三角函数基本知识

1、三角函数基本知识一、基本概念、定义：1 .角的概念推广后，包括、,与a终边相同的角表示 为。终边角：x轴上 y轴上第一象限 第二象限第二四象限 直线y = x上2 .弧度制：把 叫1弧度的角。公式：|a|=一换算：180 = 弧度；1弧度= 度；1 = 弧度扇形： 弧长l =,面积s=3 .任意角的三角函数：定义：角a终边上任意一点p(x, v),则r= ,六个三角函数的定义依次是、三角函数线：角的终边与单位圆交于点 p,过点p作 轴的垂线，垂足为 m,则。过点 a(1,0)作,交 于点 t ,则 。同角三角函数关系式：平方关系：商数关系：诱导公式：角xsinxcosxtanxsin(一 a

2、)=cos(一 a )=tan( a )=能推导：+ a ,+ a ,- a222口诀：奇变偶小变，符号看象限。nr 一a兀+ a-a2 tt - a2k兀+a口诀二、基本三角公式：(12要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，36要求能证明,不记忆)1 .和、差角公式sin()cos( )tan()2 .二倍角公式tan2sin 2cos2倍角公式变形：降哥公式sin cos3 .半角公式2sin2costan21 coscos4 .万能公式:sinsin1 cos1 cossin5 .积化和差公式1sin coscos cos-sin(21 一cos( 22tan 21 tan2 -1 tan

3、costantan2tan2sin(cos()cossinsinsin1r . z 理n(1一cos(21 tan2 2)sin( );)cos( ).6.和差化积公式sin sin 2 sincos22sin sin 2cossin22cos cos 2 coscos22cos cos 2sinsin22三、应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明三角变换是运算化简过程中运用较多的变换 ，也是历年高考命题的热点.提高三 角变换能力，要学会设置条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法和技能 .常 用的数学思想方法技巧如下 ：1.角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往出现较多的相异角

4、，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系 ，运用角的变换，沟通条件与结论中的差异，使问题获解.对角的变形如下：301545306045 一,()()(),2222() () () ()，-()44424特别地，- 与 为互余角，它们之间可以互相转化，在三角变形中使用频率高.2 .函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数 .如在三角函数中正余弦是 基础，通常化切、割为弦，变异名为同名.3 .常数代换：在三角函数运算、求值、证明中 ，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1 的代换变形有：1 sin2cos2sec2tan2csc2cot2 .4 .哥的变换：降哥是三角变

5、换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降哥处理的方法.常用降哥公式有：sin2 1cos2 , cos21 cos2 ,sin2 cos2122等，三角变换时，有时需要升哥,如对无理式 j1 cos 常用升哥化为有理式，升哥公式 与降哥公式是相对而言的.5 .公式变形式：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的直接应用，逆用以及变形式2 sin的应用.如：cos sin2 , tan tan tan( )(1 tan tan )等.四、注意事项是三角知识的综合应用， 其题目类型多样，变化似乎复杂,对于三角函数进行恒等变形，处理这类问题，注意以下几个方面：1 .三角函数式化简的目标：项

6、数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少， 次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值.2 .三角变换的一般思维与常用方法.注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如1()()2 - - 2 .也要注意题目中所给的各角之间的关系.22注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等.熟悉常数“ 1”的各种三角代换：1 sin2cos2sec2tan2cos sec sin cos0 tan 2sin 一等.246注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为tan的代数式，把三角式转化为代数2式.但往往代数运算比较繁.熟悉公式

7、的各种变形及公式的范围，如21 cossin a = tan a - cos a , 1 cos 2cos , tan一寺.2 sin2利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降哥处理，如2221 cos 2sin 一，1 sin sin cos, 1 sin sin cos等.从右至u2 2222左为升哥，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降哥，有利于加、减运算 或积和(差)互化.3 .几个重要的三角变换：sin a cos a可凑倍角公式；1 cos a可用升次公式；1 土 sin a可化为1 cos 一 ,再用升次公式；2asin bcos da2 b2 sin(其

8、中tan )这一公式应用广泛，熟练a掌握.五、三角函数性质函数正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y = tanx图像1j ta.j1定义域值域值域：当x=时y最小；当x=时y最大；值域：当x=时y最小；当x=时y最大；值域：周期/奇偶周期t=奇偶性：周期t=奇偶性：:周期t=奇偶性：单调性增： 减：增： 减：增区间：对称中 心对称轴六、y = asin(x+巾)的图像和性质：1、作图：五点法，依次取3 x+少=2、周期t =3、单调区间：a?co0时，增区间：解不等式减区间：解不等式a?co0时，当co x+。=最小值：a0时，当co x+少=5、概念：振幅;周期t=;频率 位。

9、6、三角变换：(a0 , co 0)将y= sinx的图像y = sin(x + 少)w co x+ 小 ww 3 x + 小 wv x) x+ 小 vw 3 x + 小 w时，y取最大值a。时，y取最小值a。f =;初相;相y= sin( w x+ 4 ) y = asin( x + 力)或者： 将丫= sinx 的图像 y = sin(cox)y = sin( wx+少) y = asin( w x+ )7、联系： y=tan(cox+w ) (co 0)的周期是t =,单调 区间是解不等式。七、解三角形1 .三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意

10、三角形自身的 特点.(1)角的变换因为在 abc中，a+b+c=兀，所以sin(a+b)=sinc ; cos(a+b)=-cosc ; tan(a+b)=-tanc .a+b c a + b c a + b csin：=cos ? cos-= sin ; tan.- = cot.222222(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理.面积公式： s = -ah4 =1absinc = r * p =-b)(p-c).其中r为三角形内切圆半径，p为周长之半.abb cca卡对任意abcjan * tan 4-tan , tan + tan * tan 1;gljajld在非直角

11、aabc 中，tana+tanb+tanc=tana tanb tanc.(4)在abc中，熟记并会证明：za, / b , z c成等差数列的充分必要条件是/b=60 abc是正三角形的充分必要条件是/ a, /b, /c成等差数列且a, b, c成等比数 列.(1)2 .三角形的面积公式：aha= bhb= chc (ha、hb、hc分别表示 a、b、c上的高).(2)absinc= bcsina= acsinb.(3)2a sinbsinc22b sin c sin a2c sin asin b(4)(5)2sin(b c)2r2sinasinbsinc.abc2sin(c a)2sin

12、( a b)(r为外接圆半径)4r1，(6)js(s a)(s b)(s c) ； s -(a b c).3 .直角三角形中各元素间的关系：如图，在 abc 中，c = 90 , ab=c, ac=b, bc= a.(1)(2)(3)三边之间的关系: 锐角之间的关系: 边角之间的关系:asina= cosb=一ctga = ctg b= a ,ba2 + b2 = c2.(勾股定理) a+b=90 ;(锐角三角函数定义) cosa= sinb= b ,cctga= tgb= b .a(4) 三角形中各元素间的关系如图(1)(2)6-29,在 abc中，a、b、c为其内角,a、 b、三角形内角和

13、：a+ b+c=n.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等2ra b csin a sin b sin c(r为外接圆半径)(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2 = b2 + c2 2bccosa,b2 = c2 + a2 2cacosb,c2= a2 + b2 2abcosc.(4)射影定理：a= b - cosc + c - cosb,b= a - cosc+ c - cosa, c= a - cosb+ c - cosa.5.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求

14、其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形.解斜三角形的主要依据是：设 abc的三边为a、b、c,对应的三个角为 a、b、c.(1)角与角关系：a+b+c =兀，(2)边与边关系： a + b c, b + c a, c + a b, a b c, b c b.(3)边与角关系：a b c正弦定理 2r (r为外接圆半径).sin a sin b sin c余弦定理 c2 = a2+b2 2bccosc, b2 = a2+c2 2accosb, a2 = b2+c2 2bccosa.它们的变形形式有：a = 2r sina,sin asin bcosa.222b c a2bc(4)面积公式：11s aha bhb221 一chc 21-absin c 21acsin b21bcsin a 2解斜三角形的常规思维方法是：(1)已知两角和一边(如 a、(2)已知两边和夹角(如a、b、c),由a+b+c =兀求c,由正弦定理求 a、b.b、c),应