数理统计试卷及答案

1、精品安徽大学2011 2012学年第一学期数理统计考试试卷（b卷）（闭卷时间120分钟）院/系 年级 专业 姓名 学号题号一二三四五总分得分得分、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1、设总体 x n(1, 9) , (x，x2，l , x9)是 x 的样本，则().x 1x1a)n(0, 1);b)n(0, 1);_1_3x 1x1(c)n(0, 1);(d) n(0, 1).9.32x)21 n2、设x1,x2，,xn为取自总体xn( , 2)的样本，x为样本均值，s2 (xi n i 1则服从自由度为n 1的t分布的统计量为）sn）。）访（又）sn-可编辑-3、若总体xn（2）

2、,其中2已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1 减小，则的置信区问（）（a）长度变大；（b）长度变小；（c）长度不变；（d）前述都有可能.4、在假设检验中，分别用 ， 表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容 量n一定时，下列说法中正确的是（）.（a） 减小时 也减小；（b） 增大时 也增大；（c）,其中一个减小，另一个会增大；（d） （a）和（b）同时成立.5、在多元线性回归分析中，设 ？是0的最小二乘估计，？ y x?是残差向量，则 （）.（a）? 0n；（b） cov（?）= 2in x（xx）1x；? 一 (c) 是2的无偏估计；n p 1二、填空题(本大题共5小题，每小题2

3、分,6、设总体x和y相互独立，且都服从正态分布(d) (a)、(b)、(c)都对.得分共10分) n(0, 32),而(xi,x2l ,x9)和(yi,，l ,乂)是分别来自x和y的样本，则uxi l x9y12ly92服从的分布是7、设？与马都是总体未知参数的估计，且？比？2有效，则？与马的期望与方差满足8、设总体x n( , 2) , 2已知，n为样本容量，总体均值的置信水平为1 的置信区间为(x ,x )，则的值为.9、设x1,x2，,xn为取自总体xn( , 2)的一个样本，对于给定的显著性水平,已知关于2检验的拒绝域为2 12 (n 1),则相应的备择假设 f为10、多元线性回归模型

4、y x0 中，0的最小二乘估计是?=得分三、计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分) 1 -0,11、已知总体x的概率密度函数为f(x) e , x 0,其中未知参数0, 其它(x1,x2,l ,xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计12、设x1,x2, ,xn是来自总体xp()的样本，0未知，求 的最大似然估计量13、已知两个总体 x与y独立，x ( 1, 12) , y(2, 22) ,1, 2, 12, 2未知，2(x1,x2,l ,xnj和(y1,y2,l ,4)分别是来自x和y的样本，求t的置信度为1 的置信 2区间.14、合格苹果的重量标准差应小

5、于 0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重，得其样本修正标准差为s 0.007公斤，试问：(1)在显著性水平0.05下，可否认为该批苹果重量标准差达到要求？ (2)如果调整显著性水平0.025,结果会怎样？,2222(0.025 (9)19.023 ,0.05(9)16.919 ,0.025 (8)17.535 ,0.05(8)15.507 )15、设总体xn(a,1) , a为未知参数，a r, xjx?, ,xn为来自于x的简单随机 样本，现考虑假设：h 0 : a a。，h1 : a a。(a0 为已知数)取 0.05,试用广义似然比检验法检验此假设(写出拒绝域即可).(u0.0

6、25 1.96,u0.051.65,0.025 5.024,0.05(1)3.841 )得分四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)16、设总体x服从b(1,p)分布，(,x2,l xn)为总体的样本，证明x是参数p的一个umvue .17、设xi,l ,xn是来自两参数指数分布p(x； , ) -e(x )/ ,x ,0的样本，证明(x,x)是(，)充分统计量.五、综合分析题(本大题共10分)得分18、现收集了 16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得162x 0.125, y 45.788, (xi x) 0.3024, i 116162 二二 一(xi x)(yi y)

7、25.5218, (yi y) 2432.4566.i 1i 10.05,fo.o5(1,14)4.60, t0.025(14)2.1448,建立y关于x的一元线性回归方程？o?x;(2) xty与x的线性关系做显著性检验(to.05(14)1.7613).安徽大学2011 2012学年第一学期数理统计（b卷）考试试题参考答案及评分标准、选择题1、a（每小题2分，共10分）2、d3、c4、c5、填空题（每小题2分，共10分）6、t(9)7、e(?) e0), d(?)d0)8、/2.n9、20210、cov( ?) = 2(xx ) 1、计算题（本大题共5小题，每小题11、xf (x)dx10

8、分,1一 xe 0共50分）dx，用 $1 3nnxii 1x代替，所以1 n x i x n i 1分12、/11 n(2) e(?) e(x)e(x)e(x)所以该估计量是无偏估计.10解：总体x的分布律为p（x,）x一e ,x 1,2,l x!设（xi,x2,l ,xn）为样本（xi,x2,l ,xn）的一个观察值，似然函数l()p(x xi) i 1n xe i i x!nxii 1 xi !对数似然函数nln l( ) n x in ln(x !),i 1d1 nc 1 n(ln l( )0, nxi0, ? xidi 1n i 1d2knl()所以？ x是的最大似然估计值，的最大似

9、然估计量为？ x .1013、解:22设si2, s2分别表示总体x, y的样本方差,由抽样分布定理知pf/2s 1,n21) ff1 /2g1,n2 1)1f1s2/s2/2 (a 1,n21)21222s2/s2/2(叫1,电1)s2/s221222s2/s2置信区f1 /2(n1 1,n2 1)f /2 (n11,51)10分14、解：(1)h。:2 0.005,1 s2-2具体计算得:8 000720.00522 0.0515.6880.005,2 0.05(8) 15.507,15.507,所以拒2假设h。，即认为苹果重量标准差指标未达到要求.(2)新设0.005,由 0.02517

10、.535,假设， 求.以认为苹果重8 0.0072 升 15.68 0.005标准差指17.535,则接受标达到要15、解：似然函数为, ,、1l(x1, ,xn；a) n7?e(2 )1012 .(xi i 1a)2从而l(xha。)又参数a的极大似然估计为x,(2于是1)n/2 e12. i(xi1a。)2得似然比函数为(x1,给定 0.05,得0.05 p(x1，,xn)supl(x1,a r,xn； a)因为当h。成立时，n(x a。)2sup l(x1,a r1(2 )n/2,xn；a)1e(xi x)2 1l(x1, ,xn；a0)分a。)p(n(x a)2从而上述问题的拒绝域是

11、wo n(x2,a0)2四、证明题(本大题共2小题，每小题16、证明：x的分布律为.n2、exd2(x a)2ln 0),此即黑 3.84 2ln 03.84.分10分，共20分)10px(1 p)1f (x； p)容易验证f (x； p)满足正则条件，于是i(p) einp2f(x； p)1 p(1p)另一方面var(x) 1var(x) p(1 p),nn ni(p)即x得方差达到 c-r 下界的无偏估计量，故x是p的一个umvue .10 分17、证明 样本的联合密度函数为 n (xi )1 u1 依 np(x1,l ,xn； . ) (-)nei 沏(-)ne工.5分 nx n 1、n 取t (x,x(1), g(t; ) () ei找1) ,h(x),l ,xn) 1,故由因子分解定理，(x,x)是(，)充分统计量.10五、综合分析题（本大题共10分）18、解：根据已知数据可以得到回归系数的估计为16)1)0(xi x)(yi y) i 116(xi x)225.5218 84.3975,0.3024i 1y )1x 45.788 8