B=90,据勾股定理得：AF=,ab2 bf24+=丄 JS2 +64 .1648 .若线段A . 1:9. 如图2-2 ,a,宽AB为b,b、4把一张长方形纸片 ABCD折叠起来，使其对角顶点 A C重合，？若其

16、长BC为 则折叠后不重合部分的面积是多少？c能组成直角三角形，则它们的比值可以是（D ）B . 1 : 3: 5 C . 3: 4: 7 D . 5: 12: 13分析 图形沿EF折叠后A C重合，可知四边形 边、角相等， AF=FC且FC=AE则厶ABFA AD 部分的面积.解：图形沿EF折叠后A C重合，四边形AFED与CFED关于EF对称，则四边形AFED也四边形CFED / AFE=/ CFE AF=FC / D =/ D=/ B=90AB=CD=AD .TAD/ BC, / AEF=/ EFC / AEF=/ AFE贝U AE=AF Rt ABF Rt AD E.在 Rt ABF 中，T/ B=90,2 2 2 AB +BF =AF .E,AFED与四边形CFED全等，则对应?由三角形面积公式不难求出不重合设 BF=x, b2+x2= (a-x) 2,a2 -b2 x=2a S=2Saabf=2X 丄 bx=2 X -2 22 2a b b(a2 -b2)2a2a2-310. 如图的位置上，11. 如图2-3 ,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C已知AB=?3, BC=7,重合部分厶EBD的面积为 2-4，一架长2.5m的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B?离墙脚O?勺距离是0.7m